A propos de la contrˆ olabilit´ e d’une arche cylindrique

UNIVERSIT ´ E BLAISE PASCAL

MASTER RECHERCHE DE MATH ´ EMATIQUES M2 - 2015-2016 UE EDPs et Analyse : Introduction ` a la th´ eorie du contrˆ ole -

Examen terminal du mercredi 20 janvier 2016 - Documents de cours autoris´ es Dur´ ee: 2h15

A propos de la contrˆ olabilit´ e d’une arche cylindrique

Pr´ eliminaires, rappels

On s’int´ eresse ` a la contrˆ olabilit´ e d’un syst` eme de deux EDPs par un seul contrˆ ole. Ce syst` eme mod´ elise les vibrations d’une arche cylindrique de longueur 1 et de courbure c ≥ 0.

Pour cela, on utilise une approche spectrale.

Les r´ esultats g´ en´ eraux suivants seront utiles:

i) La famille de fonctions {w _k (ξ)} _{k∈ N} , ξ ∈ (0, 1) avec w _k (ξ) = √

2 sin(kπξ) forme une base orthonorm´ ee de L ² (0, 1) et de H ₀ ¹ (0, 1). En particulier,

< w _p , w _q > _L

(0,1) = Z 1

0

w _p (ξ)w _q (ξ)dξ = δ _pq , ∀p, q ∈ N avec δ pq = 1 si p = q et δ pq = 0 si p 6= q.

ii) De la mˆ eme fa¸ con, si c _k (ξ) = √

2 cos(kπξ), alors Z 1

0

c _p (ξ)c _q (ξ)dξ = δ _pq ,

Z 1 0

c _p (ξ)w _q (ξ)dξ = 0 ∀p, q ∈ N .

iii) L’´ egalit´ e de Parseval se g´ en´ eralise de la fa¸ con suivante (on note |a| le module (respec- tivement valeur absolue) du nombre complexe (respectivement r´ eel) a) :

Th´ eor` eme 1 . Soit K ∈ Z et (w k ) k∈K une famille de nombres r´ eels satisfaisant la condition γ := inf k6=n |w _k − w n | > 0. Si I est un intervalle born´ e de longueur |I| > 2π/γ, alors il existe deux constantes positives C ₁ , C ₂ telles que

C 1

X

k∈K

|x _k | ² ≤ Z

I

|x(t)| ² dt ≤ C 2

X

k∈K

|x _k | ²

pour toute fonction x donn´ ee par la somme x(t) = P

k∈K x _k e ^iw

^t avec x _k ∈ C tels que P

k∈K |x _k | ² < ∞.

iv) L’EDO du second ordre ` a coefficients constants

− d ² m(ξ)

d ² ξ = Km(ξ), ξ ∈ (0, 1) (1)

avec K > 0 admet pour solution g´ en´ erale m(ξ) = α cos( √

Kξ) + β sin( √

Kξ), α, β ∈ R .

Notations

Soit T > 0, c ≥ 0 et ω = (0, 1). Soit y = (y ₁ , y ₂ ) et soit le syst` eme de deux ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles suivant:



 

 



 

 



y ⁰⁰ ₁ − (y 1,ξξ + cy 2,ξ ) = 0, (ξ, t) ∈ ω × (0, T ), y ⁰⁰ ₂ + c(y _1,ξ + cy ₂ ) = 0, (ξ, t) ∈ ω × (0, T ), y ₁ (0, t) = 0, y ₁ (1, t) = v(t), t ∈ (0, T ), y i (ξ, 0) = y ⁰ _i (ξ), y _i ⁰ (ξ, 0) = y _i ¹ (ξ), i = 1, 2 ξ ∈ ω,

(2)

o` u

• y i , i = 1, 2 est une fonction de (ξ, t) ∈ ω et t ∈ (0, T ): y i = y i (ξ, t);

• y _i ⁰ (ξ, t) := ^∂y

_∂t ^(ξ,t) , y ⁰⁰ _i (ξ, t) := ^∂

^y _∂

^(ξ,t) t ;

• y _i,ξ (ξ, t) := ^∂y

_∂ξ ^(ξ,t) ; y _i,ξξ (ξ, t) := ^∂

^y _∂

^(ξ,t) ξ ;

• v est une variable de contrˆ ole fonction de t ∈ (0, T ): v = v(t);

• (y ⁰ _i , y ¹ _i ) = (y ⁰ _i (ξ), y _i ¹ (ξ)) repr´ esente la position et vitesse initiale de la variable y _i . y ₁ est la composante tangentielle du d´ eplacement de l’arche, y ₂ sa composante normale. On suppose y ⁰ = (y ₁ ⁰ , y ₂ ⁰ ) ∈ L ² (ω) × L ² (ω) et y ¹ = (y ₁ ¹ , y ¹ ₂ ) ∈ H ⁻¹ (ω) × L ² (ω).

On souhaite agir sur ce syst` eme afin de ramener son ´ etat ` a l’´ etat nul ` a un instant T donn´ e: pr´ ecis´ ement, on cherche un contrˆ ole v tel que

y _i (ξ, T ) = 0, y _i ⁰ (ξ, T ) = 0, i = 1, 2 ∀ξ ∈ ω

Pour cela, on consid` ere la solution φ = (φ <sub>1</sub> , φ <sub>2</sub> ) du probl` eme adjoint



 

 



 

 



φ ⁰⁰ ₁ − (φ _1,ξξ + cφ _2,ξ ) = 0, (ξ, t) ∈ ω × (0, T ), φ ⁰⁰ ₂ + c(φ _1,ξ + cφ ₂ ) = 0, (ξ, t) ∈ ω × (0, T ), φ 1 (0, t) = φ 1 (1, t) = 0, t ∈ (0, T ), φ _i (ξ, 0) = φ ⁰ _i (ξ), φ ⁰ _i (ξ, 0) = φ ¹ _i (ξ), i = 1, 2 ξ ∈ ω

(3)

avec φ ⁰ = (φ ⁰ ₁ , φ ⁰ ₂ ) ∈ H ₀ ¹ (ω) × L ² (ω) et φ ¹ = (φ ¹ ₁ , φ ¹ ₂ ) ∈ L ² (ω) × L ² (ω) et on note l’´ energie associ´ ee

E(φ 1 , φ 2 , t) := 1 2

Z 1 0

|φ ⁰ ₁ (ξ, t)| ² + |φ ⁰ ₂ (ξ, t)| ² + |(φ _1,ξ + cφ 2 )(ξ, t)| ²

dξ. (4)

I - Le cas c = 0 - Contrˆ olabilit´ e partielle

On suppose que la courbure de l’arche est nulle: c = 0.

I-1) R´ e´ ecrire le syst` eme (2) et expliquer pourquoi la composante y 2 n’est pas contrˆ olable

dans ce cas.

V´ erifions en revanche que la composante y 1 est contrˆ olable ` a z´ ero. En vertu du cours, il suffit de montrer la propri´ et´ e d’observabilit´ e suivante : il existe C > 0 tel que

E(φ 1 , 0, 0) ≤ C Z T

0

|φ _1,ξ (1, t)| ² dt, ∀(φ ⁰ ₁ , φ ¹ ₁ ) ∈ H ₀ ¹ (ω) × L ² (ω) (5) o` u φ <sub>1</sub> la solution du probl` eme adjoint:



 

 

φ ⁰⁰ ₁ − φ _1,ξξ = 0, (ξ, t) ∈ ω × (0, T ), φ ₁ (0, t) = φ ₁ (1, t) = 0, t ∈ (0, T ), φ 1 (ξ, 0) = φ ⁰ ₁ (ξ), φ ⁰ ₁ (ξ, 0) = φ ¹ ₁ (ξ), ξ ∈ ω.

(6)

I-2) D´ emontrer que tous les couples non nuls (λ, m), λ ∈ R, m ∈ C ² (ω), solution du probl` eme (aux valeurs propres):

( − m _,ξξ (ξ) = λ m(ξ), ξ ∈ ω,

m(0) = m(1) = 0 (7)

sont de la forme (λ _k , m _k (ξ)) = (k ² π ² , √

2 sin(kπξ)), k ∈ N .

I-3) En cherchant des solutions φ 1 de (6) ` a variables s´ epar´ ees, montrer que, pour tout k ∈ N , la fonction φ <sub>1k</sub> (ξ, t) := α <sub>k</sub> (t)m <sub>k</sub> (ξ) est solution de l’´ equation φ <sup>00</sup> <sub>1</sub> − φ <sub>1,ξξ</sub> = 0, o` u α _k ∈ C([0, T ], R ) est une fonction ` a d´ eterminer.

I-4) On admet que toute solution de (6) prend la forme φ 1 (ξ, t) = X

k∈ N

a k cos(kπt) + b k

kπ sin(kπt)

m k (ξ), ξ ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ]. (8)

I-4-a) Calculer E(φ ₁ , 0, 0) en fonction des a _k et b _k , k ∈ N . I-4-b) Calculer R T

0 |φ _1,ξ (1, t)| ² dt pour T = 2 en fonction des a _k et b _k , k ∈ N puis en d´ eduire que l’in´ egalit´ e (5) a lieu pour tout T ≥ 2.

II - Le cas c > 0 - Contrˆ olabilit´ e ` a z´ ero mais pas uniforme On suppose c > 0.

II-0) Montrer que l’´ energie du syst` eme adjoint E(φ <sub>1</sub> , φ <sub>2</sub> , t) est constante par rapport ` a t.

II-1) Montrer (formellement) que v est un contrˆ ole ` a z´ ero pour (2) si et seulement il v´ erifie la caract´ erisation suivante:

Z T 0

v(t)(φ _1,ξ + cφ 2 )(1, t)dt

− < y ¹ ₁ , φ ⁰ ₁ > _H

(ω),H

(ω) + < y ₁ ⁰ , φ ¹ ₁ > _L

_(ω) − < y ₂ ¹ , φ ⁰ ₂ > _L

_(ω) + < y ₂ ⁰ , φ ¹ ₂ > _L

_(ω) = 0

(9)

pour tout φ solution de (3) avec donn´ ee initiale (φ ⁰ ₁ , φ ⁰ ₂ ) ∈ H ₀ ¹ (ω) × L ² (ω) et (φ ¹ ₁ , φ ¹ ₂ ) ∈

L ² (ω) × L ² (ω)

II-2) On souhaite d´ emontrer l’in´ egalit´ e d’observabilit´ e suivante : il existe une constante C > 0 telle que

k(φ ⁰ ₁ , φ ¹ ₁ )k ² _V + k(φ ⁰ ₂ , φ ¹ ₂ )k ² _H ≤ C Z T

0

|(φ _1,ξ + cφ 2 )(1, t)| ² dt, ∀(φ ⁰ ₁ , φ ¹ ₁ ) ∈ V, (φ ⁰ ₂ , φ ¹ ₂ ) ∈ H (10) avec V := H ₀ ¹ (ω) × L ² (ω) et H = L ² (ω) × L ² (ω) (de sorte que k(φ ⁰ ₁ , φ ¹ ₁ )k ² _V + k(φ ⁰ ₂ , φ ¹ ₂ )k ² _H = kφ ⁰ _1,ξ k ² _L

_(ω) + kφ ¹ ₁ k ² _L

_(ω) + kφ ⁰ ₂ k ² _L

_(ω) + kφ ¹ ₂ k ² _L

_(ω) ). Expliquer bri` evement comment une telle in´ egalit´ e est reli´ ee ` a la nulle contrˆ olabilit´ e de (2).

II-3) On ´ etudie l’in´ egalit´ e (10) par une m´ ethode spectrale. On consid` ere le probl` eme spectrale : trouver (λ, (m 1 , m 2 )) solution de



 

 

− (m _1,ξξ (ξ) + cm _2,ξ (ξ)) = λ m 1 (ξ), ξ ∈ (0, 1), c(m _1,ξ (ξ) + cm 2 (ξ)) = λ m 2 (ξ), ξ ∈ (0, 1), m 1 (0) = m 1 (1) = 0.

(11)

II-3-a) Soit V ₀ = {(m ₁ , m ₂ ) = (−cζ, ζ _,ξ ), ζ ∈ H ₀ ¹ (ω)}. V´ erifier que tout ´ el´ ement de V ₀ v´ erifie (11) associ´ ee ` a la valeur propre λ = 0. En d´ eduire la multiplicit´ e de la valeur propre λ = 0.

II-3-b) On prend maintenant λ = c ² . D´ eterminer les couples (m 1 , m 2 ) solution de (11).

En d´ eduire la multiplicit´ e de la valeur propre λ = c ² .

II-3-c) On suppose λ ∈ R \ {0, c ² }. En isolant m 2 dans la seconde ´ equation de (11) puis en la reportant dans la premi` ere ´ equation, montrer que (m ₁ , λ) est solution de

( − m _1,ξξ (ξ) = (λ − c ² )m ₁ (ξ), ξ ∈ (0, 1),

m ₁ (0) = m ₁ (1) = 0. (12)

En r´ esolvant ce syst` eme (analogue ` a (7)), d´ eterminer les couples (λ, (m 1 , m 2 )) solution de (11) et leur multiplicit´ e.

II-4) On admet que toute donn´ ee initiale de (3) peut se d´ ecomposer sous la forme suivante:

(φ ⁰ ₁ , φ ⁰ ₂ ) = X

k≥1

a _k w _k +A ₀ v ₀ + X

k≥1

A _k v _k , (φ ¹ ₁ , φ ¹ ₂ ) = X

k≥1

b _k w _k +µ ₀ B ₀ v ₀ + X

k≥1

µ _k B _k v _k , (13)

avec µ k = √

c ² + k ² π ² et w _k =

− c

kπ sin(kπξ), cos(kπξ)

, v ₀ = (0, 1), v _k =

sin(kπξ), c

kπ cos(kπξ)

(14) puis que la solution φ = (φ 1 , φ 2 ) correspondante se d´ ecompose de la fa¸ con suivante

φ(·, t) = X

k≥1

(a k + b k t)w k + (A 0 cos(µ 0 t) + B 0 sin(µ 0 t))v 0

+ X

k≥1

(A _k cos(µ _k t) + B _k sin(µ _k t))v _k .

(15)

Remarquons que {w _k } _{k∈ N} engendre V 0 .

II-4-a) On suppose que la donn´ ee initiale de (3) est engendr´ ee uniquement par les w k

(pr´ ecis´ ement, A _k = B _k = 0 ∀k ≥ 0).

Calculer φ _1,ξ (·, t)+cφ ₂ (·, t) puis la valeur du terme de droite de l’in´ egalit´ e (10). L’observabilit´ e du syst` eme adjoint a-t-elle lieu dans ce cas ?

On suppose dans le reste du sujet que la donn´ ee initiale est engendr´ ee par {v _k } _k≥0 , l’orthogonal de {w _k } _k≥0 (pr´ ecis´ ement, a _k = b _k = 0 ∀k ≥ 0).

II-4-b) Montrer que

E(φ 1 , φ 2 , 0) = 1

2 µ ² ₀ (A ² ₀ + B ₀ ² ) + 1 4

X

k≥1

µ ⁴ _k

(kπ) ² (A ² _k + B _k ² ). (16) II-4-c) Montrer que

k(φ ⁰ ₁ , φ ¹ ₁ )k ² _V + k(φ ⁰ ₂ , φ ¹ ₂ )k ² _H = A ² ₀ + µ ² ₀ B ₀ ² + 1 2

X

k≥1

(kπ) ⁴ + c ²

(kπ) ² A ² _k + 1 2

X

k≥1

µ ⁴ _k

(kπ) ² B _k ² (17) et en conclure que cette quantit´ e est ´ equivalente ` a E(φ ₁ , φ ₂ , 0).

II-4-d) V´ erifier cette fois que (φ _1,ξ + cφ ₂ )(1, t) = P

k∈ Z x _k e ^iΛ

^t avec

Λ _k =



 

 



 

 



− µ _−(k+1) pour k < −1

− µ 0 pour k = −1

µ ₀ pour k = 1

µ k−1 pour k > 1 et

x k =



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 1

2 (−1) ^−(k+1) µ ² _−(k+1)

−(k + 1)π (A _−(k+1) + iB _−(k+1) ) pour k < −1 c

2 (A ₀ + iB ₀ ) pour k = −1

c

2 (A 0 − iB 0 ) pour k = 1

1

2 (−1) ^(k−1) µ ² _(k−1)

(k − 1)π (A (k−1) − iB (k−1) ) pour k > 1.

II-5) Finalement, soit la suite r´ eelle w = (w _k ) k∈ Z d´ efinie par

w = (· · · , −µ ₃ , −µ ₂ , −µ ₁ , −µ ₀ , µ 0 , µ 1 , µ 2 , · · · ). (18) Montrer que l’´ ecart γ := inf k6=n,k,n∈ Z |w _k − w _n | est donn´ e par :

γ = min

µ 0 − (−µ ₀ ), inf

k∈ N

|µ _k − µ k−1 |

= min(2c, p

c ² + π ² − c). (19)

En appliquant le Th´ eor` eme 1 ` a l’intervalle I = [0, T ] de longueur T et ` a la fonction x(t) =

(φ 1,ξ + cφ 2 )(1, t) de la question II-4-d), montrer l’in´ egalit´ e d’observabilit´ e (10) pour un

temps T (d´ ependent de c) suffisamment grand.

Conclusion- Le syst` eme (2) est un exemple simple mais non trivial de syst` eme contrˆ olable par moins de contrˆ ole que d’´ etat. La contrˆ olabilit´ e de (2) d´ epend qualitativement de la valeur de c.

• Lorsque c = 0, seule la composante tangentielle y 1 est contrˆ olable ` a z´ ero, uniform´ ement en les donn´ ees initiales (y <sub>1</sub> <sup>0</sup> , y <sub>1</sub> <sup>1</sup> ) ∈ L <sup>2</sup> (ω) ×H <sup>−1</sup> (ω) d` es que T ≥ 2. Un contrˆ ole L ² (0, T ) est de la forme v(t) = φ _1,1 (1, t).

• Lorsque c > 0, les deux composantes y ₁ et y ₂ sont contrˆ olables ` a z´ ero mais pas uniform´ ement en les donn´ ees initiales. Pr´ ecis´ ement, uniquement les donn´ ees initiales engendr´ ees par les {v _k } _k≥0 sont contrˆ olables pour tout temps T ≥ T (c) (→ +∞ quand c → 0 ⁺ !). Un contrˆ ole L ² (ω) est de la forme v(t) = (φ _1,ξ + cφ 2 )(1, t). Les donn´ ees initiales engendr´ ees par les w _k , dits modes de r´ esonances ne sont pas contrˆ olables.

Pour ces modes, le contrˆ ole v = φ 1,ξ + cφ 2 n’a aucun effet car il est identiquement nul!

Ce sujet de master s’inspire de l’article de recherche :

A. M¨ unch, A variational approach to approximate controls for system with es- sential spectrum: application to the membranal arch. Journal Evolution Equations and Control Theory, AIMS, 2(1), 119-151 (2013):

http://math.univ-bpclermont.fr/~munch/eect_munch12.pdf