HAL Id: hal-01899104
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01899104
Submitted on 19 Oct 2018
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Régulation de Canaux d’Irrigation : Approche par Contrôle Frontière Multivariable, et Modèle Interne
d’EDP
Valérie Santos, Youssoufi Touré, Nathalie Cislo
To cite this version:
Valérie Santos, Youssoufi Touré, Nathalie Cislo. Régulation de Canaux d’Irrigation : Approche par Contrôle Frontière Multivariable, et Modèle Interne d’EDP. CIFA 2004, Nov 2004, Douz, Tunisie.
�hal-01899104�
CIFA 2004
R´egulation de Canaux d’Irrigation :
Approche par Contrˆ ole Fronti`ere Multivariable, et Mod`ele Interne d’EDP.
Val´ erie DOS SANTOS 1 , Youssoufi TOUR ´ E 2 , Nathalie CISLO 3
Laboratoire de Vision et Robotique, Universit´ e d’Orl´ eans, IUT de Bourges, 63, avenue De Lattre de Tassigny,
F-18020 Bourges, France
1 Valerie.dossantos@bourges.univ-orleans.fr,
2 Youssoufi.toure@bourges.univ-orleans.fr,
3 Nathalie.cislo@bourges.univ-orleans.fr, http://cifa2004.ec-lille.fr
R´ esum´ e— Ce papier traite de la r´ egulation d’une classe de canaux d’irrigation en utilisant une forme particuli` ere de la commande par mod` ele interne (IMC), directement sur les ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles (edp) de Saint Venant.
Nous consid´ erons le cas plusieurs biefs en cascade. Dans le mod` ele de r´ egulation retenu, l’aspect non homog` ene du syst` eme en fonction de la dimension spatiale est conserv´ e.
De ce fait, il est moins direct d’utiliser la th´ eorie existante, notamment celle de la perturbation en dimension infinie.
Dans ce papier, nous proposons une synth` ese de commande, passant par le contrˆ ole fronti` ere par mod` ele interne, qui utilise la perturbation des op´ erateurs et des semigroupes comme levier de r´ eglage. La r´ egulation de niveaux dans le cas de biefs en cascade est ainsi trait´ ee. Les r´ esultats de simulations puis exp´ erimentaux (sur le micro-canal de Va- lence) sont encourageants pour une extension aux cas r´ eels.
Mots-cl´ es — Equations de Saint Venant, canaux d’irrigation, semi-groupe, contrˆ ole fronti` ere multivariable, multibiefs.
I. Introduction
Que ce soit pour la mod´elisation ou pour le contrˆole, les syst`emes hydrauliques `a surface libre ont succit´e des approches tr`es diverses ([6], [11]). En ce qui concerne la commande, il y a actuellement deux approches : la com- mande en dimension finie (identification du syst`eme ou ap- proximation des EDP) et l’approche directe en dimension infinie (les m´ethodes et outils ´elabor´es directement sur les EDP).
Ce papier se situe dans la deuxi`eme approche ([13], [15], [17], [18]), en utilisant les ´equations aux d´eriv´ees partielles qui d´ecrivent les ´ecoulements en milieu ouvert (´equations de Saint Venant).
Nous proposons le contrˆole fronti`ere par mod`ele interne pour la synth`ese du contrˆole, en vue de la r´egulation d’un ou plusieurs biefs. Ce contrˆole fronti`ere par mod`ele interne a ´et´e introduit dans [17], pour des syst`emes paraboliques dissipatifs, exponentiellement stables. Nous l’´etendons ici
`a un cas hyperbolique en tenant compte en plus, du fait que les param`etres sont d´ependants de la variable d’espace.
L’´etude du syst`eme pour la synth`ese de commande peut
alors se ramener `a la conservation des propri´et´es de stabi- lit´e de semigroupe, par application de certains r´esultats de la th´eorie des perturbations ([8]).
Dans la premi`ere section, le probl`eme de r´egulation est rap- pel´ee dans le cas du canal form´e de plusieurs biefs en cas- cade et le cas d’un bief en fin de chaˆıne (avec un d´eversoir).
Le mod`ele non lin´eaire d’un canal rectangulaire est ainsi rappel´e pour ´etablir le mod`ele lin´earis´e pour la r´egulation autour d’un ´etat d’´equilibre.
La deuxi`eme partie concerne le syst`eme de commande.
Le syst`eme de contrˆole fronti`ere est proprement pos´e, de mani`ere `a ´etablir les propri´et´es essentielles `a conserver suite
`a la perturbation structurelle qu’est la boucle ferm´ee. As- soci´e `a la structure particuli`ere du mod`ele interne adopt´ee, on montre que le syst`eme ´etendu est repr´esent´e par un op´erateur ferm´e, g´en´erateur d’un C 0 -semigroupe exponen- tiellement stable. Les param`etres de synth`ese sont alors ob- tenus par une application directe des r´esultats de la th´eorie des perturbations d’op´erateurs et de semigroupe ([8], [13], [17]).
Dans la derni`ere partie, des r´esultats de simulations et d’application sur le canal exp´erimental de Valence, concer- nant la poursuite de niveaux de r´ef´erence autour d’´etats d’´equilibres, sont donn´es.
II. Le probl` eme de r´ egulation du canal : un syst` eme de commande fronti` ere
On consid`ere la classe suivante de canaux, repr´esent´es par la Figure 1 pour un bief suivi d’un d´eversoir, et par la Figure 2 pour deux biefs en cascade o` u :
– Q(x, t) est le d´ebit,
– Z(x, t) est la hauteur d’eau du canal,
– L et L 0 sont les longueurs des deux biefs qui sont `a r´eguler entre, l’amont x = 0 et l’aval x = L pour le premier, et x = L et x = L + L 0 pour le second.
– U 0 (t), U L (t) et U L+L
0(t) sont les ouvertures des
vannes.
Fig. 1. Sch´ ema du Canal : une vanne
Fig. 2. Sch´ ema du Canal : deux biefs
Le probl`eme de r´egulation concerne la stabilisation du d´ebit et/ou de la hauteur d’eau, autour d’un niveau d’´equilibre pour un bief, not´e (z e (x), q e (x)). Un mod`ele lin´eaire `a coefficients variables peut donc ˆetre utilis´e pour d´ecrire les variations autour de ce comportement d’´equilibre. Nous rappelons ces mod`eles.
A. Le Mod` ele d’un bief
On suppose que le canal a une longueur L suffisante, de telle sorte qu’on puisse consid´erer un mouvement uniforme dans la direction lat´erale. Les edp, non lin´eaires, de Saint Venant qui d´ecrivent un canal rectangulaire sont les sui- vantes ([6], [11]) :
∂ t Z = −∂ x
Q
b , (1)
∂ t Q = −∂ x ( Q 2 bZ + 1
2 gbZ 2 ) + gbZ(I − J), (2) Z(x, 0) = Z 0 (x), Q(x, 0) = Q 0 (x), (3) o` u I est la pente du fond, b la largeur du canal, g la constante de gravit´e et J la pente de frottement, exprim´ee
`a partir de la formule de Manning-Strickler, R est le rayon hydraulique :
J = n 2 Q 2
(bZ) 2 R 4/3 , R = bZ
b + 2Z . (4) Les diff´erentes conditions aux limites nous am`enent `a consi- derer deux cas de contrˆole possible :
Cas a Contrˆ ole monovariable, cas du d´ eversoir : L’´equation de la condition en amont du bief (x = x am ) est donn´ee par
Q(x am , t) = U am (t)Ψ 1 (Z (x am , t)). (5) La condition en aval du bief (x = x av ) est l’´equation du d´eversoir (Fig. 1) :
Z(x av , t) = Ψ 2 (Q(x av , t)), (6) o` u :
Ψ 1 (Z) = K i
p 2g(z am − Z ), Ψ 2 (Q) = ( Q 2
2gK 2 i ) 1/3 + h s . z am est la hauteur d’eau en amont de la vanne, K i est le produit de la largeur avec le coefficient de d´ebit de la vanne n 0 i, U am (t) est la commande amont.
Notons que la variable `a contrˆoler est la hauteur en x av . Remarque 1: On a dans ce cas x am = 0, x av = L, U am = U 0 (cf. Figure 1).
Cas b Contrˆ ole multivariable, biefs en cascade : L’´equation de la condition amont est toujours (5) :
Q(x am , t) = U am (t)Ψ 1 (Z(x am , t)).
Une autre commande apparaˆıt en aval de chaque bief, i.e.
en x = x av (Fig. 2) :
Q(x av , t) = U av (t)Ψ 3 (Z(x av , t)), o` u Ψ 3 (Z) = K i
p 2g(Z − z av )
et U av (t) est la commande aval du bief, z av est la hauteur d’eau en aval de la vanne.
Remarque 2: L’amont et l’aval d´ependent du bief consid´er´e, il en est de mˆeme pour les abscisses et les vannes.
B. Un mod` ele de r´ egulation
Un ´etat d’´equilibre du syst`eme v´erifie les ´equations sui- vantes :
∂ x q e = 0
∂ x z e = gbz e
I + J e + 4 3 J e 1 1+2z
e/b
gbz e − q 2 e /bz 2 e , (7) Remarque 3: On se place dans le cas fluvial :
z e > p
3q e 2 /(gb 2 ). (8) Notons que q e est constant mais que z e d´epend de la va- riable d’espace.
Le syst`eme lin´earis´e autour d’un niveau d’´equilibre, est alors (un niveau d’´equilibre diff´erent par bief) :
ξ(t) = (z(t) q(t)) t
∂ t ξ(t) = A 1 (x)∂ x ξ(x) + A 2 (x)ξ(x) (9) ξ(x, 0) = ξ 0 (x)
q(x am , t) = u am,e ∂ z Ψ 1 (z e (x am , t))z(x am , t) +u am (t)Ψ 1 (z e (x am , t)) (10) Cas a : z(x av , t) = ∂ q Ψ 2 (q e )q(x av , t) (11) Cas b : q(x av , t) = u av,e ∂ z Ψ 3 (z e (x av , t))z(x av , t)
+u av (t)Ψ 3 (z e (x av , t)) (12) o` u u am,e , u av,e sont les ouvertures de vannes pour les points d’´equilibre amont et aval d’un bief et u am , u av sont les variations de ces ouvertures.
A 1 (x) =
µ 0 −a 1 (x)
−a 2 (x) −a 3 (x)
¶ , A 2 (x) =
µ 0 0
a 4 (x) −a 5 (x)
¶
, (13)
avec a 1 (x) = 1/b, a 2 (x) = gbz e (x) − q
2 e
bz
e2(x) , a 3 (x) = 2q e
bz e (x) , a 5 (x) = 2gbJ e (x)z e (x) q e
a 4 (x) = gb(I + J e (x) +
4 3 J e (x) 1 + 2z e (x)/b ).
Le probl`eme de commande est alors le suivant :
Cas a : trouver les variations de u am (t) `a l’extr´emit´e x = x am , pour que la variable de sortie en aval, x = x av , suive un signal de r´ef´erence r(t).
Cas b : trouver les variations de u am (t) `a l’extr´emit´e x = x am , et u av (t) `a l’extr´emit´e x = x av de chaque bief telles que les variables de sorties en aval, x = x av (variables mesur´ees), suivent un signal de r´ef´erence r(t), distinct pour chaque bief.
Le signal de r´ef´erence r(t) est choisi, dans tous les cas, soit constant, soit non persistant (une r´eponse indicielle stable d’un syst`eme non oscillatoire).
III. Synth` ese de la Commande
Le syst`eme est d’abord ´ecrit comme un syst`eme de contrˆole fronti`ere classique. Associ´e `a la structure de mod`ele interne, le syst`eme en boucle ferm´ee est d´ecrit sous la forme d’une perturbation du syst`eme en boucle ouverte.
Les param`etres de synth`ese de la loi de commande sont r´egl´es de sorte que cette perturbation garde stable les pro- pri´et´es du syst`eme en boucle ouverte : op´erateur ferm´e et semigroupe exponentiellement stable.
A. Le syst` eme ` a commande fronti` ere en boucle ouverte Le mod`ele lin´earis´e `a commande fronti`ere peut ˆetre for- mul´e comme suit, en se ramenant entre x am = 0 et x av = L pour chaque bief (L pouvant ˆetre diff´erent pour chaque bief) et X = L 2 (0, L) × L 2 (0, L) :
∂ t ξ(t) = A d (x)ξ(t), x ∈ Ω =]0, L[, t > 0 (14) F b ξ(t) = B b u(t), sur Γ = ∂Ω, t > 0
ξ(x, 0) = ξ 0 (x) sur Ω (15)
o` u A d (x) = A 1 (x)∂ x + A 2 (x), F b et B b correspondent aux expressions matricielles des conditions fronti`eres (10)-(12).
Dans le cas d’un contrˆole monovariable (d´eversoir) i.e.
cas a, u(t) ∈ U , U = R et :
D(A d ) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X et z(L) = ∂ q Ψ 2 (q e )q(L)}, Ker(F b ) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X
et q(0) = u 0,e ∂ z Ψ 1 (z e (0))z(0)} (16) Dans le cas d’un contrˆole multivariable i.e.
cas b, U = R n et :
D(A d ) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X}
Ker(F b ) = {ξ ∈ X : ξ a.c., dξ/dx ∈ X,
q(0) = u 0,e ∂ z Ψ 1 (z e (0))z(0), q(L) = u L,e ∂ z Ψ 3,2 (z e (L))z(L)}
La variable de sortie, y, est mesur´ee en x j = L(j), 1 ≤ j ≤ p dans le cas de p biefs :
y(t) = Cξ(t), t ≥ 0, y(t) ∈ Y = R p (17)
o` u C est un op´erateur born´e (repr´esentation de la mesure en un point, o` u 1 x±µ (x) = 1 [x
i−µ,x
i+µ] (x) est la fonction qui vaut 1 si x ∈ [x i − µ, x i + µ], 0 sinon, et µ > 0) :
Cξ =
1 2µ
R x
1+µ
x
1−µ 1 x
1±µ 0
1 2µ
R x
2+µ
x
2−µ 1 x
2±µ 0 .. . .. .
1 2µ
R x
p+µ
x
p−µ 1 x
p±µ 0
ξdx, µ > 0
Le syst`eme abstrait ´equivalent de contrˆole fronti`ere est ob- tenu par changement d’op´erateurs et de variable ([5], [17]).
1) Op´ erateur A du syst` eme abstrait de contrˆ ole fronti` ere :
D(A) = {ϕ ∈ D(A d ) : F b ϕ = 0} = D(A d ) ∩ Ker(F b ) et Aϕ = A d ϕ, ∀ϕ ∈ D(A) dans X = L 2 (0, L) × L 2 (0, L).
En se pla¸cant dans le cas non homog`ene, il est n´ecessaire de montrer que cet op´erateur est ferm´e. Dans le cas constant, ceci est habituellement admis.
Proposition 1: L’op´erateur A est g´en´erateur d’un semi- groupe ferm´e.
Preuve. A(x) = A 1 (x)∂ x + A 2 (x), A est un op´erateur lin´eaire et `a domaine dense. Il suffit de montrer que A 1 (x)∂ x est un op´erateur ferm´e, puisque d’apr`es l’hy- poth`ese (8) l’op´erateur A 2 (x) est compact.
Rappellons qu’un op´erateur ferm´e T v´erifie
T : X → Y, ∀z n (x) → z(x), T z n → y, ∀x ∈ (0, L)
⇒ z ∈ D(T ) et T z = y. (18) Pour A 1 (x)∂ x , d´efinissons f , tel que A 1 (x)∂ x f = y i.e.
f (ξ) = (A 1 (x)∂ x ) −1 y, o` u y, z et z n appartiennent `a X, avec y = (y 1 y 2 ) t , z = (z 1 z 2 ) t , z n = (z n q n ) t . Ainsi : (A 1 (x)∂ x ) −1
µ y 1
y 2
¶
= Ã R x
0 a
3(s)
a
1a
2(s) y 1 (s)ds − R x 0
y
2(s) a
2(s) ds
− R x 0
y
1(s) a
1ds
!
. En utilisant le produit propre `a X
kf − zk = kf − z n + z n − zk ≤ kf − z n k + kz n − zk kf − zk ≤
Z L 0
|f 1 − z n | 2 + |f 2 − q n | 2 dx + kz n − zk
≤ Z L
0
k 1 (0,x)
a 1 a 2 (x) k 2 L
2ka 3 y 1 (s) − a 1 y 2 − a 1 a 2 z 0 n k 2 L
2+k 1 (0,x)
a 1
k 2 L
2(0,L) k − y 1 − a 1 q n 0 k 2 L
2(0,L) dx + C 0 ² 0
≤ C² + C 0 ² 0 → 0 puisque z n (x) → z(x).
Donc f = z, et l’op´erateur est ferm´e d’apr`es (18).
2) Syst` eme d’´ etat en boucle ouverte.
Consid´erons le changement de variables suivant :
ξ(t) = ϕ(t) + Du(t) ∀t ≥ 0 (19) o` u u(t) ∈ U , D est un op´erateur born´e de U dans X , tel que
Du ∈ D(A d )
F b (Du(t)) = B b u(t) ∀u(t) ∈ U
Notons que sans perdre en g´en´eralit´e, l’op´erateur D peut ˆetre choisi tel que l’op´erateur A d reste inchang´e i.e.
Im(D) ⊂ Ker(A d )).
Le syst`eme (14)-(15) devient ´equivalent `a :
˙
ϕ(t) = Aϕ(t) − D u(t), ϕ(t) ˙ ∈ D(A), t > 0 ϕ(0) = ξ(0) − Du(0)
qui a classiquement pour solution : ϕ(t) = T A (t)ϕ 0 −
Z t 0
T A (t − s)D u(s)ds ˙
o` u ˙ u est prise continue et A doit ˆetre un g´en´erateur in- finit´esimal d’un C 0 semigroupe T A (t) tel que la solution ϕ(t) = T A (t)ϕ 0 existe et appartienne `a D(A).
Proposition 2: Le syst`eme en boucle ouverte est bien pos´e , i.e. g´en´erateur d’un C 0 -semigroupe.
Preuve. A(x) = A 1 (x)∂ x + A 2 (x), A est un op´erateur lin´eaire, ferm´e et `a domaine dense.
D’apr`es l’expression de A 1 (x) et A 2 (x) dans (13), pour tout x ∈ [0, L] et (8), les op´erateurs A 1 (x) et A 2 (x) sont com- pacts, donc l’op´erateur
B(x) = A −1 1 (x)A(x) = ∂ x + A 1 (x) −1 A 2 (x)
est une transformation born´ee inversible de A pour tout x ∈ [0, L]. De ce fait, B(x) est une perturbation born´ee de l’op´erateur T = ∂ x , qui est g´en´erateur d’un C 0 -semigroupe ([8], [12]).
Proposition 3: Le syst`eme en boucle ouverte a un semi- groupe exponentiellement stable.
Preuve. Rappelons que le syst`eme abstrait de contrˆole fronti`ere, en boucle ouverte, est
˙
ϕ(t) = Aϕ(t) t > 0 ϕ(0) = ϕ 0 dans D(A)
et ϕ(t) = T A (t)ϕ 0 (selon la proposition 2) o` u T A (t) est un C 0 semigroupe g´en´er´e par l’op´erateur A(x), qui a pour expression :
A(x) = A 1 (x)∂ x + A 2 (x).
La d´emonstration n’est que r´esum´ee ici, car assez longue.
Consid´erons les deux membres de cet op´erateur : A 2 (x) est semi-d´efini n´egatif, puisque son spectre est :
σ(A 2 (x)) = {0} ∪ {−a 5 (x)/a 5 (x) > 0 ∀ 0 ≤ x ≤ L}.
Le spectre de A 1 (x)∂ x est d´efini comme suit : σ(A 1 (x)∂ x ) = σ p (A 1 (x)∂ x ) = {µ n : µ n (x)
= µ(x) + 2iπn
Lθ(x) , n ∈ Z, θ(x) > 0} (20) . Comme <e(σ(A 1 (x)∂ x )) est strictement n´egative (µ(x) < 0 pour tout x ∈ [0, L]), et puisque A 1 (x)∂ x est `a r´esolvante compacte, on a :
hA 1 (x)∂ x ϕ, ϕi ≤ 0.
Donc, pour tout ϕ(x) ∈ D(A),
hA 2 (x)ϕ, ϕi ≤ 0 et hA 1 (x)∂ x ϕ, ϕi ≤ 0.
Soit, alors V (t) la fonction (Lyapunov) suivante, V (t) = 1
2 kϕ(t)k 2 L
2(0,L) = 1
2 kT A (t)ϕ 0 k 2 L
2(0,L) , alors ˙ V (t) = hA 1 (x)∂ x ϕ, ϕi + hA 2 (x)ϕ, ϕi et ˙ V (t) ≤ 0.
Selon l’approche Lyapunov-LaSalle, le syst`eme en boucle ouverte est un syst`eme compl`etement stable, i.e. kT (t)k <
+∞, ∀t > 0.
Finalement, l’exponentielle stabilit´e est d´emontr´ee en trois parties ; dans la premi`ere partie, on montre que 0 n’est pas une valeur propre de l’op´erateur global A, malgr´e le fait qu’il soit dans le spectre de A 2 (x). Deuxi`ement, l’op´erateur A est `a r´esolvante compacte, puis enfin, l’exponentielle stabilit´e d´ecoule de la propri´et´e de croissance spectrale (d’apr`es les th´eor`emes 3.17 p.214 [8], 5.1.5 et 5.1.6 p223 [3]).
L’objectif de r´egulation peut ˆetre atteint en utilisant une loi de commande simple dans la structure de contrˆole IMBC.
B. Le syst` eme en boucle ferm´ ee
Cette structure de contrˆole est un cas particulier de la structure classique IMC puisqu’elle contient un feedback sur le mod`ele interne. Ce qui permet d’avoir quelques per- formances suppl´ementaires inh´erentes `a la boucle ferm´ee.
Fig. 3. IMBC structure
Les mod`eles de poursuite M r et de filtrage M f sont des syst`emes stables dont les entr´ees et sorties sont de dimen- sion p. Pour une r´egulation, la loi de commande peut ˆetre choisie sous la forme d’un feedback de type int´egral
u(t) = ακζ(t) (21)
avec ˙ ζ(t) = ε(t) et o` u ε(t) = y d (t) − y(t), qui pr´esente l’int´erˆet de se comporter comme un int´egrateur par rapport
`a la sortie ”r´eelle” mesur´ee :
si e(t) ≡ 0 (i.e. mod`ele parfait) y(t) = y s (t), ε(t) = r(t) − y s (t) sinon ε(t) = r(t) − y(t) − y f (t) et
t→∞ lim ε(t) = lim
t→∞ (r(t)−y(t)−(y s (t)−y(t))) = lim
t→∞ r(t)−y s (t).
(22) En utilisant la relation (19), et en posant
x a (t) = (ϕ(t) ζ(t)) t ,
le syst`eme d’´etat ´etendu de la structure IMBC est
½ x ˙ a (t) = A(α)x a (t) + B(α)r(t)
x a (0) = x a0 (23)
o` u A(α) =
µ A 0
−C 0
¶
+α
µ DκC 0
0 −κCD
¶ + α 2
µ 0 DκCDκ
0 0
¶
, (24) B(α) =
µ −αDκ 1
¶ .
A(α) peut ˆetre vu comme une perturbation de A : A(α) = A e + αA (1) e + α 2 A (2) e , o` u A (1) e et A (2) e sont des op´erateurs born´es.
C. Stabilit´ e
D’apr`es les travaux de Pohjolainen ([13], [14]), sous condition de contrˆolabilit´e entr´ee-sortie du syst`eme, la sta- bilit´e peut ˆetre obtenue par un choix des param`etres de perturbation. Nous rappelons le principal r´esultat de ces travaux :
Th´ eor` eme 4 ([13]) : Soient CD tel que rg(CD) = p et κ = −[CD] † . Il existe alors un α max > 0 tel que σ(A) ∈ C − , pour tout α ∈ (0, α max ). Si rg(CD) < p, le syst`eme ne peut ˆetre stabilis´e par aucune s´election de α, κ. († est la pseudo inverse `a droite.)
La valeur limite suffisante pour α max est aussi un r´esultat de la th´eorie de la perturbation, appliqu´ee `a la r´esolvante de l’op´erateur perturb´e :
Proposition 5 ([17]) : Une condition suffisante pour que la stabilit´e en boucle ferm´ee est donn´ee par :
0 < α < min
λ∈Γ (akR(λ, A e )k + 1) −1 avec a = max(kA (1) e k, kA (2) e k), Γ ∈ ρ(A e ),
<(σ(−κCD)) < 0. (25) Pour appliquer ceci au syst`eme pr´ec´edent en boucle ferm´ee, il est n´ecessaire de consid´erer la relation entr´ee-sortie dans le cas mono et multibiefs :
C : X = L 2 (0, L) × L 2 (0, L) → R p
D : C k ([0, ∞], R n ) → X = L 2 (0, L) × L 2 (0, L) o` u p est le nombre de hauteurs contrˆol´ees (= nombre de biefs), et n est le nombre de vannes de commande.
Or ξ(t) = T A (t)ξ(0) − R t
0 T A (t − s)D u(s)ds ˙ x(t) −Du(t) = T A (t)(x(0) − Du(0)) −
Z t 0
T A (t −s)D u(s)ds ˙ donc, pour des entr´ees constantes u(t) = ˜ u, on a ˙ u(t) ≡ 0, et u(0) = 0. Avec y(t) = Cx(t), on a :
y(t → ∞) = y ref → CD˜ u 6= 0. (26) Le raisonnement pr´ec´edent, nous permets donc d’´ecrire que
CD : C k ([0, ∞], R n ) → R p .
Dans le cas du d´eversoir, Figure 1, p = n, dans le cas deux biefs trois vannes, Figure 2, p = n − 1, donc p ≤ n.
La condition du rang de CD (rg(−CD) = p) se v´erifie alors par r´ecurrence.
IV. R´ esultats
Pour prendre en compte de fa¸con r´ealiste la dynamique des vannes, un syst`eme du second ordre peut ˆetre adopt´e pour d´ecrire leurs mouvements autour de leur position d’´equilibre :
¨
u(t) + 2ℵω n u(t) + ˙ ω n 2 u(t) = kω n 2 v(t)
⇔
½ u ˙ 1 = u 2
˙
u 2 = −2ℵω n u 2 − ω n 2 u 1 + kω n 2 v(t)
Le cas du d´eversoir (cas a) ayant d´ej`a ´et´e trait´e dans [4], seul des r´esultats sur le second cas sont donn´es.
A. R´ esultats de simulation
La variable de sortie est le niveau `a l’aval x = L. On impose un signal de r´ef´erence r(t) qui correspond `a une va- riation de −20% par rapport `a l’´etat d’´equilibre au temps t = 48s, puis de +20%, toujours par rapport `a l’´etat d’´equilibre au temps t = 350s. Sur la figure 4 est repr´esent´e le r´esultat de la poursuite, dans le cas b avec un bief, et le syst`eme simul´e par les ´equations non lin´eaires de Saint Venant [9]. Les courbes du bas repr´esentent les ouvertures de vannes amont et aval.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
t référence
modèle
système
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
t
dm
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0 0.1 0.2 0.3 0.4
Controle aval
t
dm
Controle amont
Fig. 4. Contrˆ ole & r´ egulation d’un bief
B. R´ esultats exp´ erimentaux : application au canal pilote de Valence
Le micro canal de Valence est un banc d’essai exp´erimental (longueur=8 m, largeur=0.1 m), avec une base rectangulaire, une l´eg`ere pente variable, et trois vannes (trois biefs avec le d´eversoir).
Dans le cas d’un bief avec deux vannes (cf. Figure 2), le d´ebit et la hauteur d’´equilibre sont les suivants :
Q e = 2dm 3 /s, z e (0) = 1.34dm.
Le signal de r´eference est d’atteindre une variation de la hauteur, en x = L de +20% au temps t = 90s, et −10%
au temps t = 250s. Le signal de r´ef´erence est d´ecrit par la courbe ”-.”, les mesures sur le syst`emes non lin´eaire par
”-”, et lin´eaire par ”- -” (Figure 5) repr´esentatif du cas b, avec un bief.
Dans le cas b avec deux biefs, i.e. dans le cas multi-
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
15 20 25 30 35 40
Fig. 5. Contrˆ ole & Hauteurs
biefs (Figure 6), la consigne est d’atteindre +20% dans le premier bief, −24% dans le second (avec en vert (-.) la r´eference `a atteindre, en rouge la mesure, en bleue le mod`ele (–), et pour les vannes 1=vert (-.), 2=rouge, 3=bleue (–)).
Les conditions initiales sont :
Q e = 1dm 3 , z e1 (0) = 1.22dm, z e2 (0) = 1.02dm, α = 2
V. Conclusion
La repr´esentation du syst`eme de r´egulation des canaux d’irrigation en dimension infinie semble bien adapt´ee au probl`eme pos´e. Les r´esultats de simulations et l’application exp´erimentale semblent bien prometteurs pour une appli- cation `a des canaux r´eels. En effet, la prise en compte de l’´evolution spatiale des param`etres du mod`ele, permettra certainement une meilleure prise en compte des canaux en situation r´eelle. Le cas monobief ou de plusieurs biefs en cascade sont trait´es sans difficult´es particuli`eres. D’autre part, la partie th´eorique, li´ee aux syst`emes en dimension infinie, est en phase d’ˆetre convenablement ´etablie.
R´ ef´ erences
[1] CHEN M.-L. (2001) Commande optimale et robuste des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles, Th` ese de l’Institut National Polytechnique de Grenoble.
[2] CHEN P. & QIN H. (2002) Controllability of Linear Systems in Banach Spaces, Systems & Control Letters, 45, 155-161.
[3] CURTAIN R.F. & ZWART H. (1995) An introduction to Infinite Dimensional Linear Systems, Springer Verlag .
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.5 1 1.5
2 premier bief
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0.5 1 1.5
2 second bief
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
−20
−10 0 10 20 30 40 50 60
vanne 2
vanne 3
vanne 1
