Deuxième partie:
Analyse des champs et calcul des pertes cuivre
II - 38
Contenu de la deuxième partie
Cette deuxième partie est consacrée à l'analyse des champs en deux et en trois dimensions dans les transformateurs au moyen de modèles en éléments finis. L'accent est mis principalement sur l'analyse de la densité de courant et le calcul des pertes cuivre.
Le chapitre II rappelle l'origine physique des effets "haute fréquence" que nous étudierons tout au long de cette seconde partie. Il cerne leurs conséquences dans les pièces magnétiques de puissance et indique quelle est la répartition typique des champs dans les transformateurs.
Le chapitre III est consacré aux méthodes analytiques unidimensionnelles qui constituent le moyen le plus courant de calculer les pertes cuivre dans les pièces magnétiques. On y présente la formule de Dowell ainsi que ses développements ultérieurs dont on analyse les limitations théoriques et pratiques. Ce chapitre contient notamment une discussion originale des fondements théoriques du facteur de remplisssage.
Le chapitre IV détaille trois méthodes alternatives permettant de calculer les champs en deux dimensions sans pour autant recourir au calcul par éléments finis. Deux de ces méthodes sont mises en oeuvre et critiquées.
Le chapitre V introduit rapidement l'outil qui nous permettra d'analyser les champs dans la suite du travail: la simulation par éléments finis. Nous y justifions le choix du logiciel "Mega" pour cette étude et proposons une brève discussion des avantages et inconvénients de cette méthode de simulation.
Le chapitre VI est entièrement consacré à l'analyse des champs par éléments finis en deux dimensions dans les transformateurs. Tous les types de conducteurs courants y sont étudiés et les effets constatés sur les champs et sur les pertes cuivre sont analysés en profondeur et classifiés. Ce chapitre contient également l'étude du dimensionnement d'un transformateur multisorties réel ainsi que diverses confirmations expérimentales.
Le chapitre VII franchit une étape supplémentaire en proposant une méthode alternative et tout- à-fait originale de calcul des pertes cuivre en deux dimensions valable pour certains enroulements en ruban: la "méthode semi-empirique".
Le chapitre VIII propose enfin une analyse essentiellement qualitative des effets 3D, autant dans les transformateurs classiques que dans les transformateurs planaires. On y présente également un cas pratique d'optimisation de la forme des enroulements.
Enfin le chapitre IX propose une synthèse des enseignements de cette deuxième partie.
II. Effets haute fréquence dans les conducteurs
L'utilisation d'une fréquence de hachage typique de quelques centaines de kilohertz amène dans les pièces magnétiques l'apparition "d'effets haute fréquence" qui modifient l'inductance et la résistance apparentes de ces pièces. Les pertes cuivre peuvent notamment subir une augmentation très importante dont le concepteur doit impérativement tenir compte.
Ce chapitre rappelle l'origine physique de ces effets haute fréquence, identifiés d'un point de vue théorique comme des effets quasi-statiques (effet pelliculaire et effet de proximité). Une technique d'analyse rapide de la configuration des champs dans les pièces magnétiques est également présentée: elle permet d'étudier l'impact des effets quasi-statiques sur quelques dispositions courantes des enroulements.
Plan du chapitre
II.1 Rappels d'électromagnétisme... 40
II.2 Effets quasi-statiques... 47
II.3 Conséquences des effets quasi-statiques... 56
II.4 Distribution des champs dans les transformateurs ... 61
II.5 Conclusion... 72
II.1 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Rappels d'électromagnétisme II - 40
II.1 Rappels d'électromagnétisme
Les phénomènes haute fréquence constatés dans les transformateurs peuvent être aisément expliqués par deux lois de base de l'électromagnétisme: la loi d'Ampère et la loi de Lenz. Ces deux lois se combinent pour former l'équation générale des états variables, qui permet d'identifier trois domaines de fréquence correspondant à des effets électromagnétiques différents: le domaine statique, le domaine quasi-statique et le domaine non-stationnaire. L'établissement de critères d'appartenance permet de vérifier que les effets étudiés dans le cadre de cette thèse relèvent du domaine quasi-statique.
II.1.1 Phénomènes électromagnétiques en états variables
Loi d'Ampère
La loi d'Ampère exprime que tout courant (champ J) est la source d'un champ magnétique (H) dont l'allure est donnée à la Figure II-1. Dans celle-ci, le champ H est situé dans un plan orthogonal au vecteur J.
H J
Figure II-1: Illustration de la loi d'Ampère
Le courant dont on parle ici peut bien entendu être un courant de conduction (un déplacement de charges dans un conducteur, noté JQ), mais également un courant de déplacement, c'est-à-dire une variation dans le temps du champ de déplacement (JD=∂D/∂t). L'équation de Maxwell correspondant à la loi d'Ampère s'écrit donc:
(II.1-1)
Rappelons que l'opérateur rotationnel présent dans cette équation traduit une relation purement géométrique entre les champs (précisément celle de la Figure II-1) puisqu'il fait intervenir des dérivées spatiales uniquement.
La loi d'Ampère peut également s'écrire sous la forme macroscopique:
(II.1-2)
t J D H rot Q
∂ +∂
= r r r
emb C
I l d
H =
∫
r. rCette seconde formulation, qui nous sera souvent utile dans la suite, indique que la connaissance du champ magnétique sur un contour fermé (C) renseigne sur la valeur du courant net (Iemb) embrassé par ce contour. Cette valeur est encore appelée "force magnétomotrice".
Loi de Lenz
La seconde loi, la loi de Lenz, exprime qu'une variation dans le temps du champ d'induction (B) génère un champ électrique (E) dit "induit". Ce champ a même allure que le champ H dans la loi d'Ampère mais est de sens opposé:
∂B
E ∂t
Figure II-2: Illustration de la loi de Lenz
L'équation de Maxwell correspondante s'écrit:
(II.1-3)
Equations constitutives
Les champs intervenant dans ces deux lois sont liés par des équations constitutives caractérisant les matériaux utilisés. La première équation constitutive introduit les propriétés magnétiques, notamment la non-linéarité et l'hystérèse, par l'intermédiaire de la perméabilité magnétique µ:
(II.1-4)
La seconde équation constitutive introduit les propriétés diélectriques par l'intermédiaire de la permittivité ε:
(II.1-5)
Enfin la troisième lie, dans un conducteur, le courant de conduction au champ électrique par l'intermédiaire de la conductivité σ:
(II.1-6)
t E B
rot ∂
−∂
= r r
H Br r µ
=
E Dr r ε
=
E JrQ r
σ
=
II.1 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Rappels d'électromagnétisme II - 42
Equation générale des états variables
En utilisant les équations constitutives rappelées ci-dessus, on peut réécrire les lois d'Ampère (II.1-1) et de Lenz (II.1-3) en gardant uniquement deux des champs, par exemple E et H:
(II.1-7)
(II.1-8)
On voit alors clairement que les phénomènes électriques et magnétiques ne sont pas indépendants, mais qu'au contraire les champs E et H sont étroitement liés. L'équation générale des états variables, qui traduit cette propriété, s'obtient en combinant les deux relations ci-dessus et s'écrit pour le champ E par exemple:
(II.1-9)
Dans les cas qui nous occupent, le membre de droite de cette équation est nul (il n'y a pas d'accumulation de charge ρ dans l'espace).
Lorsqu'on applique cette équation à un problème particulier, il faut la compléter de conditions aux limites. Pour les transformateurs, on impose en pratique une tension ou un courant sur un enroulement, ce qui se traduit par une condition donnée sous la forme d'une intégrale du champ E ou J.
Sur base de l'équation des états variables (II.1-9), on peut déduire qu'on obtiendra des effets différents suivant la fréquence utilisée. En effet, les trois termes du membre de gauche ont l'un par rapport à l'autre plus ou moins d'importance numérique suivant que les grandeurs varient rapidement dans le temps ou non. Analysons les trois cas qui peuvent se présenter.
II.1.2 Classification des phénomènes en fonction de la fréquence
Problèmes statiques
A fréquence nulle, le membre de gauche de l'équation (II.1-9) comporte un seul terme: le laplacien.
Le problème est dit "statique". On obtient une situation équivalente si les variations sont tellement lentes que les termes comportant des dérivées temporelles sont négligeables devant le laplacien.
Physiquement, cela signifie que le champ électrique induit et le courant de déplacement (∂D/∂t) sont négligeables dans les équations (II.1-3) et (II.1-1). En conséquence, les phénomènes électriques et magnétiques sont découplés. Dans le vide, l'équation générale se réduit à:
(II.1-10)
t E E H
rot ∂
+ ∂
= r r
r σ ε
t E H
rot ∂
− ∂
= r r
µ
ε ρ εµ
σµ grad
t E t
E E 1
2 2
∂ =
− ∂
∂
− ∂
∆
r r r
=0
∆Er
Problèmes non-stationnaires
A l'inverse, à très haute fréquence, aucun des termes de l'équation générale (II.1-9) ne peut être négligé. Conformément aux équations (II.1-7) et (II.1-8), les champs électrique et magnétique s'entretiennent mutuellement, ce qui donne lieu à la propagation d'une onde électromagnétique. Le problème est dit "non-stationnaire". Dans le vide, l'équation générale se réduit à:
(II.1-11)
ou en régime sinusoïdal à:
(II.1-12)
Traditionnellement, on définit λ, la longeur d'onde électromagnétique, par:
(II.1-13)
ce qui entraîne:
(II.1-14)
La longueur d'onde λ est bien entendu la dimension physique typique caractérisant la solution de l'équation de propagation (II.1-11).
Problèmes quasi-statiques
Entre ces deux extrêmes –les très hautes et les très basses fréquences–, il existe un domaine intermédiaire où la dérivée seconde de (II.1-9) est négligeable mais où la dérivée première ne l'est pas. L'absence de courant de déplacement significatif interdit tout phénomène de propagation, mais il existe par contre dans les conducteurs un courant induit non négligeable qui se superpose au courant appliqué initial. Dans ce cas, le problème est dit "quasi-statique". Les transformateurs, mais aussi les moteurs, les actionneurs électromagnétiques et d'autres dispositifs du même type appartiennent traditionnellement à ce domaine. Nous le justifierons précisément ci-dessous au
§II.1.3.
L'équation régissant les problèmes quasi-statiques est obtenue en supprimant la dérivée seconde dans l'équation générale. Dans les milieux non conducteurs, on retrouve l'expression (II.1-10), ce qui justifie l'appellation de domaine "quasi-statique" puisque la solution est alors du même type qu'en statique. Dans les conducteurs par contre, les champs sont régis par l'équation:
(II.1-15)
2 0
2 =
∂
− ∂
∆ t
E E r r
εµ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−
∆
εµ ω j k où
E k E
0 2
0 r 0
r
λ π 2
0 =
k
f c f =
= .
1 λ εµ
=0
∂
− ∂
∆ t
E E r r
σµ
II.1 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Rappels d'électromagnétisme II - 44
ou encore en régime sinusoïdal:
(II.1-16)
On a l'habitude de réécrire k en introduisant la "profondeur de peau" δ:
(II.1-17)
ce qui entraîne:
(II.1-18)
L'équation (II.1-15) est une équation de diffusion, à ne pas confondre avec l'équation de propagation (II.1-11). Elle admet classiquement pour solution un champ décroissant exponentiellement à l'intérieur du milieu considéré et depuis la surface de celui-ci. La décroissance admet pour longueur caractéristique (atténuation d'un facteur e) la profondeur de peau δ.
II.1.3 Critères d'appartenance au domaine quasi-statique
Absence de propagation
Pour qu'un problème appartienne au domaine quasi-statique, il faut d'abord que le terme comportant la dérivée seconde dans l'équation générale (II.1-9) soit négligeable, ce qui traduit l'absence de propagation. Dans le cas d'un problème sinusoïdal, on voit immédiatement en comparant les différents termes que ce sera le cas si [141]:
(II.1-19)
A la fréquence de 250kHz, typique pour une alimentation actuelle, le membre de gauche vaut:
(II.1-20)
Cette valeur est négligeable devant la conductivité typique du cuivre, à savoir (à 20°C):
(II.1-21)
Aux fréquences de découpage utilisées actuellement, les effets de propagation dans les pièces magnétiques sont donc bien négligeables.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−
∆
ωσµ j k où
E k Er 2r 0
δ k =1+ j
πσµf δ = 1
σ εω<<
m S s
rad Nm
C 5 5
2 2
12 .2 .2,5.10 1,391.10
10 . 854 ,
8 − = −
= π
εω
m
7 S 10 . 88 ,
=5 σ
Une manière complémentaire de vérifier l'absence de propagation est de comparer la longueur d'onde électromagnétique aux dimensions physiques apparaissant dans le problème. Pour le même exemple (250kHz), on a une longueur d'onde dans le vide de:
(II.1-22)
Une telle longeur d'onde est évidemment beaucoup plus grande que n'importe quel transformateur. On est donc assuré que les effets de propagation ne doivent pas être pris en compte dans les transformateurs de puissance, dont la taille typique est de quelques centimètres.
Effet de diffusion3
D'autre part, on peut également s'assurer que le problème n'est pas purement statique. Il suffit pour cela de calculer la profondeur de peau (II.1-18) à la fréquence considérée. Elle vaut dans le cuivre à 250kHz:
(II.1-23)
ce qui est plus petit ou de l'ordre des dimensions des conducteurs dans un transformateur de puissance: par exemple, les conducteurs en ruban ont une épaisseur de quelques dizaines à quelques centaines de micromètres (pour une largeur de quelques centimètres) et les conducteurs en fil rond ont un diamètre de quelques dixièmes de millimètre.
En utilisant les critères (II.1-14) et (II.1-18), c'est-à-dire en comparant les longueurs typiques des phénomènes de propagation et de diffusion, on peut conclure que les transformateurs de puissance appartiennent bien au domaine des problèmes quasi-statiques. On remarquera logiquement que le critère d'appartenance à l'un ou l'autre domaine ne concerne pas une fréquence fixe mais bien la comparaison d'une fréquence avec les dimensions caractéristiques du dispositif étudié.
II.1.4 Conclusion
Sur base des dimensions typiques des pièces magnétiques de puissance et des fréquences utilisées dans les alimentations, nous avons montré que les effets qui constituent le sujet de cette seconde partie relèvent du domaine quasi-statique. Du point de vue fréquentiel, celui-ci se situe entre les phénomènes statiques (continu et très basses fréquences) et les phénomènes de propagation. Il se caractérise par l'apparition de courants induits non négligeables dans les conducteurs.
s m s m 1200
/ 1 10 . 5 , 2
/ 10 . 3
5
8 =
λ=
µm π
δ π 131
10 . 5 , 2 . 10 . . 4 . 10 . 88 , 5 .
1
5 7
7 =
= −
II.1 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Rappels d'électromagnétisme II - 46
Signalons que, du point de vue de la physique, ce domaine est considéré comme relevant de fréquences peu élevées puisque les équations qui le régissent sont proches des équations statiques.
En électronique de puissance par contre, compte tenu des fréquences utilisées habituellement, on peut considérer qu'il s'agit de "haute fréquence".
3 Le terme "diffusion" fait ici simplement référence au fait que le profil de la densité de courant dans les conducteurs est la solution d'une équation de diffusion. Il s'agit en fait de l'effet pelliculaire au sens large (incluant l'effet de proximité), encore appelé "effet Kelvin".
II.2 Effets quasi-statiques
Nous venons de montrer que les transformateurs de puissance appartiennent au domaine des problèmes quasi-statiques. Ils sont de ce fait susceptibles de subir deux phénomènes que nous détaillons ici: l'effet pelliculaire et l'effet de proximité. Ces effets se caractérisent tous deux par le fait que la densité de courant ne se répartit pas uniformément sur la section des conducteurs. Nous examinons également la situation plus générale où les deux effets se cumulent, comme c'est le cas dans un transformateur. Enfin nous revenons un instant sur la notion de diffusion, abordée au point précédent, qui se révèle très intéressante pour comprendre et prévoir la répartition de la densité de courant dans les conducteurs.
II.2.1 Effet pelliculaire
L'effet pelliculaire est la manifestation des effets quasi-statiques dans un conducteur unique. Son explication physique découle de ce qui a été dit au point précédent (§II.1): le courant (supposé sinusoïdal pour la simplicité) parcourant un conducteur génère un champ magnétique dans et autour de ce conducteur. A une fréquence suffisante, ce champ magnétique fait lui-même apparaître dans le conducteur un courant induit qui se superpose au courant initialement appliqué.
Compte tenu des lois de base rappelées au point précédent, la densité de courant a tendance à se concentrer sur la périphérie du conducteur comme le montre la Figure II-3.
courant induit courant appliqué champ magnétique
Figure II-3: Explication physique de l'effet pelliculaire
Ce phénomène a lieu à partir du moment où la fréquence est suffisamment élevée pour que l'épaisseur de peau soit de l'ordre ou plus petite que le diamètre du conducteur. Il est d'autant plus marqué que la fréquence est élevée. La Figure II-4 montre la distribution typique de la densité de courant dans un conducteur rond en présence d'un effet pelliculaire modéré.
II.2 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Effets quasi-statiques II - 48
J
x
Figure II-4: Allure de la densité de courant dans un conducteur rond subissant l'effet pelliculaire (trait interrompu: densité de courant statique)
L'effet pelliculaire peut donc se définir comme la modification, due à un effet quasi-statique, de la distribution du courant sur la section d'un conducteur unique.
II.2.2 Effet de proximité
Considérons maintenant qu'un second conducteur, qui ne porte lui pas de courant, se trouve à proximité du conducteur précédent. Un courant est également induit dans ce second conducteur car il est également traversé par un champ magnétique variable (dû au courant porté par le premier conducteur), comme illustré à la Figure II-5. Le courant net doit bien entendu rester nul dans le second conducteur, de sorte qu'il y circule en fait deux densités de courant de sens opposés.
courant induit
courant appliqué champ magnétique
Figure II-5: Explication physique de l'effet de proximité subi par le conducteur de gauche
La seule différence avec l'effet pelliculaire est l'origine du champ magnétique variable qui provoque l'apparition d'une densité de courant induite dans le conducteur. Dans le premier cas (effet pelliculaire), le champ magnétique est dû au courant porté par le conducteur où se produit l'effet quasi-statique lui-même. Dans le second cas (effet de proximité), le champ magnétique a une origine extérieure quelconque, par exemple un courant variable porté par un conducteur proche.
La Figure II-6 montre comment un conducteur central induit deux densités de courant opposées dans les conducteurs placés à proximité, ces derniers ne portant pas de courant net.
J
x
Figure II-6: Allure de la densité de courant dans des conducteurs subissant un effet de proximité (conducteurs extérieurs)
II.2.3 Superposition des deux effets
Que se passe-t-il lorsque plusieurs conducteurs portant chacun un courant net non nul sont placés à proximité l'un de l'autre, comme par exemple dans un transformateur de puissance? Dans ce cas, chaque conducteur subit les deux types d'effets: l'effet pelliculaire dû au courant qu'il porte et un effet de proximité pour chacun des courants portés par les autres conducteurs.
En supposant que les milieux intervenant dans le problème sont "doux", c'est-à-dire si σ, µ et ε sont constants, l'équation de diffusion (II.1-16) est linéaire. Cela signifie que pour connaître la densité de courant, on peut superposer au sens mathématique du terme les deux effets, c'est-à-dire qu'on peut sommer les densités de courant dues à chaque effet individuellement dans chaque conducteur. A contrario, si ce n'était pas le cas, l'allure des densités de courant induites seraient fonction de l'intensité des courants circulant dans les conducteurs "inducteurs", c'est-à-dire que les inductances propres et mutuelles varieraient avec les courants4, ce qui ne se vérifie pas. De ce point
4 Concernant la linéarité, il faut cependant être prudent. On considère ici qu'une pièce magnétique ne sature pas, ce qui correspond au fonctionnement normal d'un convertisseur. Dans le cas contraire (self saturable par exemple), il est évident que la valeur de l'inductance dépend du courant et qu'il faut abandonner la linéarité.
II.2 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Effets quasi-statiques II - 50
de vue, les effets quasi-statiques ne modifient donc en rien la linéarité d'un système de conducteurs, simplement la répartition spatiale du courant est-elle différente par rapport au cas statique.
A titre d'exemple, on obtient pour deux conducteurs portant des courants de même intensité les répartitions montrées à la Figure II-7. Celles-ci peuvent être obtenues en appliquant le principe de superposition sur base des distributions de courant montrées aux figures précédentes.
courants de même sens
courants de sens opposés
Figure II-7: Allure de la densité de courant dans deux conducteurs proches portant un courant net de même intensité
En utilisant la superposition, on peut trouver aisément l'allure de la densité de courant dans des cas simples. Cette méthode est cependant limitée à un petit nombre de conducteurs, surtout si on a intuitivement peu d'idée des distributions de courant quasi-statiques. Une méthode plus systématique, que nous allons maintenant présenter, permet de trouver l'allure de la densité de courant dans des configurations plus complexes. Nous l'utiliserons pour trouver la répartition des champs dans un transformateur quelconque.
II.2.4 Notion de diffusion
Diffusion du champ magnétique dans un conducteur
L'effet pelliculaire est généralement perçu comme le fait qu'à une fréquence suffisamment élevée la densité de courant se concentre à la périphérie du conducteur. Si on imagine aisément le profil de cette densité de courant dans un conducteur rond, le cas d'un conducteur rectangulaire ou de forme quelconque paraît déjà moins trivial du fait de la symétrie plus faible. On peut alors se baser sur une interprétation complémentaire à ce qui a déjà été expliqué.
Nous avons signalé en effet que les phénomènes quasi-statiques sont régis par une équation de diffusion (II.1-15). Sur cette base, on peut interpréter ces phénomènes comme la diffusion du champ magnétique à l'intérieur d'un conducteur [23].
Alors qu'en statique le champ magnétique pénètre dans les conducteurs, en quasi-statique les courants induits s'opposent à la pénétration du champ. Il en résulte un profil de densité de courant J décroissant exponentiellement depuis la surface du conducteur. Le champ magnétique H subit le même type de décroissance suivant un profil légèrement différent [96]. En première approche, on peut dire que le courant et le champ magnétique sont confinés dans une épaisseur de l'ordre de la profondeur de peau δ à partir de la surface du conducteur.
J
x J0
H
0 3π δ
δ 2
π2 πδ 2πδ
J(x)
Figure II-8: Profil de la densité de courant dans un conducteur infini
En résolvant l'équation de diffusion pour un conducteur infini, on obtient le profil de densité de courant suivant, illustré à la Figure II-8:
(II.2-1)
On remarque d'une part la décroissance exponentielle de l'amplitude de la densité de courant (valant J0 à la surface du conducteur) et d'autre part le déphasage croissant lorsqu'on s'écarte de cette surface. L'amplitude et la phase varient tous deux spatialement selon le facteur x/δ. Si l'épaisseur du conducteur est suffisamment grande par rapport à la profondeur de peau, le déphasage peut causer plusieurs changements de signe de la densité de courant sur la section du conducteur. Vu la difficulté de représenter simultanément deux grandeurs5 (module et phase), on
5 On trouvera cependant une tentative intéressante en ce sens dans [77].
) cos(
. . ) ,
( 0
ω δ
δ x
t e
J t x J
x
+
= −
II.2 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Effets quasi-statiques II - 52
se contente généralement de représenter l'amplitude de la densité de courant, en trait interrompu à la Figure II-8.
Lien entre champ magnétique et densité de courant
En considérant les phénomènes quasi-statiques sous l'angle de la diffusion, on prend davantage comme "source" du problème le champ magnétique H existant à la surface du conducteur plutôt que la densité de courant J dans celui-ci. Les deux approches sont cependant équivalentes car les deux champs sont liés comme nous allons le montrer.
A très haute fréquence, en considérant que l'épaisseur de peau tend vers zéro, le champ magnétique est nul dans le conducteur et le courant qui s'oppose à la pénétration de ce champ est purement superficiel (Figure II-9, dessin de gauche). La discontinuité de la composante tangentielle de H à la surface du conducteur vaut alors précisément ce courant superficiel (noté K)
[9]:
(II.2-2) (II.2-3)
J
x Hair
0
K Hcuivre=0
J
x H
0 δ
Jmoy J(x)
Figure II-9: Lien entre le champ magnétique tangentiel et la densité de courant.
(à gauche: courant superficiel; à droite: approximation pour un courant non superficiel)
A fréquence plus basse, c'est-à-dire pour un courant non purement superficiel, on peut faire un raisonnement analogue en assimilant le profil exponentiel de la densité de courant à une densité de courant moyenne sur une épaisseur de peau δ (Figure II-9, dessin de droite). Dans cette approximation, on écrira, en considérant que le champ magnétique est nul au delà d'une épaisseur δ dans le conducteur:
K H H
Hrtgair rtgcuivre rtgair r
=
=
−
δ .δ lim 0 J K
avec r= →
(II.2-4)
On montre de cette manière que la valeur de la densité de courant est localement liée à celle du champ magnétique à la surface du conducteur. S'il est difficile de tirer un résultat numérique précis de cette propriété dans des cas non triviaux, on dispose néanmoins d'une information qualitative très utile pour avoir une idée de la répartition de la densité de courant connaissant l'allure du champ magnétique.
Exemples
Sur base de ce lien entre champs, il est facile d'imaginer l'allure de la densité de courant dans des cas plus complexes que ceux déjà étudiés. On procède pour cela en deux temps:
- déterminer le champ magnétique (souvent fort proche du champ en statique) à la surface de chaque conducteur, ce qui peut être fait avec l'aide de la loi d'Ampère dans sa forme macroscopique (II.1-2),
- tracer un profil de densité de courant suivant une exponentielle décroissante à l'intérieur de chaque conducteur, sachant qu'en vertu de l'équation de diffusion, à un champ magnétique tangentiel important correspond une densité de courant importante également.
Dans cette technique, il n'y a pas lieu de distinguer l'effet de proximité de l'effet pelliculaire. On trouve immédiatement la solution résultant de la superposition des deux effets puisqu'on considère dès le départ le champ magnétique total.
La Figure II-10 illustre le cas, déjà traité, de deux conducteurs ronds portant des courants de même intensité et de même sens.
Figure II-10: Détermination de la densité de courant en utilisant la notion de diffusion (courants de même intensité et de même sens)
La partie gauche de la figure représente schématiquement les champs magnétiques statiques dus à chacun des conducteurs (en trait plein pour le conducteur de gauche, en trait interrompu pour le conducteur de droite). On voit aisément que le champ résultant est significatif à l'extérieur des
δ
moy.
air
tg K J
Hr = r ≈
II.2 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Effets quasi-statiques II - 54
conducteurs, et quasiment nul entre ceux-ci, ce qui est représenté sur la partie droite de la figure.
On peut immédiatement en déduire l'allure de la densité de courant quasi-statique en utilisant la notion de diffusion. Le résultat est conforme à la Figure II-7 (p. 50) obtenue précédemment.
La Figure II-11 illustre de la même manière le cas de conducteurs portant des courants opposés.
Nous attirons l'attention sur le fait que le champ à l'extérieur des conducteurs est en principe lui- même modifié par la non-uniformité de la densité de courant. Cet effet est cependant souvent fort local, et l'allure générale du champ magnétique autour du conducteur reste inchangée.
Figure II-11: Détermination de la densité de courant en utilisant la notion de diffusion (courants de même intensité et de sens opposés)
II.2.5 Effet de bord et effet d'entrefer
Il est courant pour les concepteurs de pièces magnétiques d'évoquer deux effets haute fréquence
"supplémentaires" susceptibles d'apparaître dans certains transformateurs: l'effet de bord et l'effet d'entrefer. L'effet de bord est une concentration de la densité de courant aux extrémités d'un conducteur plat. L'effet d'entrefer est l'apparition d'une densité de courant induite dans un conducteur situé au voisinage d'un entrefer. Chacun de ces effets entraîne des pertes supplémentaires et éventuellement l'apparition d'une surchauffe locale, deux raisons pour lesquelles ils intéressent particulièrement les concepteurs.
Il ne s'agit cependant dans chaque cas que de la manifestation des effets quasi-statiques dans une géométrie particulière (le bord d'un enroulement ou un entrefer). Du point de vue physique, ces effets ne sont donc pas différents de ceux déjà expliqués. On notera qu'il est nécessaire de disposer de modèles à deux dimensions pour les mettre en évidence.
II.2.6 Conclusion
Deux approches complémentaires peuvent être utilisées pour interpréter les effets haute fréquence dans les pièces magnétiques de puissance.
La première consiste à parler "d'effet pelliculaire" et "d'effet de proximité", deux phénomènes qui se traduisent par une non-uniformité de la densité de courant dans les conducteurs. Ils ont tous
deux la même origine physique mais s'appliquent à des situations légèrement différentes. La superposition de ces deux effets, valable lorsque le transformateur peut être considéré comme linéaire, permet de trouver la répartition de la densité de courant dans des systèmes de plusieurs conducteurs.
La seconde approche consiste plutôt à considérer que ces mêmes effets haute fréquence résultent de la diffusion du champ magnétique à l'intérieur des conducteurs, la densité de courant s'opposant à la pénétration du champ. Cette interprétation, équivalente à la précédente, permet souvent de trouver plus aisément la répartition de la densité de courant dans des cas plus complexes.
Enfin l'effet de bord et l'effet d'entrefer, souvent cités par les concepteurs de pièces magnétiques, ne sont que des manifestations particulières des effets haute fréquence analysés ci-dessus.
II.3 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Conséquences des effets quasi-statiques II - 56
II.3 Conséquences des effets quasi-statiques
L'effet pelliculaire et l'effet de proximité ont des conséquences macroscopiques sur les pièces magnétiques: d'une part ils altèrent la valeur des inductances et d'autre part ils provoquent une augmentation parfois très sévère des pertes cuivre (ou encore de la résistance apparente). C'est la raison pour laquelle le concepteur de pièces magnétiques doit impérativement prendre en compte ces effets, illustrés ici par des mesures d'impédance sur un transformateur réel.
II.3.1 Augmentation de la résistance apparente
Augmentation des pertes
La première conséquence macroscopique des effets quasi-statiques dans un conducteur est l'augmentation des pertes Joule par rapport au cas statique. Ces pertes sont en effet définies à la base par l'expression (le vecteur x représentant la position courante et V le volume):
(II.3-1)
La mise au carré dans l'intégrale suffit à expliquer que les pertes sont plus élevées si la densité de courant n'est pas uniforme dans le conducteur. La partie gauche de la Figure II-12 compare la répartition de la densité de courant dans le cas statique (J uniforme, en trait plein) et dans le cas quasi-statique (trait interrompu): le courant total étant le même dans les deux cas, la surface hachurée est identique à la surface du rectangle. Du point de vue des pertes (partie droite de la figure: J2), ce n'est plus vrai à cause de la mise au carré: la surface hachurée est plus grande que la surface du rectangle, qui correspond aux pertes du cas statique.
J
x x
J2
Figure II-12: Comparaison de la densité de courant et des pertes dans les cas statique (trait plein) et quasi-statique (trait interrompu)
Augmentation de la résistance
Pratiquement, ces pertes supplémentaires se traduisent par une augmentation de la résistance apparente du conducteur. Dans le cas statique, compte tenu de l'uniformité de la densité de courant, on peut écrire pour un courant sinusoïdal:
dt t dV x J P T
t V Joule = 1
∫∫
(σ, )2(II.3-2)
où Î est la valeur de crête du courant et S la section du conducteur. La résistance et le courant efficace (L est la longueur du conducteur):
(II.3-3)
(II.3-4)
apparaissent alors comme des définitions complémentaires qui permettent d'écrire l'équation (II.3-1) sous une forme beaucoup plus simple et bien connue:
(II.3-5)
ce qui montre que la notion de résistance est bien définie à partir des pertes Joule.
On définira donc similairement la résistance RAC d'un conducteur subissant un effet quasi-statique par:
(II.3-6)
Pour la raison expliquée ci-dessus à la Figure II-12, cette résistance (à calculer d'après (II.3-1)) est cependant plus élevée que la résistance en statique RDC. Classiquement, l'augmentation de résistance est traduite dans le facteur FR sur lequel nous reviendrons longuement:
(II.3-7)
Il transforme (II.3-6) en:
(II.3-8)
Ordre de grandeur
L'augmentation des pertes (ou de la résistance apparente) peut être très considérable. La valeur de FR varie en pratique de l'unité en basse fréquence (RAC=RDC) à plusieurs dizaines ou plusieurs centaines lorsque la fréquence est élevée. Dans ce dernier cas en effet la densité de courant se concentre entièrement sur une petite fraction de la section du conducteur, ce qui entraîne une forte augmentation de la résistance apparente. La possibilité de générer à fréquence élevée des pertes cuivre valant plusieurs dizaines de fois les pertes en continu montre combien il est important de
) ( ˆcos ) ,
( t
S t I x
J = ω
S RDC L
=σ 2 Iˆ IRMS=
. RMS2 DC
Joule R I
P =
. RMS2 AC
Joule R I
P =
DC AC
R R
F =R
. 2
. DC RMS
R
Joule F R I
P =
II.3 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Conséquences des effets quasi-statiques II - 58
maîtriser les phénomènes quasi-statiques: un mauvais dimensionnement peut en effet conduire à la destruction pure et simple du transformateur suite à un échauffement excessif.
II.3.2 Diminution de l'inductance
On montre également que l'inductance d'un conducteur diminue légèrement à mesure que les effets quasi-statiques sont plus importants. L'inductance traduit en effet l'énergie UB stockée dans le champ magnétique d'un conducteur portant un courant i:
(II.3-9)
Dans cette expression, l'intégrale porte bien entendu sur le volume entourant le conducteur mais également sur le volume intérieur du conducteur lui-même. Or les effets quasi-statiques s'opposent précisément à la pénétration du champ magnétique à l'intérieur du conducteur puisque les champs J et H sont confinés dans une épaisseur de l'ordre de la profondeur de peau δ (§II.2.4).
On comprend donc facilement que, pour ce qui est du volume intérieur du conducteur, la contribution à l'intégrale ci-dessus est d'autant plus réduite que les effets quasi-statiques sont prononcés (voir aussi le profil du champ magnétique à la Figure II-21, p.67). Comme à l'extérieur du conducteur le champ garde souvent la même allure générale, on assiste –à courant total identique– à une faible diminution de la valeur de l'intégrale et donc de l'inductance. Le même raisonnement peut s'appliquer aux inductances mutuelles entre conducteurs.
II.3.3 Courbes d'impédance d'un transformateur réel
La Figure II-13 montre des courbes d'impédance relevées sur un transformateur réel. On mesure ici l'impédance totale, vue du primaire, d'un transformateur dont le secondaire est en court-circuit, ce qui peut être fait très aisément sur une large gamme de fréquence au moyen d'un analyseur d'impédance.
L'impédance mesurée à chaque fréquence peut s'exprimer de différentes manières, par exemple sous forme d'un équivalent R-L série comme c'est le cas ici. Pour un transformateur en court- circuit, on mesure alors la résistance totale des deux enroulements ainsi que l'inductance de fuite totale du transformateur.
Ces courbes montrent très clairement les phénomènes expliqués précédemment, à savoir une augmentation importante de la résistance et une diminution de l'inductance. On remarque que la variation d'inductance est faible (au maximum quelques dizaines de pourcents) comparée à la variation de résistance qui a lieu elle sur plusieurs ordres de grandeur (noter l'échelle logarithmique:
à 1MHz, la résistance est déjà environ dix fois plus élevée qu'en continu!). La variation brusque intervenant dans les deux courbes autour de 6MHz est due à une résonance entre l'inductance de fuite et la capacité parasite des enroulements.
x dV Li H
U
V
B =12 2=
∫
µ 2( )20,01 0,1 1 10 100
1 10 100 1000 10000
F (kHz)
R (Ohm)
0,0E+00 5,0E-07 1,0E-06 1,5E-06 2,0E-06 2,5E-06 3,0E-06
1 10 100 1000 10000
F (kHz)
L (H)
Figure II-13: Courbes d'impédance d'un transformateur réel en court-circuit
Signalons dès à présent qu'il est très difficile, voire impossible, de séparer les effets de chacun des enroulements. Si, pour mesurer les pertes du primaire seul par exemple, on ouvre le court-circuit du secondaire, on modifie du même coup totalement la répartition des champs dans le transformateur et notamment les pertes du primaire. On en est donc généralement réduit à faire des hypothèses sur la répartition des pertes totales entre les différents enroulements.
La Figure II-14 montre d'ailleurs les courbes d'impédance en module et en phase (vu du primaire) du même transformateur, mais cette fois à circuit ouvert. Le comportement est ici nettement différent, avec en particulier un déplacement de la résonance vers des fréquences plus faibles (ici 500kHz). Ce déplacement s'explique par le fait que c'est cette fois l'inductance de magnétisation, plus élevée, qui résonne avec les mêmes capacités parasites.
II.3 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Conséquences des effets quasi-statiques II - 60 1,0E+01
1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04 1,0E+05 1,0E+06
1 10 100 1000 10000
F (kHz)
|Z| (ohm)
-90 -60 -30 0 30 60 90
1 10 100 1000 10000
F (kHz)
Phase (deg)
Figure II-14: Courbes d'impédance d'un transformateur réel à circuit ouvert
II.3.4 Conclusion
Les graphes ci-dessus (Figure II-13) illustrent bien les conséquences macroscopiques des effets quasi-statiques, à savoir une diminution de l'inductance et une augmentation de la résistance apparente aux fréquences élevées.
L'augmentation de résistance, numériquement beaucoup plus importante, justifie le fait que nous nous concentrerons essentiellement sur l'analyse des pertes cuivre dans les chapitres suivants.
II.4 Distribution des champs dans les transformateurs
Nous complétons la présentation des effets quasi-statiques par un rapide rappel concernant la distribution du champ magnétique et de la densité de courant dans les transformateurs. Nous présentons également les diagrammes de force magnétomotrice ("diagrammes MMF"), très couramment utilisés par les concepteurs pour étudier rapidement la disposition à donner aux enroulements. L'extension de cette méthode aux fréquences quasi-statiques permet d'analyser quelques situations typiques rencontrées dans les transformateurs.
II.4.1 Transformateur élémentaire et conventions de représentation
Modèle 2D
La Figure II-15 montre deux vues d'un transformateur élémentaire construit sur la base de deux demi-noyaux de type E. L'enroulement extérieur est le primaire, alimenté par une source de courant sinusoïdale, et l'enroulement intérieur, le secondaire, est mis en court-circuit. La ferrite est supposée linéaire.
primaire noyau
secondaire x
y
z z
y
x Figure II-15: Constitution du transformateur élémentaire
Pour examiner l'allure des champs dans ce transformateur, nous raisonnons sur une coupe (partie gauche de la figure), ce qui réduit implicitement la pièce à un modèle à deux dimensions supposé de longueur infinie6 perpendiculairement au plan de la figure. Compte tenu de la symétrie, on peut se limiter à représenter la moitié supérieure de la coupe, comme à la Figure II-16.
6 Il est plus correct de dire que la longueur est arbitraire selon la troisième dimension. La propriété importante est en fait qu'il n'y a aucune dépendance des variables selon cette dimension.
II.4 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Distribution des champs dans les transformateurs II - 62
Dans la suite, nous utiliserons systématiquement une représentation de ce type pour étudier les champs dans le transformateur. Par convention et sauf mention contraire, nous considérons un repère de coordonnées dans lequel l'axe x est horizontal, l'axe y est vertical et l'axe z est perpendiculaire au plan de la figure, orienté vers le lecteur.
Comme on le verra dans la suite, le champ magnétique dans la fenêtre de bobinage est essentiellement parallèle aux couches conductrices, c'est-à-dire horizontal dans la Figure II-16. La composante du champ orientée selon cette direction est souvent appelée "longitudinale" ou
"axiale" puisqu'elle est parallèle à l'axe de symétrie d'un noyau classique. Nous préférons cependant l'appeler "tangentielle" ou "parallèle", en faisant directement référence à son orientation par rapport aux couches conductrices, car la définition est alors également valable pour les transformateurs planaires.
Par opposition, nous appellerons "orthogonale" la composante du champ orientée perpendiculairement aux couches conductrices, c'est-à-dire verticalement dans nos figures. Cette composante est parfois également appelée "radiale" dans les noyaux à symétrie circulaire. La densité de courant, orthogonale à ces deux directions, est orientée selon l'axe z.
x y
z
champ tangentiel (Hx)
champ orthogonal (Hy) densité de courant (Jz)
Figure II-16: Conventions liées au modèle 2D
Analyse sommaire des champs
Considérons dans une première étape le champ magnétique dû au primaire seul, le secondaire étant momentanément à circuit ouvert. On sait que le courant circulant au primaire génère un champ magnétique (H), donc un champ d'induction (B). Compte tenu de la perméabilité élevée de la ferrite, la quasi-totalité du flux correspondant est guidée par le noyau (Figure II-17). Une faible fraction du flux traverse cependant la fenêtre de bobinage. Cette situation est typique d'une inductance à noyau de ferrite ou d'un transformateur à circuit ouvert.
Dans cette configuration des champs, le secondaire (en trait interrompu sur la Figure II-17) embrasse la quasi-totalité du flux généré par le primaire, à savoir la totalité du flux passant dans le noyau et une partie du flux passant dans l'air. La part du flux vue par les deux enroulements constitue le flux commun, le reste étant le flux de fuite du primaire. Comme les champs sont variables dans le temps, une force contre-électromotrice est induite au secondaire conformément à la loi de Lenz (§II.1.1).
Figure II-17: flux dû au courant circulant au primaire (trait interrompu: secondaire à circuit ouvert)
Si on ferme le secondaire par un court-circuit, cette force électromotrice induite provoque la circulation d'un courant au secondaire. Celui-ci donne également lieu à un flux, de même allure que le flux primaire, mais de sens opposé (Figure II-18). A nouveau, une grande part de ce flux est guidée par le noyau mais une petite fraction du flux secondaire n'est pas vue par le primaire.
En appliquant le principe de superposition, on peut voir à la Figure II-18 la situation finale lorsque les deux enroulements sont parcourus par un courant. Le flux commun n'apparaît plus: il a été annulé par le flux dû au courant secondaire. Par contre, on peut voir qu'il existe encore un flux dans l'espace situé entre les deux enroulements, car à cet endroit les flux de fuite du primaire et du secondaire ont même sens et se cumulent. Ce flux se referme préférentiellement par la ferrite, qui constitue évidemment le trajet de moindre réluctance. Cette situation est typique d'un transformateur en court-circuit, lorsqu'un enroulement reprend quasiment entièrement (au flux de fuite près) les ampères-tours de l'autre.
Il est important de constater que l'allure et l'intensité des champs à la Figure II-17 et à la Figure II- 18 (en bas) ne sont pas du tout identiques. Le premier cas est typique d'une inductance ou d'un transformateur à circuit ouvert, le second cas est typique d'un transformateur en court-circuit. La configuration des champs dans le transformateur dépend donc des conditions de charge des enroulements, qui devront toujours être précisées.
II.4 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Distribution des champs dans les transformateurs II - 64 Figure II-18: Superposition des flux dus à chacun des enroulements
et situation finale d'un transformateur en court-circuit
Dans le cas du transformateur à circuit ouvert, on s'intéressera essentiellement au champ dans le noyau, correspondant à l'inductance de magnétisation. Dans le cas du transformateur en court- circuit, seul le champ magnétique dans l'air est numériquement significatif (il est négligeable dans le noyau compte tenu de la perméabilité élevée de ce dernier). Il correspond à l'inductance de fuite du transformateur.
Note sur les transformateurs planaires
L'analyse qui vient d'être faite concerne un transformateur classique, c'est-à-dire un noyau dans lequel les enroulements sont concentriques. Si l'on s'en tient à un modèle à deux dimensions, ce qui est très généralement le cas, cette analyse s'applique également aux transformateurs planaires, dans lesquels les enroulements sont superposés.
Rien ne distingue en effet une demi-coupe 2D dans un transformateur classique d'une demi-coupe 2D dans un transformateur planaire, sinon la position du trait de symétrie (Figure II-19). Or la symétrie impose que le flux soit parallèle à ce trait, ce qui est également, à peu de choses près, la condition existant à la surface extérieure de la ferrite en raison de sa perméabilité élevée.
Dans un demi-modèle 2D, la distribution des champs est donc identique pour les transformateurs classiques et pour les transformateurs planaires. Toute étude 2D est donc applicable aux deux géométries à la condition que la perméabilté du noyau soit élevée. (Les configurations des champs
hors du noyau, visibles dans des modèles 3D, sont par contre sensiblement différentes comme on le verra au chapitre VIII).
transformateur planaire
transformateur classique
Figure II-19: Identité des modèles 2D de transformateurs classiques et planaires
II.4.2 Diagrammes des champs (modèle 1D)
Diagrammes statiques
Pour analyser rapidement les champs dans des pièces magnétiques plus complexes, on utilise couramment les diagrammes de force magnétomotrice ou "diagrammes MMF". Ceux-ci consistent à analyser, sur base des courants totaux supposés connus, le profil du champ magnétique dans un modèle unidimensionnel du transformateur. On fait pour cela les hypothèses suivantes:
- le champ magnétique est nul ou négligeable à l'extérieur du transformateur, - la densité de courant est uniforme dans les conducteurs (cas statique),
- le champ est unidimensionnel7 et parallèle aux couches conductrices dans la fenêtre de bobinage. (Cette dernière hypothèse se justifie à deux conditions: d'une part que la perméabilité de la ferrite soit très élevée, d'autre part que les couches conductrices occupent toute la largeur de la fenêtre de bobinage. Cette seconde condition sera discutée amplement dans le prochain chapitre. Sachant que les diagrammes MMF sont utilisés pour une première analyse, elle ne pose ici pas de difficulté.)
Compte tenu de ces hypothèses, on peut considérer que le noyau "ferme" latéralement le domaine constitué par la fenêtre de bobinage et que le problème devient équivalent à celui de cylindres concentriques infiniment longs selon leur axe. On se ramène ainsi à un problème unidimensionnel bien connu.
7 Il ne varie que selon la composante y du problème.
II.4 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Distribution des champs dans les transformateurs II - 66 A C
B
D E F
Hx
G J
y y
I I/bw
Hx
bw
Figure II-20: Tracé des diagrammes statiques du transformateur élémentaire (à droite)
Sur base de la loi d'Ampère (II.1-2), on peut facilement trouver le profil du champ magnétique dans la fenêtre du transformateur. Considérons le contour C tracé à la Figure II-20: le côté supérieur reste fixe à l'extérieur du transformateur (en A), et le côté inférieur ferme le contour à une hauteur variable:
- s'il se ferme entre A et B, le courant embrassé par le contour est nul, et donc la circulation du champ magnétique également. Comme par hypothèse le champ est négligeable dans et à l'extérieur du noyau d'une part, et unidimensionnel dans la fenêtre d'autre part, on en conclut que le champ magnétique lui-même est nul dans la fenêtre entre la ferrite et l'enroulement extérieur.
- s'il se ferme entre D et E, le courant embrassé vaut le courant total de l'enroulement extérieur, que nous notons I. A nouveau, le champ magnétique étant non négligeable uniquement dans la fenêtre, on peut écrire sur base de la loi d'Ampère (bw étant la largeur de la fenêtre):
(II.4-1)
- s'il se ferme entre F et G, le courant net embrassé est nul, les ampères-tours amenés par un enroulement étant repris par l'autre dans l'hypothèse où le secondaire est en court- circuit. Le champ magnétique est donc nul également.
- enfin dans les conducteurs, il apparaît par un raisonnement analogue qu'on peut écrire:
(II.4-2)
l'intégrale s'étendant d'une cote y où la force magnétomotrice est nulle (par exemple yB) à la cote courante. Sachant que la densité de courant est uniforme par hypothèse, on voit immédiatement que le champ magnétique varie linéairement.
L'ensemble de ces résultats est résumé dans les graphes situés dans la partie droite de la Figure II- 20. Le graphe du champ magnétique Hx est le "diagramme MMF" du transformateur. Nous l'accompagnerons toujours du graphe de densité de courant qui en permet un tracé plus aisé.
w
x b
H = I
∫
= y
x y B
d J y
H ( ) (ξ). ξ
Extension des diagrammes au cas quasi-statique
Lorsque le problème est quasi-statique, on peut facilement réaliser le même type d'analyse. Le fait que le problème est unidimensionnel implique que le champ magnétique en dehors des conducteurs est rigoureusement identique en statique et en quasi-statique (voir également §II.1.2).
A l'intérieur des conducteurs par contre les champs sont modifiés, précisément en raison des effets quasi-statiques.
L'allure de la densité de courant peut cependant être trouvée aisément en utilisant la notion de diffusion à partir de la valeur du champ magnétique à la surface des conducteurs. L'équation (II.4-2) restant valable, il ne reste plus alors qu'à intégrer cette densité de courant pour obtenir le profil du champ magnétique dans les conducteurs.
La Figure II-21 montre le résultat obtenu pour le transformateur élémentaire déjà considéré. La déformation des profils de J et H par rapport au cas statique est conforme à l'analyse du §II.3 (augmentation des pertes et diminution de l'inductance). Nous les retrouverons également dans nos simulations par éléments finis (aux Figures II-50 et II-51, p.141). Ces profils dépendent évidemment de la fréquence et correspondent ici à une épaisseur de peau environ égale à l'épaisseur des conducteurs.
y y
Hx
J Hx
I
-I
Figure II-21: Diagrammes quasi-statiques du transformateur élémentaire (rappel des diagrammes statiques en trait interrompu)
Règles de tracé des diagrammes statiques et quasi-statiques
On peut synthétiser les raisonnements établis ci-dessus en quelques règles simples. Celles-ci permettent de tracer les diagrammes statiques et quasi-statiques, toujours supposés s'appliquer à un modèle unidimensionnel, quelle que soit la disposition des couches dans le transformateur:
- entre deux couches conductrices, le champ est constant et vaut la somme des ampères- tours des conducteurs situés entre une cote y où la force magnétomotrice est nulle et le point considéré, divisée par la largeur de la fenêtre. En particulier, le champ est nul
II.4 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Distribution des champs dans les transformateurs II - 68
entre la ferrite et les couches extrêmes si la somme des ampères-tours apportés par les enroulements est nulle.
- au sein des couches, le champ magnétique varie spatialement selon y comme l'intégrale de la densité de courant prise depuis un zéro de la force magnétomotrice jusqu'à la cote considérée. En particulier, la variation est linéaire dans le cas statique.
Les diagrammes statiques et quasi-statiques permettent d'analyser très rapidement les configurations des champs dans les transformateurs [96][197]. Nous mettons cet avantage à profit pour étudier ci-dessous quelques situations courantes.
II.4.3 Analyse de quelques situations courantes
Effet de proximité dans les écrans
Dans les transformateurs de puissance, un écran est une couche conductrice destinée à limiter les couplages capacitifs entre enroulements. Elle est laissée à circuit ouvert et ne porte donc aucun courant net. Conformément à l'analyse précédente, le champ magnétique est identique des deux côtés de l'écran puisque celui-ci n'apporte pas de force magnétomotrice.
A fréquence suffisante, les effets quasi-statiques peuvent provoquer la circulation de deux courants opposés dans l'épaisseur du conducteur. Des pertes cuivre sont générées alors même que le courant net est nul. Cette situation, qui est une illustration parfaite de l'effet de proximité seul, s'explique aisément par un diagramme MMF comme le montre la figure ci-dessous.
y y
J Hx
écran Hx
J
0
-I I
Figure II-22: Analyse quasi-statique d'un transformateur avec écran (trait interrompu: rappel des diagrammes statiques; le courant net dans chaque couche est indiqué dans le graphe de J)
Pour éviter cette situation, on utilise typiquement pour les écrans un ruban beaucoup plus mince que pour les conducteurs. L'effet sur les pertes du transformateur est dès lors marginal.
Néanmoins une situation identique est susceptible de se produire de manière plus marquée dans tout enroulement qui ne conduit pas [182]: secondaire non chargé dans une alimentation multi-
sorties, demi-secondaire non conducteur à chaque demi-alternance dans une structure push-pull, etc. Dans ce cas, les pertes peuvent atteindre un niveau parfois équivalent à celles d'un enroulement portant un courant net et il faudra de toute évidence les prendre en compte dans le dimensionnement.
Enroulements multicouches
Un enroulement peut comporter plusieurs couches, spécialement s'il est en ruban. La multiplication des couches est de nature à augmenter les pertes à cause de l'effet de proximité.
L'exemple ci-dessous (Figure II-23) montre pourquoi sur base d'un enroulement comportant deux couches.
y y
J Hx
I
I
-2I
Figure II-23: Analyse quasi-statique d'un enroulement formé de deux couches en série
En regardant le diagramme statique, on voit que la couche centrale baigne dans le champ de la couche extérieure, appartenant au même enroulement (comme c'est le cas classiquement pour des solénoïdes concentriques). De ce fait, elle subit en quasi-statique un effet de proximité tout-à-fait similaire à ce qui se passe pour les écrans et se cumulant à son effet pelliculaire propre. A haute fréquence, elle véhicule ainsi deux courants opposés, dont la différence est le courant net porté par l'enroulement.
Si les effets quasi-statiques sont pleinement développés, la couche intérieure génère cinq fois les pertes de la couche extérieure pour un courant net identique. Pour la même raison, une troisième couche générera treize fois les pertes de la première couche. Il est donc indispensable d'éviter les enroulements comportant beaucoup de couches ou en toute hypothèse de les dimensionner soigneusement. Cet effet explique pourquoi l'épaisseur optimale des conducteurs d'un enroulement multicouches est plus petite que celle d'un enroulement à une seule couche.
On peut encore remarquer, lorsque les effets quasi-statiques sont significatifs, que les densités de courant à la surface de deux conducteurs consécutifs sont de même valeur mais de signes opposés.
II.4 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Distribution des champs dans les transformateurs II - 70
Ceci s'explique aisément si on se souvient que la densité de courant moyenne est liée à la valeur du champ magnétique à la surface du conducteur (§II.2.5).
Conducteurs en parallèle
En quasi-statique, le fait d'augmenter l'épaisseur d'un conducteur ne réduit pas sa résistance apparente puisque la densité de courant reste confinée dans une épaisseur de peau8.
On pourrait envisager pour réduire les pertes de brancher deux conducteurs en parallèle, ce qui a été étudié par plusieurs auteurs [117][174][175][187]. Ceci est cependant tout aussi inutile: si les conducteurs sont branchés en parallèle, on peut uniquement imposer le courant total, mais pas la manière dont celui-ci se répartit entre les conducteurs. En pratique, la densité de courant se répartira comme si les deux conducteurs n'en formaient qu'un seul plus épais, de sorte qu'il ne faut attendre aucune amélioration significative du point de vue des pertes.
Une illustration de cette propriété est déjà apparue à la Figure II-10 (p. 53), où on peut voir que le courant se répartit à l'extérieur des deux conducteurs considérés globalement. Les deux conducteurs portant un courant identique et compte tenu de la symétrie, on peut imaginer qu'ils sont en parallèle.
y y
J Hx
-I
I
Figure II-24: Analyse quasi-statique d'un enroulement formé de deux couches en parallèle
Enroulements entrelacés
Un remède plus efficace et communément utilisé consiste à entrelacer les couches, c'est-à-dire à diviser un enroulement en deux et à disposer chaque moitié de part et d'autre de l'enroulement qui en reprend les ampères-tours (typiquement deux demi-primaires autour d'un secondaire).
L'avantage vient du fait qu'on divise par deux la valeur maximale du champ dans la fenêtre de bobinage. On réduit ainsi nettement l'inductance de fuite et les pertes cuivre du transformateur
8 Une réduction des pertes peut néanmoins être obtenue si le courant comporte une composante continue.
