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Régulation de Canaux d'Irrigation : Approche par Contrôle Frontière Multivariable, et Modèle Interne d'EDP

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Academic year: 2021

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Texte intégral

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HAL Id: hal-01899104

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01899104

Submitted on 19 Oct 2018

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Régulation de Canaux d’Irrigation : Approche par Contrôle Frontière Multivariable, et Modèle Interne

d’EDP

Valérie Santos, Youssoufi Touré, Nathalie Cislo

To cite this version:

Valérie Santos, Youssoufi Touré, Nathalie Cislo. Régulation de Canaux d’Irrigation : Approche par Contrôle Frontière Multivariable, et Modèle Interne d’EDP. CIFA 2004, Nov 2004, Douz, Tunisie.

�hal-01899104�

(2)

CIFA 2004

R´egulation de Canaux d’Irrigation :

Approche par Contrˆ ole Fronti`ere Multivariable, et Mod`ele Interne d’EDP.

Val´ erie DOS SANTOS 1 , Youssoufi TOUR ´ E 2 , Nathalie CISLO 3

Laboratoire de Vision et Robotique, Universit´ e d’Orl´ eans, IUT de Bourges, 63, avenue De Lattre de Tassigny,

F-18020 Bourges, France

1 Valerie.dossantos@bourges.univ-orleans.fr,

2 Youssoufi.toure@bourges.univ-orleans.fr,

3 Nathalie.cislo@bourges.univ-orleans.fr, http://cifa2004.ec-lille.fr

R´ esum´ e— Ce papier traite de la r´ egulation d’une classe de canaux d’irrigation en utilisant une forme particuli` ere de la commande par mod` ele interne (IMC), directement sur les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles (edp) de Saint Venant.

Nous consid´ erons le cas plusieurs biefs en cascade. Dans le mod` ele de r´ egulation retenu, l’aspect non homog` ene du syst` eme en fonction de la dimension spatiale est conserv´ e.

De ce fait, il est moins direct d’utiliser la th´ eorie existante, notamment celle de la perturbation en dimension infinie.

Dans ce papier, nous proposons une synth` ese de commande, passant par le contrˆ ole fronti` ere par mod` ele interne, qui utilise la perturbation des op´ erateurs et des semigroupes comme levier de r´ eglage. La r´ egulation de niveaux dans le cas de biefs en cascade est ainsi trait´ ee. Les r´ esultats de simulations puis exp´ erimentaux (sur le micro-canal de Va- lence) sont encourageants pour une extension aux cas r´ eels.

Mots-cl´ es — Equations de Saint Venant, canaux d’irrigation, semi-groupe, contrˆ ole fronti` ere multivariable, multibiefs.

I. Introduction

Que ce soit pour la mod´elisation ou pour le contrˆole, les syst`emes hydrauliques `a surface libre ont succit´e des approches tr`es diverses ([6], [11]). En ce qui concerne la commande, il y a actuellement deux approches : la com- mande en dimension finie (identification du syst`eme ou ap- proximation des EDP) et l’approche directe en dimension infinie (les m´ethodes et outils ´elabor´es directement sur les EDP).

Ce papier se situe dans la deuxi`eme approche ([13], [15], [17], [18]), en utilisant les ´equations aux d´eriv´ees partielles qui d´ecrivent les ´ecoulements en milieu ouvert (´equations de Saint Venant).

Nous proposons le contrˆole fronti`ere par mod`ele interne pour la synth`ese du contrˆole, en vue de la r´egulation d’un ou plusieurs biefs. Ce contrˆole fronti`ere par mod`ele interne a ´et´e introduit dans [17], pour des syst`emes paraboliques dissipatifs, exponentiellement stables. Nous l’´etendons ici

`a un cas hyperbolique en tenant compte en plus, du fait que les param`etres sont d´ependants de la variable d’espace.

L’´etude du syst`eme pour la synth`ese de commande peut

alors se ramener `a la conservation des propri´et´es de stabi- lit´e de semigroupe, par application de certains r´esultats de la th´eorie des perturbations ([8]).

Dans la premi`ere section, le probl`eme de r´egulation est rap- pel´ee dans le cas du canal form´e de plusieurs biefs en cas- cade et le cas d’un bief en fin de chaˆıne (avec un d´eversoir).

Le mod`ele non lin´eaire d’un canal rectangulaire est ainsi rappel´e pour ´etablir le mod`ele lin´earis´e pour la r´egulation autour d’un ´etat d’´equilibre.

La deuxi`eme partie concerne le syst`eme de commande.

Le syst`eme de contrˆole fronti`ere est proprement pos´e, de mani`ere `a ´etablir les propri´et´es essentielles `a conserver suite

`a la perturbation structurelle qu’est la boucle ferm´ee. As- soci´e `a la structure particuli`ere du mod`ele interne adopt´ee, on montre que le syst`eme ´etendu est repr´esent´e par un op´erateur ferm´e, g´en´erateur d’un C 0 -semigroupe exponen- tiellement stable. Les param`etres de synth`ese sont alors ob- tenus par une application directe des r´esultats de la th´eorie des perturbations d’op´erateurs et de semigroupe ([8], [13], [17]).

Dans la derni`ere partie, des r´esultats de simulations et d’application sur le canal exp´erimental de Valence, concer- nant la poursuite de niveaux de r´ef´erence autour d’´etats d’´equilibres, sont donn´es.

II. Le probl` eme de r´ egulation du canal : un syst` eme de commande fronti` ere

On consid`ere la classe suivante de canaux, repr´esent´es par la Figure 1 pour un bief suivi d’un d´eversoir, et par la Figure 2 pour deux biefs en cascade o` u :

– Q(x, t) est le d´ebit,

– Z(x, t) est la hauteur d’eau du canal,

– L et L 0 sont les longueurs des deux biefs qui sont `a r´eguler entre, l’amont x = 0 et l’aval x = L pour le premier, et x = L et x = L + L 0 pour le second.

– U 0 (t), U L (t) et U L+L

0

(t) sont les ouvertures des

vannes.

(3)

Fig. 1. Sch´ ema du Canal : une vanne

Fig. 2. Sch´ ema du Canal : deux biefs

Le probl`eme de r´egulation concerne la stabilisation du d´ebit et/ou de la hauteur d’eau, autour d’un niveau d’´equilibre pour un bief, not´e (z e (x), q e (x)). Un mod`ele lin´eaire `a coefficients variables peut donc ˆetre utilis´e pour d´ecrire les variations autour de ce comportement d’´equilibre. Nous rappelons ces mod`eles.

A. Le Mod` ele d’un bief

On suppose que le canal a une longueur L suffisante, de telle sorte qu’on puisse consid´erer un mouvement uniforme dans la direction lat´erale. Les edp, non lin´eaires, de Saint Venant qui d´ecrivent un canal rectangulaire sont les sui- vantes ([6], [11]) :

∂ t Z = −∂ x

Q

b , (1)

∂ t Q = −∂ x ( Q 2 bZ + 1

2 gbZ 2 ) + gbZ(I − J), (2) Z(x, 0) = Z 0 (x), Q(x, 0) = Q 0 (x), (3) o` u I est la pente du fond, b la largeur du canal, g la constante de gravit´e et J la pente de frottement, exprim´ee

`a partir de la formule de Manning-Strickler, R est le rayon hydraulique :

J = n 2 Q 2

(bZ) 2 R 4/3 , R = bZ

b + 2Z . (4) Les diff´erentes conditions aux limites nous am`enent `a consi- derer deux cas de contrˆole possible :

Cas a Contrˆ ole monovariable, cas du d´ eversoir : L’´equation de la condition en amont du bief (x = x am ) est donn´ee par

Q(x am , t) = U am (t)Ψ 1 (Z (x am , t)). (5) La condition en aval du bief (x = x av ) est l’´equation du d´eversoir (Fig. 1) :

Z(x av , t) = Ψ 2 (Q(x av , t)), (6) o` u :

Ψ 1 (Z) = K i

p 2g(z am − Z ), Ψ 2 (Q) = ( Q 2

2gK 2 i ) 1/3 + h s . z am est la hauteur d’eau en amont de la vanne, K i est le produit de la largeur avec le coefficient de d´ebit de la vanne n 0 i, U am (t) est la commande amont.

Notons que la variable `a contrˆoler est la hauteur en x av . Remarque 1: On a dans ce cas x am = 0, x av = L, U am = U 0 (cf. Figure 1).

Cas b Contrˆ ole multivariable, biefs en cascade : L’´equation de la condition amont est toujours (5) :

Q(x am , t) = U am (t)Ψ 1 (Z(x am , t)).

Une autre commande apparaˆıt en aval de chaque bief, i.e.

en x = x av (Fig. 2) :

Q(x av , t) = U av (t)Ψ 3 (Z(x av , t)), o` u Ψ 3 (Z) = K i

p 2g(Z − z av )

et U av (t) est la commande aval du bief, z av est la hauteur d’eau en aval de la vanne.

Remarque 2: L’amont et l’aval d´ependent du bief consid´er´e, il en est de mˆeme pour les abscisses et les vannes.

B. Un mod` ele de r´ egulation

Un ´etat d’´equilibre du syst`eme v´erifie les ´equations sui- vantes :

∂ x q e = 0

∂ x z e = gbz e

I + J e + 4 3 J e 1 1+2z

e

/b

gbz e − q 2 e /bz 2 e , (7) Remarque 3: On se place dans le cas fluvial :

z e > p

3

q e 2 /(gb 2 ). (8) Notons que q e est constant mais que z e d´epend de la va- riable d’espace.

Le syst`eme lin´earis´e autour d’un niveau d’´equilibre, est alors (un niveau d’´equilibre diff´erent par bief) :

ξ(t) = (z(t) q(t)) t

∂ t ξ(t) = A 1 (x)∂ x ξ(x) + A 2 (x)ξ(x) (9) ξ(x, 0) = ξ 0 (x)

q(x am , t) = u am,e ∂ z Ψ 1 (z e (x am , t))z(x am , t) +u am (t)Ψ 1 (z e (x am , t)) (10) Cas a : z(x av , t) = ∂ q Ψ 2 (q e )q(x av , t) (11) Cas b : q(x av , t) = u av,e ∂ z Ψ 3 (z e (x av , t))z(x av , t)

+u av (t)Ψ 3 (z e (x av , t)) (12) o` u u am,e , u av,e sont les ouvertures de vannes pour les points d’´equilibre amont et aval d’un bief et u am , u av sont les variations de ces ouvertures.

A 1 (x) =

µ 0 −a 1 (x)

−a 2 (x) −a 3 (x)

¶ , A 2 (x) =

µ 0 0

a 4 (x) −a 5 (x)

, (13)

(4)

avec a 1 (x) = 1/b, a 2 (x) = gbz e (x) − q

2 e

bz

e2

(x) , a 3 (x) = 2q e

bz e (x) , a 5 (x) = 2gbJ e (x)z e (x) q e

a 4 (x) = gb(I + J e (x) +

4 3 J e (x) 1 + 2z e (x)/b ).

Le probl`eme de commande est alors le suivant :

Cas a : trouver les variations de u am (t) `a l’extr´emit´e x = x am , pour que la variable de sortie en aval, x = x av , suive un signal de r´ef´erence r(t).

Cas b : trouver les variations de u am (t) `a l’extr´emit´e x = x am , et u av (t) `a l’extr´emit´e x = x av de chaque bief telles que les variables de sorties en aval, x = x av (variables mesur´ees), suivent un signal de r´ef´erence r(t), distinct pour chaque bief.

Le signal de r´ef´erence r(t) est choisi, dans tous les cas, soit constant, soit non persistant (une r´eponse indicielle stable d’un syst`eme non oscillatoire).

III. Synth` ese de la Commande

Le syst`eme est d’abord ´ecrit comme un syst`eme de contrˆole fronti`ere classique. Associ´e `a la structure de mod`ele interne, le syst`eme en boucle ferm´ee est d´ecrit sous la forme d’une perturbation du syst`eme en boucle ouverte.

Les param`etres de synth`ese de la loi de commande sont r´egl´es de sorte que cette perturbation garde stable les pro- pri´et´es du syst`eme en boucle ouverte : op´erateur ferm´e et semigroupe exponentiellement stable.

A. Le syst` eme ` a commande fronti` ere en boucle ouverte Le mod`ele lin´earis´e `a commande fronti`ere peut ˆetre for- mul´e comme suit, en se ramenant entre x am = 0 et x av = L pour chaque bief (L pouvant ˆetre diff´erent pour chaque bief) et X = L 2 (0, L) × L 2 (0, L) :

∂ t ξ(t) = A d (x)ξ(t), x ∈ Ω =]0, L[, t > 0 (14) F b ξ(t) = B b u(t), sur Γ = ∂Ω, t > 0

ξ(x, 0) = ξ 0 (x) sur Ω (15)

o` u A d (x) = A 1 (x)∂ x + A 2 (x), F b et B b correspondent aux expressions matricielles des conditions fronti`eres (10)-(12).

Dans le cas d’un contrˆole monovariable (d´eversoir) i.e.

cas a, u(t) ∈ U , U = R et :

D(A d ) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X et z(L) = ∂ q Ψ 2 (q e )q(L)}, Ker(F b ) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X

et q(0) = u 0,e ∂ z Ψ 1 (z e (0))z(0)} (16) Dans le cas d’un contrˆole multivariable i.e.

cas b, U = R n et :

D(A d ) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X}

Ker(F b ) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X,

q(0) = u 0,e ∂ z Ψ 1 (z e (0))z(0), q(L) = u L,e ∂ z Ψ 3,2 (z e (L))z(L)}

La variable de sortie, y, est mesur´ee en x j = L(j), 1 ≤ j ≤ p dans le cas de p biefs :

y(t) = Cξ(t), t ≥ 0, y(t) ∈ Y = R p (17)

o` u C est un op´erateur born´e (repr´esentation de la mesure en un point, o` u 1 x±µ (x) = 1 [x

i

−µ,x

i

+µ] (x) est la fonction qui vaut 1 si x ∈ [x i − µ, x i + µ], 0 sinon, et µ > 0) :

Cξ =

1 2µ

R x

1

x

1

−µ 1 x

1

±µ 0

1 2µ

R x

2

x

2

−µ 1 x

2

±µ 0 .. . .. .

1 2µ

R x

p

x

p

−µ 1 x

p

±µ 0

ξdx, µ > 0

Le syst`eme abstrait ´equivalent de contrˆole fronti`ere est ob- tenu par changement d’op´erateurs et de variable ([5], [17]).

1) Op´ erateur A du syst` eme abstrait de contrˆ ole fronti` ere :

D(A) = {ϕ ∈ D(A d ) : F b ϕ = 0} = D(A d ) ∩ Ker(F b ) et Aϕ = A d ϕ, ∀ϕ ∈ D(A) dans X = L 2 (0, L) × L 2 (0, L).

En se pla¸cant dans le cas non homog`ene, il est n´ecessaire de montrer que cet op´erateur est ferm´e. Dans le cas constant, ceci est habituellement admis.

Proposition 1: L’op´erateur A est g´en´erateur d’un semi- groupe ferm´e.

Preuve. A(x) = A 1 (x)∂ x + A 2 (x), A est un op´erateur lin´eaire et `a domaine dense. Il suffit de montrer que A 1 (x)∂ x est un op´erateur ferm´e, puisque d’apr`es l’hy- poth`ese (8) l’op´erateur A 2 (x) est compact.

Rappellons qu’un op´erateur ferm´e T v´erifie

T : X → Y, ∀z n (x) → z(x), T z n → y, ∀x ∈ (0, L)

⇒ z ∈ D(T ) et T z = y. (18) Pour A 1 (x)∂ x , d´efinissons f , tel que A 1 (x)∂ x f = y i.e.

f (ξ) = (A 1 (x)∂ x ) −1 y, o` u y, z et z n appartiennent `a X, avec y = (y 1 y 2 ) t , z = (z 1 z 2 ) t , z n = (z n q n ) t . Ainsi : (A 1 (x)∂ x ) −1

µ y 1

y 2

= Ã R x

0 a

3

(s)

a

1

a

2

(s) y 1 (s)ds − R x 0

y

2

(s) a

2

(s) ds

− R x 0

y

1

(s) a

1

ds

!

. En utilisant le produit propre `a X

kf − zk = kf − z n + z n − zk ≤ kf − z n k + kz n − zk kf − zk ≤

Z L 0

|f 1 − z n | 2 + |f 2 − q n | 2 dx + kz n − zk

≤ Z L

0

k 1 (0,x)

a 1 a 2 (x) k 2 L

2

ka 3 y 1 (s) − a 1 y 2 − a 1 a 2 z 0 n k 2 L

2

+k 1 (0,x)

a 1

k 2 L

2

(0,L) k − y 1 − a 1 q n 0 k 2 L

2

(0,L) dx + C 0 ² 0

≤ C² + C 0 ² 0 → 0 puisque z n (x) → z(x).

Donc f = z, et l’op´erateur est ferm´e d’apr`es (18).

2) Syst` eme d’´ etat en boucle ouverte.

Consid´erons le changement de variables suivant :

ξ(t) = ϕ(t) + Du(t) ∀t ≥ 0 (19) o` u u(t) ∈ U , D est un op´erateur born´e de U dans X , tel que

Du ∈ D(A d )

F b (Du(t)) = B b u(t) ∀u(t) ∈ U

(5)

Notons que sans perdre en g´en´eralit´e, l’op´erateur D peut ˆetre choisi tel que l’op´erateur A d reste inchang´e i.e.

Im(D) ⊂ Ker(A d )).

Le syst`eme (14)-(15) devient ´equivalent `a :

˙

ϕ(t) = Aϕ(t) − D u(t), ϕ(t) ˙ ∈ D(A), t > 0 ϕ(0) = ξ(0) − Du(0)

qui a classiquement pour solution : ϕ(t) = T A (t)ϕ 0 −

Z t 0

T A (t − s)D u(s)ds ˙

o` u ˙ u est prise continue et A doit ˆetre un g´en´erateur in- finit´esimal d’un C 0 semigroupe T A (t) tel que la solution ϕ(t) = T A (t)ϕ 0 existe et appartienne `a D(A).

Proposition 2: Le syst`eme en boucle ouverte est bien pos´e , i.e. g´en´erateur d’un C 0 -semigroupe.

Preuve. A(x) = A 1 (x)∂ x + A 2 (x), A est un op´erateur lin´eaire, ferm´e et `a domaine dense.

D’apr`es l’expression de A 1 (x) et A 2 (x) dans (13), pour tout x ∈ [0, L] et (8), les op´erateurs A 1 (x) et A 2 (x) sont com- pacts, donc l’op´erateur

B(x) = A −1 1 (x)A(x) = ∂ x + A 1 (x) −1 A 2 (x)

est une transformation born´ee inversible de A pour tout x ∈ [0, L]. De ce fait, B(x) est une perturbation born´ee de l’op´erateur T = ∂ x , qui est g´en´erateur d’un C 0 -semigroupe ([8], [12]).

Proposition 3: Le syst`eme en boucle ouverte a un semi- groupe exponentiellement stable.

Preuve. Rappelons que le syst`eme abstrait de contrˆole fronti`ere, en boucle ouverte, est

˙

ϕ(t) = Aϕ(t) t > 0 ϕ(0) = ϕ 0 dans D(A)

et ϕ(t) = T A (t)ϕ 0 (selon la proposition 2) o` u T A (t) est un C 0 semigroupe g´en´er´e par l’op´erateur A(x), qui a pour expression :

A(x) = A 1 (x)∂ x + A 2 (x).

La d´emonstration n’est que r´esum´ee ici, car assez longue.

Consid´erons les deux membres de cet op´erateur : A 2 (x) est semi-d´efini n´egatif, puisque son spectre est :

σ(A 2 (x)) = {0} ∪ {−a 5 (x)/a 5 (x) > 0 ∀ 0 ≤ x ≤ L}.

Le spectre de A 1 (x)∂ x est d´efini comme suit : σ(A 1 (x)∂ x ) = σ p (A 1 (x)∂ x ) = {µ n : µ n (x)

= µ(x) + 2iπn

Lθ(x) , n ∈ Z, θ(x) > 0} (20) . Comme <e(σ(A 1 (x)∂ x )) est strictement n´egative (µ(x) < 0 pour tout x ∈ [0, L]), et puisque A 1 (x)∂ x est `a r´esolvante compacte, on a :

hA 1 (x)∂ x ϕ, ϕi ≤ 0.

Donc, pour tout ϕ(x) ∈ D(A),

hA 2 (x)ϕ, ϕi ≤ 0 et hA 1 (x)∂ x ϕ, ϕi ≤ 0.

Soit, alors V (t) la fonction (Lyapunov) suivante, V (t) = 1

2 kϕ(t)k 2 L

2

(0,L) = 1

2 kT A (t)ϕ 0 k 2 L

2

(0,L) , alors ˙ V (t) = hA 1 (x)∂ x ϕ, ϕi + hA 2 (x)ϕ, ϕi et ˙ V (t) ≤ 0.

Selon l’approche Lyapunov-LaSalle, le syst`eme en boucle ouverte est un syst`eme compl`etement stable, i.e. kT (t)k <

+∞, ∀t > 0.

Finalement, l’exponentielle stabilit´e est d´emontr´ee en trois parties ; dans la premi`ere partie, on montre que 0 n’est pas une valeur propre de l’op´erateur global A, malgr´e le fait qu’il soit dans le spectre de A 2 (x). Deuxi`ement, l’op´erateur A est `a r´esolvante compacte, puis enfin, l’exponentielle stabilit´e d´ecoule de la propri´et´e de croissance spectrale (d’apr`es les th´eor`emes 3.17 p.214 [8], 5.1.5 et 5.1.6 p223 [3]).

L’objectif de r´egulation peut ˆetre atteint en utilisant une loi de commande simple dans la structure de contrˆole IMBC.

B. Le syst` eme en boucle ferm´ ee

Cette structure de contrˆole est un cas particulier de la structure classique IMC puisqu’elle contient un feedback sur le mod`ele interne. Ce qui permet d’avoir quelques per- formances suppl´ementaires inh´erentes `a la boucle ferm´ee.

Fig. 3. IMBC structure

Les mod`eles de poursuite M r et de filtrage M f sont des syst`emes stables dont les entr´ees et sorties sont de dimen- sion p. Pour une r´egulation, la loi de commande peut ˆetre choisie sous la forme d’un feedback de type int´egral

u(t) = ακζ(t) (21)

avec ˙ ζ(t) = ε(t) et o` u ε(t) = y d (t) − y(t), qui pr´esente l’int´erˆet de se comporter comme un int´egrateur par rapport

`a la sortie ”r´eelle” mesur´ee :

si e(t) ≡ 0 (i.e. mod`ele parfait) y(t) = y s (t), ε(t) = r(t) − y s (t) sinon ε(t) = r(t) − y(t) − y f (t) et

t→∞ lim ε(t) = lim

t→∞ (r(t)−y(t)−(y s (t)−y(t))) = lim

t→∞ r(t)−y s (t).

(22) En utilisant la relation (19), et en posant

x a (t) = (ϕ(t) ζ(t)) t ,

le syst`eme d’´etat ´etendu de la structure IMBC est

½ x ˙ a (t) = A(α)x a (t) + B(α)r(t)

x a (0) = x a0 (23)

(6)

o` u A(α) =

µ A 0

−C 0

µ DκC 0

0 −κCD

¶ + α 2

µ 0 DκCDκ

0 0

, (24) B(α) =

µ −αDκ 1

¶ .

A(α) peut ˆetre vu comme une perturbation de A : A(α) = A e + αA (1) e + α 2 A (2) e , o` u A (1) e et A (2) e sont des op´erateurs born´es.

C. Stabilit´ e

D’apr`es les travaux de Pohjolainen ([13], [14]), sous condition de contrˆolabilit´e entr´ee-sortie du syst`eme, la sta- bilit´e peut ˆetre obtenue par un choix des param`etres de perturbation. Nous rappelons le principal r´esultat de ces travaux :

Th´ eor` eme 4 ([13]) : Soient CD tel que rg(CD) = p et κ = −[CD] . Il existe alors un α max > 0 tel que σ(A) ∈ C , pour tout α ∈ (0, α max ). Si rg(CD) < p, le syst`eme ne peut ˆetre stabilis´e par aucune s´election de α, κ. († est la pseudo inverse `a droite.)

La valeur limite suffisante pour α max est aussi un r´esultat de la th´eorie de la perturbation, appliqu´ee `a la r´esolvante de l’op´erateur perturb´e :

Proposition 5 ([17]) : Une condition suffisante pour que la stabilit´e en boucle ferm´ee est donn´ee par :

0 < α < min

λ∈Γ (akR(λ, A e )k + 1) −1 avec a = max(kA (1) e k, kA (2) e k), Γ ∈ ρ(A e ),

<(σ(−κCD)) < 0. (25) Pour appliquer ceci au syst`eme pr´ec´edent en boucle ferm´ee, il est n´ecessaire de consid´erer la relation entr´ee-sortie dans le cas mono et multibiefs :

C : X = L 2 (0, L) × L 2 (0, L) → R p

D : C k ([0, ∞], R n ) → X = L 2 (0, L) × L 2 (0, L) o` u p est le nombre de hauteurs contrˆol´ees (= nombre de biefs), et n est le nombre de vannes de commande.

Or ξ(t) = T A (t)ξ(0) − R t

0 T A (t − s)D u(s)ds ˙ x(t) −Du(t) = T A (t)(x(0) − Du(0)) −

Z t 0

T A (t −s)D u(s)ds ˙ donc, pour des entr´ees constantes u(t) = ˜ u, on a ˙ u(t) ≡ 0, et u(0) = 0. Avec y(t) = Cx(t), on a :

y(t → ∞) = y ref → CD˜ u 6= 0. (26) Le raisonnement pr´ec´edent, nous permets donc d’´ecrire que

CD : C k ([0, ∞], R n ) → R p .

Dans le cas du d´eversoir, Figure 1, p = n, dans le cas deux biefs trois vannes, Figure 2, p = n − 1, donc p ≤ n.

La condition du rang de CD (rg(−CD) = p) se v´erifie alors par r´ecurrence.

IV. R´ esultats

Pour prendre en compte de fa¸con r´ealiste la dynamique des vannes, un syst`eme du second ordre peut ˆetre adopt´e pour d´ecrire leurs mouvements autour de leur position d’´equilibre :

¨

u(t) + 2ℵω n u(t) + ˙ ω n 2 u(t) = kω n 2 v(t)

½ u ˙ 1 = u 2

˙

u 2 = −2ℵω n u 2 − ω n 2 u 1 + kω n 2 v(t)

Le cas du d´eversoir (cas a) ayant d´ej`a ´et´e trait´e dans [4], seul des r´esultats sur le second cas sont donn´es.

A. R´ esultats de simulation

La variable de sortie est le niveau `a l’aval x = L. On impose un signal de r´ef´erence r(t) qui correspond `a une va- riation de −20% par rapport `a l’´etat d’´equilibre au temps t = 48s, puis de +20%, toujours par rapport `a l’´etat d’´equilibre au temps t = 350s. Sur la figure 4 est repr´esent´e le r´esultat de la poursuite, dans le cas b avec un bief, et le syst`eme simul´e par les ´equations non lin´eaires de Saint Venant [9]. Les courbes du bas repr´esentent les ouvertures de vannes amont et aval.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

t référence

modèle

système

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

t

dm

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Controle aval

t

dm

Controle amont

Fig. 4. Contrˆ ole & r´ egulation d’un bief

B. R´ esultats exp´ erimentaux : application au canal pilote de Valence

Le micro canal de Valence est un banc d’essai exp´erimental (longueur=8 m, largeur=0.1 m), avec une base rectangulaire, une l´eg`ere pente variable, et trois vannes (trois biefs avec le d´eversoir).

Dans le cas d’un bief avec deux vannes (cf. Figure 2), le d´ebit et la hauteur d’´equilibre sont les suivants :

Q e = 2dm 3 /s, z e (0) = 1.34dm.

(7)

Le signal de r´eference est d’atteindre une variation de la hauteur, en x = L de +20% au temps t = 90s, et −10%

au temps t = 250s. Le signal de r´ef´erence est d´ecrit par la courbe ”-.”, les mesures sur le syst`emes non lin´eaire par

”-”, et lin´eaire par ”- -” (Figure 5) repr´esentatif du cas b, avec un bief.

Dans le cas b avec deux biefs, i.e. dans le cas multi-

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

15 20 25 30 35 40

Fig. 5. Contrˆ ole & Hauteurs

biefs (Figure 6), la consigne est d’atteindre +20% dans le premier bief, −24% dans le second (avec en vert (-.) la r´eference `a atteindre, en rouge la mesure, en bleue le mod`ele (–), et pour les vannes 1=vert (-.), 2=rouge, 3=bleue (–)).

Les conditions initiales sont :

Q e = 1dm 3 , z e1 (0) = 1.22dm, z e2 (0) = 1.02dm, α = 2

V. Conclusion

La repr´esentation du syst`eme de r´egulation des canaux d’irrigation en dimension infinie semble bien adapt´ee au probl`eme pos´e. Les r´esultats de simulations et l’application exp´erimentale semblent bien prometteurs pour une appli- cation `a des canaux r´eels. En effet, la prise en compte de l’´evolution spatiale des param`etres du mod`ele, permettra certainement une meilleure prise en compte des canaux en situation r´eelle. Le cas monobief ou de plusieurs biefs en cascade sont trait´es sans difficult´es particuli`eres. D’autre part, la partie th´eorique, li´ee aux syst`emes en dimension infinie, est en phase d’ˆetre convenablement ´etablie.

R´ ef´ erences

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[3] CURTAIN R.F. & ZWART H. (1995) An introduction to Infinite Dimensional Linear Systems, Springer Verlag .

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0.5 1 1.5

2 premier bief

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0.5 1 1.5

2 second bief

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

−20

−10 0 10 20 30 40 50 60

vanne 2

vanne 3

vanne 1

Fig. 6. Hauteur aval dans les 2 biefs (dm) et ouvertures des 3 vannes (mm)

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