Nous complétons la présentation des effets quasi-statiques par un rapide rappel concernant la distribution du champ magnétique et de la densité de courant dans les transformateurs. Nous présentons également les diagrammes de force magnétomotrice ("diagrammes MMF"), très couramment utilisés par les concepteurs pour étudier rapidement la disposition à donner aux enroulements. L'extension de cette méthode aux fréquences quasi-statiques permet d'analyser quelques situations typiques rencontrées dans les transformateurs.
II.4.1 Transformateur élémentaire et conventions de représentation Modèle 2D
La Figure II-15 montre deux vues d'un transformateur élémentaire construit sur la base de deux demi-noyaux de type E. L'enroulement extérieur est le primaire, alimenté par une source de courant sinusoïdale, et l'enroulement intérieur, le secondaire, est mis en court-circuit. La ferrite est supposée linéaire. primaire noyau secondaire x y z z y x
Figure II-15: Constitution du transformateur élémentaire
Pour examiner l'allure des champs dans ce transformateur, nous raisonnons sur une coupe (partie gauche de la figure), ce qui réduit implicitement la pièce à un modèle à deux dimensions supposé de longueur infinie6 perpendiculairement au plan de la figure. Compte tenu de la symétrie, on peut se limiter à représenter la moitié supérieure de la coupe, comme à la Figure II-16.
6 Il est plus correct de dire que la longueur est arbitraire selon la troisième dimension. La propriété importante est en fait qu'il n'y a aucune dépendance des variables selon cette dimension.
II.4 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Distribution des champs dans les transformateurs II - 62 Dans la suite, nous utiliserons systématiquement une représentation de ce type pour étudier les champs dans le transformateur. Par convention et sauf mention contraire, nous considérons un repère de coordonnées dans lequel l'axe x est horizontal, l'axe y est vertical et l'axe z est perpendiculaire au plan de la figure, orienté vers le lecteur.
Comme on le verra dans la suite, le champ magnétique dans la fenêtre de bobinage est essentiellement parallèle aux couches conductrices, c'est-à-dire horizontal dans la Figure II-16. La composante du champ orientée selon cette direction est souvent appelée "longitudinale" ou "axiale" puisqu'elle est parallèle à l'axe de symétrie d'un noyau classique. Nous préférons cependant l'appeler "tangentielle" ou "parallèle", en faisant directement référence à son orientation par rapport aux couches conductrices, car la définition est alors également valable pour les transformateurs planaires.
Par opposition, nous appellerons "orthogonale" la composante du champ orientée perpendiculairement aux couches conductrices, c'est-à-dire verticalement dans nos figures. Cette composante est parfois également appelée "radiale" dans les noyaux à symétrie circulaire. La densité de courant, orthogonale à ces deux directions, est orientée selon l'axe z.
x y z champ tangentiel (Hx) champ orthogonal (Hy) densité de courant(Jz)
Figure II-16: Conventions liées au modèle 2D
Analyse sommaire des champs
Considérons dans une première étape le champ magnétique dû au primaire seul, le secondaire étant momentanément à circuit ouvert. On sait que le courant circulant au primaire génère un champ magnétique (H), donc un champ d'induction (B). Compte tenu de la perméabilité élevée de la ferrite, la quasi-totalité du flux correspondant est guidée par le noyau (Figure II-17). Une faible fraction du flux traverse cependant la fenêtre de bobinage. Cette situation est typique d'une inductance à noyau de ferrite ou d'un transformateur à circuit ouvert.
Dans cette configuration des champs, le secondaire (en trait interrompu sur la Figure II-17) embrasse la quasi-totalité du flux généré par le primaire, à savoir la totalité du flux passant dans le noyau et une partie du flux passant dans l'air. La part du flux vue par les deux enroulements constitue le flux commun, le reste étant le flux de fuite du primaire. Comme les champs sont variables dans le temps, une force contre-électromotrice est induite au secondaire conformément à la loi de Lenz (§II.1.1).
Figure II-17: flux dû au courant circulant au primaire
(trait interrompu: secondaire à circuit ouvert)
Si on ferme le secondaire par un court-circuit, cette force électromotrice induite provoque la circulation d'un courant au secondaire. Celui-ci donne également lieu à un flux, de même allure que le flux primaire, mais de sens opposé (Figure II-18). A nouveau, une grande part de ce flux est guidée par le noyau mais une petite fraction du flux secondaire n'est pas vue par le primaire. En appliquant le principe de superposition, on peut voir à la Figure II-18 la situation finale lorsque les deux enroulements sont parcourus par un courant. Le flux commun n'apparaît plus: il a été annulé par le flux dû au courant secondaire. Par contre, on peut voir qu'il existe encore un flux dans l'espace situé entre les deux enroulements, car à cet endroit les flux de fuite du primaire et du secondaire ont même sens et se cumulent. Ce flux se referme préférentiellement par la ferrite, qui constitue évidemment le trajet de moindre réluctance. Cette situation est typique d'un transformateur en court-circuit, lorsqu'un enroulement reprend quasiment entièrement (au flux de fuite près) les ampères-tours de l'autre.
Il est important de constater que l'allure et l'intensité des champs à la Figure 17 et à la Figure II-18 (en bas) ne sont pas du tout identiques. Le premier cas est typique d'une inductance ou d'un transformateur à circuit ouvert, le second cas est typique d'un transformateur en court-circuit. La configuration des champs dans le transformateur dépend donc des conditions de charge des enroulements, qui devront toujours être précisées.
II.4 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Distribution des champs dans les transformateurs II - 64
Figure II-18: Superposition des flux dus à chacun des enroulements
et situation finale d'un transformateur en court-circuit
Dans le cas du transformateur à circuit ouvert, on s'intéressera essentiellement au champ dans le noyau, correspondant à l'inductance de magnétisation. Dans le cas du transformateur en court-circuit, seul le champ magnétique dans l'air est numériquement significatif (il est négligeable dans le noyau compte tenu de la perméabilité élevée de ce dernier). Il correspond à l'inductance de fuite du transformateur.
Note sur les transformateurs planaires
L'analyse qui vient d'être faite concerne un transformateur classique, c'est-à-dire un noyau dans lequel les enroulements sont concentriques. Si l'on s'en tient à un modèle à deux dimensions, ce qui est très généralement le cas, cette analyse s'applique également aux transformateurs planaires, dans lesquels les enroulements sont superposés.
Rien ne distingue en effet une demi-coupe 2D dans un transformateur classique d'une demi-coupe 2D dans un transformateur planaire, sinon la position du trait de symétrie (Figure II-19). Or la symétrie impose que le flux soit parallèle à ce trait, ce qui est également, à peu de choses près, la condition existant à la surface extérieure de la ferrite en raison de sa perméabilité élevée.
Dans un demi-modèle 2D, la distribution des champs est donc identique pour les transformateurs classiques et pour les transformateurs planaires. Toute étude 2D est donc applicable aux deux géométries à la condition que la perméabilté du noyau soit élevée. (Les configurations des champs
hors du noyau, visibles dans des modèles 3D, sont par contre sensiblement différentes comme on le verra au chapitre VIII).
transformateur planaire transformateur classique
Figure II-19: Identité des modèles 2D de transformateurs classiques et planaires
II.4.2 Diagrammes des champs (modèle 1D) Diagrammes statiques
Pour analyser rapidement les champs dans des pièces magnétiques plus complexes, on utilise couramment les diagrammes de force magnétomotrice ou "diagrammes MMF". Ceux-ci consistent à analyser, sur base des courants totaux supposés connus, le profil du champ magnétique dans un modèle unidimensionnel du transformateur. On fait pour cela les hypothèses suivantes:
- le champ magnétique est nul ou négligeable à l'extérieur du transformateur, - la densité de courant est uniforme dans les conducteurs (cas statique),
- le champ est unidimensionnel7 et parallèle aux couches conductrices dans la fenêtre de bobinage. (Cette dernière hypothèse se justifie à deux conditions: d'une part que la perméabilité de la ferrite soit très élevée, d'autre part que les couches conductrices occupent toute la largeur de la fenêtre de bobinage. Cette seconde condition sera discutée amplement dans le prochain chapitre. Sachant que les diagrammes MMF sont utilisés pour une première analyse, elle ne pose ici pas de difficulté.)
Compte tenu de ces hypothèses, on peut considérer que le noyau "ferme" latéralement le domaine constitué par la fenêtre de bobinage et que le problème devient équivalent à celui de cylindres concentriques infiniment longs selon leur axe. On se ramène ainsi à un problème unidimensionnel bien connu.
II.4 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Distribution des champs dans les transformateurs II - 66 C A B D E F Hx G J y y I I/bw Hx bw
Figure II-20: Tracé des diagrammes statiques du transformateur élémentaire (à droite)
Sur base de la loi d'Ampère (II.1-2), on peut facilement trouver le profil du champ magnétique dans la fenêtre du transformateur. Considérons le contour C tracé à la Figure II-20: le côté supérieur reste fixe à l'extérieur du transformateur (en A), et le côté inférieur ferme le contour à une hauteur variable:
- s'il se ferme entre A et B, le courant embrassé par le contour est nul, et donc la circulation du champ magnétique également. Comme par hypothèse le champ est négligeable dans et à l'extérieur du noyau d'une part, et unidimensionnel dans la fenêtre d'autre part, on en conclut que le champ magnétique lui-même est nul dans la fenêtre entre la ferrite et l'enroulement extérieur.
- s'il se ferme entre D et E, le courant embrassé vaut le courant total de l'enroulement extérieur, que nous notons I. A nouveau, le champ magnétique étant non négligeable uniquement dans la fenêtre, on peut écrire sur base de la loi d'Ampère (bw étant la largeur de la fenêtre):
(II.4-1) - s'il se ferme entre F et G, le courant net embrassé est nul, les ampères-tours amenés par un enroulement étant repris par l'autre dans l'hypothèse où le secondaire est en court-circuit. Le champ magnétique est donc nul également.
- enfin dans les conducteurs, il apparaît par un raisonnement analogue qu'on peut écrire: (II.4-2) l'intégrale s'étendant d'une cote y où la force magnétomotrice est nulle (par exemple
yB) à la cote courante. Sachant que la densité de courant est uniforme par hypothèse, on voit immédiatement que le champ magnétique varie linéairement.
L'ensemble de ces résultats est résumé dans les graphes situés dans la partie droite de la Figure II-20. Le graphe du champ magnétique Hx est le "diagramme MMF" du transformateur. Nous l'accompagnerons toujours du graphe de densité de courant qui en permet un tracé plus aisé.
w x b I H =
∫
= y y x B d J y H ( ) (ξ). ξExtension des diagrammes au cas quasi-statique
Lorsque le problème est quasi-statique, on peut facilement réaliser le même type d'analyse. Le fait que le problème est unidimensionnel implique que le champ magnétique en dehors des conducteurs est rigoureusement identique en statique et en quasi-statique (voir également §II.1.2). A l'intérieur des conducteurs par contre les champs sont modifiés, précisément en raison des effets quasi-statiques.
L'allure de la densité de courant peut cependant être trouvée aisément en utilisant la notion de diffusion à partir de la valeur du champ magnétique à la surface des conducteurs. L'équation (II.4-2) restant valable, il ne reste plus alors qu'à intégrer cette densité de courant pour obtenir le profil du champ magnétique dans les conducteurs.
La Figure II-21 montre le résultat obtenu pour le transformateur élémentaire déjà considéré. La déformation des profils de J et H par rapport au cas statique est conforme à l'analyse du §II.3 (augmentation des pertes et diminution de l'inductance). Nous les retrouverons également dans nos simulations par éléments finis (aux Figures II-50 et II-51, p.141). Ces profils dépendent évidemment de la fréquence et correspondent ici à une épaisseur de peau environ égale à l'épaisseur des conducteurs.
y y Hx J Hx I -I
Figure II-21: Diagrammes quasi-statiques du transformateur élémentaire
(rappel des diagrammes statiques en trait interrompu)
Règles de tracé des diagrammes statiques et quasi-statiques
On peut synthétiser les raisonnements établis ci-dessus en quelques règles simples. Celles-ci permettent de tracer les diagrammes statiques et quasi-statiques, toujours supposés s'appliquer à un modèle unidimensionnel, quelle que soit la disposition des couches dans le transformateur:
- entre deux couches conductrices, le champ est constant et vaut la somme des ampères-tours des conducteurs situés entre une cote y où la force magnétomotrice est nulle et le point considéré, divisée par la largeur de la fenêtre. En particulier, le champ est nul
II.4 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Distribution des champs dans les transformateurs II - 68 entre la ferrite et les couches extrêmes si la somme des ampères-tours apportés par les enroulements est nulle.
- au sein des couches, le champ magnétique varie spatialement selon y comme l'intégrale de la densité de courant prise depuis un zéro de la force magnétomotrice jusqu'à la cote considérée. En particulier, la variation est linéaire dans le cas statique.
Les diagrammes statiques et quasi-statiques permettent d'analyser très rapidement les configurations des champs dans les transformateurs [96][197]. Nous mettons cet avantage à profit pour étudier ci-dessous quelques situations courantes.
II.4.3 Analyse de quelques situations courantes Effet de proximité dans les écrans
Dans les transformateurs de puissance, un écran est une couche conductrice destinée à limiter les couplages capacitifs entre enroulements. Elle est laissée à circuit ouvert et ne porte donc aucun courant net. Conformément à l'analyse précédente, le champ magnétique est identique des deux côtés de l'écran puisque celui-ci n'apporte pas de force magnétomotrice.
A fréquence suffisante, les effets quasi-statiques peuvent provoquer la circulation de deux courants opposés dans l'épaisseur du conducteur. Des pertes cuivre sont générées alors même que le courant net est nul. Cette situation, qui est une illustration parfaite de l'effet de proximité seul, s'explique aisément par un diagramme MMF comme le montre la figure ci-dessous.
y y J Hx écran Hx J 0 -I I
Figure II-22: Analyse quasi-statique d'un transformateur avec écran (trait interrompu: rappel des
diagrammes statiques; le courant net dans chaque couche est indiqué dans le graphe de J)
Pour éviter cette situation, on utilise typiquement pour les écrans un ruban beaucoup plus mince que pour les conducteurs. L'effet sur les pertes du transformateur est dès lors marginal. Néanmoins une situation identique est susceptible de se produire de manière plus marquée dans tout enroulement qui ne conduit pas [182]: secondaire non chargé dans une alimentation
multi-sorties, demi-secondaire non conducteur à chaque demi-alternance dans une structure push-pull, etc. Dans ce cas, les pertes peuvent atteindre un niveau parfois équivalent à celles d'un enroulement portant un courant net et il faudra de toute évidence les prendre en compte dans le dimensionnement.
Enroulements multicouches
Un enroulement peut comporter plusieurs couches, spécialement s'il est en ruban. La multiplication des couches est de nature à augmenter les pertes à cause de l'effet de proximité. L'exemple ci-dessous (Figure II-23) montre pourquoi sur base d'un enroulement comportant deux couches. y y J Hx I I -2I
Figure II-23: Analyse quasi-statique d'un enroulement formé de deux couches en série
En regardant le diagramme statique, on voit que la couche centrale baigne dans le champ de la couche extérieure, appartenant au même enroulement (comme c'est le cas classiquement pour des solénoïdes concentriques). De ce fait, elle subit en quasi-statique un effet de proximité tout-à-fait similaire à ce qui se passe pour les écrans et se cumulant à son effet pelliculaire propre. A haute fréquence, elle véhicule ainsi deux courants opposés, dont la différence est le courant net porté par l'enroulement.
Si les effets quasi-statiques sont pleinement développés, la couche intérieure génère cinq fois les pertes de la couche extérieure pour un courant net identique. Pour la même raison, une troisième couche générera treize fois les pertes de la première couche. Il est donc indispensable d'éviter les enroulements comportant beaucoup de couches ou en toute hypothèse de les dimensionner soigneusement. Cet effet explique pourquoi l'épaisseur optimale des conducteurs d'un enroulement multicouches est plus petite que celle d'un enroulement à une seule couche.
On peut encore remarquer, lorsque les effets quasi-statiques sont significatifs, que les densités de courant à la surface de deux conducteurs consécutifs sont de même valeur mais de signes opposés.
II.4 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Distribution des champs dans les transformateurs II - 70 Ceci s'explique aisément si on se souvient que la densité de courant moyenne est liée à la valeur du champ magnétique à la surface du conducteur (§II.2.5).
Conducteurs en parallèle
En quasi-statique, le fait d'augmenter l'épaisseur d'un conducteur ne réduit pas sa résistance apparente puisque la densité de courant reste confinée dans une épaisseur de peau8.
On pourrait envisager pour réduire les pertes de brancher deux conducteurs en parallèle, ce qui a été étudié par plusieurs auteurs [117][174][175][187]. Ceci est cependant tout aussi inutile: si les conducteurs sont branchés en parallèle, on peut uniquement imposer le courant total, mais pas la manière dont celui-ci se répartit entre les conducteurs. En pratique, la densité de courant se répartira comme si les deux conducteurs n'en formaient qu'un seul plus épais, de sorte qu'il ne faut attendre aucune amélioration significative du point de vue des pertes.
Une illustration de cette propriété est déjà apparue à la Figure II-10 (p. 53), où on peut voir que le courant se répartit à l'extérieur des deux conducteurs considérés globalement. Les deux conducteurs portant un courant identique et compte tenu de la symétrie, on peut imaginer qu'ils sont en parallèle. y y J Hx -I I
Figure II-24: Analyse quasi-statique d'un enroulement formé de deux couches en parallèle
Enroulements entrelacés
Un remède plus efficace et communément utilisé consiste à entrelacer les couches, c'est-à-dire à diviser un enroulement en deux et à disposer chaque moitié de part et d'autre de l'enroulement qui en reprend les ampères-tours (typiquement deux demi-primaires autour d'un secondaire).
L'avantage vient du fait qu'on divise par deux la valeur maximale du champ dans la fenêtre de bobinage. On réduit ainsi nettement l'inductance de fuite et les pertes cuivre du transformateur
(qui varient comme le carré du champ). On peut multiplier les divisions pour réduire encore le champ maximal, mais on se heurte évidemment vite à des difficultés de conception puisqu'il faut connecter entre elles les différentes parties d'un enroulement. L'entrelacement a également l'inconvénient d'augmenter les capacités parasites.
y y J Hx y y J Hx I -I I/2 I/2 -I I/bw I/2bw
Figure II-25: Comparaison entre un transformateur sans (en haut) et
avec entrelacement (en bas). Les diagrammes MMF sont à la même échelle.
II.4.4 Conclusion
Après avoir précisé les conventions de représentation que nous utiliserons dans la suite pour l'analyse des champs en deux dimensions, nous avons rappelé les principes de base de la répartition des champs dans un transformateur élémentaire.
Une méthode de tracé des diagrammes de force magnétomotrice en statique et en quasi-statique a ensuite été donnée. Elle a permis d'analyser quelques situations courantes (écrans, enroulements multicouches, conducteurs en parallèle et entrelacement) dans une approche purement unidimensionnelle.
II.5 - Effets haute fréquence dans les conducteurs: Conclusion II - 72