L'augmentation de la fréquence de découpage mène à ce que nous avons appelé des effets haute fréquence dans les pièces magnétiques. La théorie rappelée dans ce chapitre montre que ceux-ci se résument aux effets quasi-statiques bien connus, à savoir l'effet pelliculaire et l'effet de proximité. Ceux-ci amènent la densité de courant à se concentrer en périphérie de la section des conducteurs. Pour l'utilisateur de pièces magnétiques, ces effets ont deux conséquences macroscopiques: la diminution de l'inductance (propre et mutuelle) et l'augmentation des pertes cuivre (donc de la résistance apparente) qui peut atteindre des proportions très considérables.
La compréhension détaillée de ces phénomènes permet de prévoir la répartition des champs dans le transformateur. Les diagrammes MMF et la notion de diffusion sont deux outils très utiles dans ce cadre. L'analyse –uniquement unidimensionnelle pour l'instant– de quelques dispositions d'enroulements courantes fait entrevoir quelles peuvent être les conséquences des effets quasi-statiques et comment les minimiser. Des outils plus précis sont cependant nécessaires comme nous allons le montrer dans les chapitres qui suivent.
III. Méthode analytique 1D
Pour calculer les pertes cuivre dans les transformateurs de puissance, les concepteurs de pièces magnétiques utilisent le plus souvent la méthode analytique 1D. Celle-ci fut à l'origine proposée par Dowell en 1966 et connut plusieurs développements étendant son champ d'application par la suite. Cette méthode repose fondamentalement sur l'hypothèse que le transformateur peut être réduit à un modèle unidimensionnel dans lequel le champ magnétique est parallèle aux couches conductrices.
Ce chapitre est divisé en quatre parties. Les deux premières exposent respectivement la méthode initiale présentée par Dowell et les développements apportés ensuite par d'autres auteurs. La troisième partie discute les fondements théoriques du facteur de remplissage, notion introduite par Dowell pour étendre son modèle à des couches de conducteurs distincts. Enfin la quatrième partie discute la validité de l'hypothèse 1D, et donc de ce type de méthodes de calcul, dans le cas des transformateurs de puissance.
Plan du chapitre
III.1 Article fondamental de Dowell... 74 III.2 Développements ultérieurs ... 83 III.3 Discussion théorique du facteur de remplissage... 88 III.4 Limites de validité de la méthode 1D ... 97 III.5 Conclusion... 103
III.1 - Méthode analytique 1D: Article fondamental de Dowell II - 74
III.1 Article fondamental de Dowell
L'article original dans lequel Dowell jette les bases de la méthode analytique 1D date de 1966 (P.L. Dowell, "Effects of eddy currents in transformer windings" [48]). Cet article, encore régulièrement cité aujourd'hui, constitue une étape majeure dans le calcul des pertes cuivre dans les transformateurs. Il présente une méthode permettant de calculer les pertes cuivre et l'inductance de fuite en tenant compte des effets quasi-statiques. Nous la présentons en détail, analysons ses hypothèses et en discutons certains points théoriques.
III.1.1 Présentation de la méthode Principe et modèle utilisé
La méthode de Dowell considère un transformateur formé de différentes couches conductrices séparées par de l'air ou un matériau diélectrique et bobinées autour d'un noyau (Figure II-26). Elle est basée sur l'hypothèse fondamentale que le champ est unidimensionnel (variant seulement selon l'épaisseur des couches y) et parallèle aux couches conductrices dans la fenêtre de bobinage. Dowell montre dans ce cas que la valeur du champ magnétique Hx(y) dans l'air est indépendante de la fréquence et peut être trouvée si on connaît les courants totaux portés par chaque enroulement, d'une manière tout-à-fait analogue à ce que nous avons présenté au §II.4.2. Dans les conducteurs par contre, le champ varie suivant un profil qui dépend de la fréquence. Dowell propose de le déterminer en résolvant analytiquement les équations de Maxwell à une dimension dans les conducteurs. Le même calcul fournit également le profil de la densité de courant, sur base duquel on peut calculer les pertes.
y
Hx
Figure II-26: Un modèle unidimensionnel conforme aux hypothèses de Dowell
Variation de l'impédance en fonction de la fréquence: FR et FL
Pour exprimer la variation d'impédance R+jωL du transformateur due aux effets quasi-statiques, Dowell introduit les deux facteurs suivants:
(III.1-1)
(III.1-2)
Le facteur FR est celui que nous avons déjà introduit au chapitre précédent. Nous l'appellerons dans la suite "facteur de résistance" ou "augmentation de résistance".
Sur base de la solution des équations de Maxwell pour le modèle unidimensionnel, Dowell développe les formules permettant de calculer directement les facteurs FR et FL en fonction de la fréquence. On note une restriction importante: ces formules s'appliquent uniquement à une portion d'enroulement, définie comme un nombre de couches entier ou demi-entier9 situées entre une valeur nulle et une valeur maximale de la force magnétomotrice. A titre d'exemple, la Figure II-26 comporte deux portions d'enroulement: l'une est la couche inférieure, l'autre est formée des deux couches supérieures.
Les formules obtenues par Dowell sont les suivantes:
(III.1-3)
(III.1-4)
dans lesquelles m désigne le nombre de couches de la portion d'enroulement (qui ici doit être entier, les formules étant légèrement différentes pour m demi-entier). Les notations (') et ('') désignent respectivement les parties réelle et imaginaire des expressions:
(III.1-5) (III.1-6) La variable X est encore définie par:
(III.1-7)
9 Les valeurs demi-entières sont nécessaires pour les enroulements entrelacés. DC AC R R R F = BF AC L L L F = ' 3 ) 1 ( ' 2 D m M FR = + − 2 2 2 '' ) 1 ( '' 3 X m D m M FL= + − X X jM M M = '+ ''= coth 2 tanh 2 '' ' jD X X D D= + = δ h X=
III.1 - Méthode analytique 1D: Article fondamental de Dowell II - 76 Il s'agit d'une variable adimensionnelle rapportant h, la hauteur d'une couche conductrice, à l'épaisseur de peau δ à la fréquence considérée. X varie comme la racine carrée de la fréquence et peut être vue comme une fréquence réduite. Le facteur FR étant lui-même une variable adimensionnelle, cette formulation permet de ramener le problème du calcul d'un enroulement à l'étude de la courbe FR en fonction de X quelles que soient les dimensions du problème.
III.1.2 Interprétation et utilisation des formules de Dowell
Analyse de l'augmentation de résistance FR en fonction de la fréquence
Les formules de Dowell permettent d'étudier les effets quasi-statiques dans les conducteurs. Nous nous intéressons essentiellement ici aux variations de résistance. La variation d'inductance, quoiqu'elle doive parfois être prise en compte, est fort peu citée dans la littérature.
La formule (III.1-3) se rapportant à la résistance peut être réécrite de la manière suivante:
(III.1-8)
Le premier terme représente l'effet pelliculaire seul alors que le second terme représente la composante de l'augmentation de résistance due à l'effet de proximité entre les différentes couches de la portion d'enroulement. La Figure II-27 montre l'allure typique des courbes correspondant à cette formule. Elles traduisent l'augmentation des pertes due à la non-uniformité de la densité de courant dans les conducteurs (et à celle-ci uniquement: la valeur moyenne de la densité de courant n'influence pas la valeur de FR). L'unité représente une distribution uniforme. Une fois encore, on peut constater combien cette augmentation peut être importante, spécialement pour les enroulements comportant plusieurs couches (voir §II.4.3).
1 10 100 1000 0,1 1,0 10,0 X Fr = Rac/Rdc
Figure II-27: Courbes de l'augmentation de résistance apparente
m=2 m=4 m=1 m=3 m=5 m=10 X X X X m X X X X X X FR cos cosh sin sinh 3 1 2 2 cos 2 cosh 2 sin 2 sinh 2 + − − + − + =
pour un enroulement comportant m couches de conducteurs
Les courbes peuvent être analysées de la manière suivante:
- Pour les faibles valeurs de X, c'est-à-dire pour les basses fréquences, l'épaisseur de peau est beaucoup plus grande que l'épaisseur des conducteurs et la densité de courant est donc uniforme. De ce fait, la résistance apparente est identique à la résistance en continu: FR vaut l'unité quel que soit le nombre de couches.
- Si la fréquence augmente, l'épaisseur de peau devient comparable à l'épaisseur des conducteurs (aux alentours de X=1): la densité de courant n'est plus uniforme. La résistance apparente augmente, d'autant plus nettement que le nombre de couches est élevé (un grand nombre de couches aggravant l'effet de proximité).
- Enfin pour des fréquences encore plus élevées, l'épaisseur de peau devient nettement plus petite que l'épaisseur des conducteurs. En conséquence, le courant se concentre sur une petite partie de la section uniquement, entraînant une augmentation très importante de la résistance effective qui peut alors atteindre des valeurs extrêmes. Par opposition aux autres méthodes présentées dans la suite, on notera que la méthode de Dowell donne un résultat immédiat puisqu'il suffit d'appliquer la formule (III.1-8). C'est la raison pour laquelle cette méthode est encore actuellement le principal outil de dimensionnement en milieu industriel, malgré l'existence de méthodes plus précises mais beaucoup plus lourdes à utiliser comme par exemple les simulations par éléments finis.
Dimensionnement d'un enroulement
Sur base de la Figure II-27, on peut facilement comprendre comment se fait le dimensionnement d'un enroulement. Outre sa largeur, qui est généralement limitée par les dimensions du noyau, trois variables interviennent dans la valeur de FR: la fréquence utilisée, le nombre de couches conductrices et l'épaisseur de celles-ci10. La fréquence est généralement fixée par des considérations étrangères aux pertes cuivre. Elle peut aller de 50kHz à plusieurs mégahertz suivant notamment la puissance de l'alimentation. Le nombre de couches est choisi le plus petit possible compte tenu des rapports de transformation désirés et des contraintes imposées par le noyau magnétique. Dans un modèle 1D, le paramètre principal sur lequel joue le concepteur est donc l'épaisseur des conducteurs.
En rappelant que les pertes cuivre en présence d'un effet quasi-statique sont données par (II.3-8): (III.1-9) on voit qu'il existe deux limites à observer:
10 On suppose ici que toutes les couches d'un même enroulement ont la même épaisseur. Une optimisation couche par couche, préférable en théorie, n'est que très rarement rencontrée pour des raisons évidentes de coût. Elle peut néanmoins être mise en œuvre dans des cas spécifiques [163].
2 . . DC RMS R Joule F R I P =
III.1 - Méthode analytique 1D: Article fondamental de Dowell II - 78 - alors qu'en continu il est souhaitable d'augmenter l'épaisseur du conducteur pour
diminuer ses pertes, cette possibilité n'existe plus ici puisque les champs sont confinés dans une couche conductrice de l'ordre de l'épaisseur de peau. Il est au contraire souhaitable de réduire l'épaisseur des conducteurs pour limiter la non-uniformité de la densité de courant.
- d'autre part, l'épaisseur ne doit pas être trop réduite sous peine d'augmenter la résistance en continu.
Il existe donc entre ces deux extrêmes un optimum qui mène généralement à choisir une épaisseur correspondant à une valeur de X aux environs de l'unité, dans la zone centrale du graphe. Pour une couche unique, l'optimum des pertes cuivre est obtenu pour X=1,57. Pour davantage de couches, l'épaisseur optimale est plus faible puisque l'effet de proximité entre les couches accentue la non-uniformité de la densité de courant. En pratique, on choisira pour le conducteur l'épaisseur standardisée la plus proche de l'épaisseur optimale. Un bon dimensionnement donnera typiquement une valeur de FR comprise entre 1 et 2.
Si sur base de ce dimensionnement on constate que les pertes sont trop élevées, on doit soit choisir une autre disposition des couches (par exemple en fractionnant les enroulements multicouches) soit utiliser un noyau de taille supérieure. Le critère décisif est évidemment la température atteinte par le transformateur dans les circonstances de fonctionnement les plus défavorables. Il faut cependant également vérifier qu'il n'y a pas d'échauffement localisé qui conduirait à la destruction du transformateur.
Formes d'onde non-sinusoïdales
Nous avons volontairement passé sous silence jusqu'ici un aspect du dimensionnement: les courants et tensions vus par les pièces magnétiques d'un convertisseur de puissance ne sont pas sinusoïdales mais lourdement chargées en harmoniques en raison du découpage. Si à la fréquence de base l'épaisseur de peau est du même ordre de grandeur que l'épaisseur du conducteur, on ne pourra par contre empêcher les effets quasi-statiques d'être pleinement développés aux fréquences harmoniques. On obtiendra donc inévitablement pour ces fréquences des valeurs très élevées du facteur FR (correspondant à la partie droite du graphe de la Figure II-27), mais celles-ci ne concernent que de faibles fractions de la puissance.
On peut montrer qu'en présence d'un courant non sinusoïdal les pertes cuivre peuvent être calculées séparément à chacune des fréquences et totalisées ensuite. Si Ii représente l'harmonique i
du courant et FRi la valeur de FR à la fréquence de cet harmonique, le facteur FR global pour l'onde non sinusoïdale est donné par:
(III.1-10) 2 2 2 2 1 2 0 2 2 2 2 2 1 1 2 0 ... ... n n Rn R R R I I I I I F I F I F I F + + + + + + + + =
La démonstration de cette propriété repose sur le fait que les pertes aux différentes fréquences sont orthogonales entre elles [23][203].
En conséquence, il faudra optimiser l'épaisseur des couches conductrices par rapport à cette nouvelle valeur de FR. Plusieurs auteurs signalent que des erreurs importantes peuvent être commises si on ignore l'effet des harmoniques [184][203]. Le nombre d'harmoniques à prendre en compte est également à discuter: les pertes relatives à chaque harmonique décroissant rapidement, on pourrait penser qu'il suffit de considérer uniquement quelques fréquences.
L'effet cumulatif n'est cependant pas à négliger dans les formes d'ondes à flancs raides [23]. Nous attirons donc l'attention sur le fait que toute méthode calculant les pertes cuivre, dont celles que nous serions amenés à développer, doit être valable jusqu'à des fréquences suffisamment élevées pour prendre en compte l'ensemble des harmoniques influençant la valeur de FR.
III.1.3 Analyse des hypothèses et du domaine d'application de la formule Formule exacte
La formule (III.1-8), parce que découlant des équations de Maxwell, est exacte si l'on observe une série d'hypothèses introduites plus ou moins clairement par Dowell, et explicitées a posteriori par différents auteurs [23][120][197]. Ces hypothèses sont les suivantes:
- les couches conductrices occupent toute la largeur de la fenêtre de bobinage,
- l'épaisseur d'une couche est beaucoup plus petite que le rayon de courbure de cette couche,
- la perméabilité de la ferrite est très élevée,
- toutes les couches d'une portion d'enroulement ont la même épaisseur,
- le champ magnétique est nul d'un côté de la portion d'enroulement et maximum de l'autre côté.
Les trois premières hypothèses permettent de réduire le problème à un modèle unidimensionnel correspondant à la Figure II-26. Les deux dernières permettent de limiter la complexité des développements mathématiques. La validité de ces hypothèses dans le cas des transformateurs de puissance est discutée au §III.4.
Extension du modèle à des conducteurs distincts
Par souci de clarté, nous n'avons présenté jusqu'ici que les formules correspondant au cas particulier de couches "complètes", c'est-à-dire de couches formées d'un ruban occupant toute la largeur de la fenêtre. On sait en effet que de tels enroulements garantissent un champ unidimensionnel dans la fenêtre de bobinage, donc un résultat rigoureux. La théorie originale de Dowell est cependant légèrement plus générale: elle englobe dès le départ le cas de couches formées de conducteurs distincts, de section carrée ou rectangulaire et régulièrement espacés
III.1 - Méthode analytique 1D: Article fondamental de Dowell II - 80 (Figure II-28). On peut dans ce cas faire raisonnablement l'hypothèse, tant que les conducteurs ne sont pas trop écartés, que le champ reste unidimensionnel et donc que la théorie 1D reste valable.
a
bw h
Figure II-28: Enroulement formé de conducteurs distincts
Par rapport à une couche complète, on peut caractériser une couche de conducteurs distincts par un "facteur de remplissage" η, défini par Dowell de la manière suivante
(III.1-11)
Sachant que Nl représente le nombre de conducteurs de largeur a sur la couche et bw la largeur de la fenêtre, on voit immédiatement que ce facteur représente la proportion de celle-ci occupée par du cuivre.
Dans le cas d'une couche complète, le facteur de remplissage est évidemment égal à 1 et les formules permettant de calculer FR sont celles données précédemment. L'article de Dowell montre par contre que dans le cas de conducteurs distincts et en supposant toujours le modèle unidimensionnel, la fréquence réduite X doit être multipliée par la racine carrée du facteur de remplissage. Les formules (III.1-5), (III.1-6) et (III.1-8) restent valables, mais il faut y remplacer X
par:
(III.1-12) Les pertes seraient donc finalement données par:
(III.1-13)
Ce dernier résultat, repris par de nombreux auteurs ultérieurement, est en réalité erroné d'un point de vue théorique. La formule (III.1-12) revient en effet à considérer que le facteur de remplissage agit en augmentant l'épaisseur de peau (ou en réduisant l'épaisseur du conducteur chez Prieto [162], ce qui revient au même). Or nous ne voyons pas comment on pourrait justifier physiquement de modifier δ, qui ne dépend que de la fréquence et des propriétés des matériaux, pour tenir compte
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ) ( . . 2
η
X fct F où I R F P R RMS DC R Joule ) 1 ( . ≤ = w l b a N η η η δ X h X*= =d'un changement de géométrie de l'enroulement. Une discussion complète de ce point est présentée au §III.3.
Extension du modèle aux conducteurs ronds
Le point précédent traitait de conducteurs distincts carrés ou rectangulaires. La plupart des enroulements à conducteurs distincts sont cependant évidemment bobinés en fil rond. Il faut donc trouver une équivalence pour ramener ceux-ci à la théorie précédente.
Dans son calcul du champ hors des conducteurs, Dowell suggère de remplacer d'éventuels conducteurs ronds par des conducteurs carrés de section équivalente. Il suffit pour cela d'utiliser, si
d est le diamètre du conducteur:
(III.1-14) Certains auteurs [23][197] ont considéré qu'ils pouvaient appliquer cette approximation supplémentaire à la formule de Dowell elle-même en vue de calculer les pertes. Nous ne sommes pas sûrs que c'était là l'intention de ce dernier. Néanmoins on constate en pratique que la relation (III.1-14) est systématiquement utilisée, presque comme si elle allait de soi. On trouve d'ailleurs dans beaucoup d'articles le dessin suivant, qui ne figure pas dans l'article initial de Dowell:
h=0,886d d
Figure II-29: Transformation de conducteurs ronds en un conducteur unique
Or si le choix d'une équivalence "rond/carré" basée sur la conservation de la surface conductrice est évidente en statique, il n'en est par contre plus rien en quasi-statique puisque la densité de courant n'est pas uniforme sur cette section. Curieusement, il semble que ce point n'ait jamais été analysé en détail dans la littérature alors que sa justification n'est pas triviale. Grâce à la simulation par éléments finis, nous y apportons un éclairage nouveau au §VI.3.
d d h a 0,886 4 ≈ = = π
III.1 - Méthode analytique 1D: Article fondamental de Dowell II - 82
III.1.4 Conclusion
L'article de Dowell expose deux formules qui donnent respectivement l'augmentation de résistance
FR et la diminution d'inductance FL en fonction de la fréquence en présence d'effets quasi-statiques. Elles offrent deux avantages majeurs pour les concepteurs de pièces magnétiques: elles sont très faciles à utiliser d'une part, et elles sont exprimées en variables réduites d'autre part. Ces formules sont exactes si on se limite à des couches complètes (ruban occupant toute la largeur de la fenêtre de bobinage), correspondant effectivement à un modèle unidimensionnel. Elles s'appliquent uniquement à des portions d'enroulements, définies comme un ensemble de couches (comportant éventuellement une demi-couche) situées entre une valeur nulle et une valeur maximale de la force magnétomotrice.
Le modèle peut être étendu à des couches conductrices composées de conducteurs distincts rectangulaires pour autant que ceux-ci ne soient pas trop écartés. L'interprétation physique du résultat obtenu dans ce cas nous amène cependant à remettre en cause la notion de "facteur de remplissage" introduite par Dowell: nous discuterons cette notion au §III.3. D'autre part, l'extension du modèle à des conducteurs ronds est également peu rigoureuse. Nous aurons l'occasion d'éclaircir cette question grâce aux simulations par éléments finis.
III.2 Développements ultérieurs
L'article de Dowell constitue un point de départ. En une vingtaine d'années, plusieurs articles ont ensuite permis d'étendre le champ d'application des formules initiales ou d'introduire d'autres interprétations de leurs résultats. Leur point commun est de toujours considérer un modèle unidimensionnel, raison pour laquelle nous les regroupons sous la dénomination de "méthode analytique 1D". Nous analysons brièvement les apports de chaque auteur.
III.2.1 Chronologie
Pour retracer les améliorations qui ont été successivement apportées à la théorie initiale, nous nous basons sur l’article [197] de Urling (1989) qui constitue une très bonne analyse comparée des