Dans ce paragraphe, nous rappelons très brièvement les principes de la méthode des éléments finis et de son application aux problèmes d'électromagnétisme quasi-statiques. Pour mémoire, nous évoquons également la méthode des différences finies, plus généralement utilisée dans les problèmes de propagation mais dont nous avons rencontré une application originale au §IV.3.
V.2.1 Principe
Supposons que l'on recherche la valeur d'un potentiel en tout point d'un problème dont on connaît les équations et les conditions aux limites. De manière quelque peu synthétique [181][207], la méthode des éléments finis comporte d'abord une étape de maillage qui consiste à discrétiser le problème en le divisant en sous-domaines de forme simple (les éléments finis) caractérisés par un certain nombre de points particuliers: les noeuds (situés sur la frontière ou parfois à l'intérieur de l'élément).
Au sein d'un élément, on exprime le potentiel en un point quelconque comme étant fonction des potentiels ϕj en chaque noeud (qui constituent les inconnues ou degrés de liberté) et de "fonctions de forme" Nj qui réalisent simplement sur l'élément une interpolation linéaire ou quadratique le plus souvent:
(V.2-1)
Différentes méthodes sont ensuite possibles pour trouver la solution du problème. La méthode variationnelle consiste par exemple à rechercher l'extrémum d'une fonction W des degrés de liberté correspondant à la solution voulue. Dans ce cas-ci, cette fonction est l'énergie du système. Différentes étapes sont pour cela nécessaires:
- exprimer l'énergie d'un élément en fonction des potentiels en ses noeuds et des fonctions de forme,
(V.2-2) - rechercher l'extrémum de cette fonction en annulant ses dérivées par rapport aux
potentiels aux noeuds, ce qui fait apparaître une matrice [P]élém dépendant des caractéristiques de l'élément (dimensions et propriétés des matériaux):
(V.2-3) - assembler les matrices des différents éléments pour obtenir la matrice du système:
(V.2-4) ∑ = j j j x N x ϕ ϕ( ) ( ) ) ( j élém f W = ϕ
[ ] [ ]
P élém ϕ élém =0[ ][ ]
P ϕ =0V.2 - Simulations numériques par éléments finis: Simulations de champs électromagnétiques II - 130 - exprimer les conditions aux limites, ce qui revient à fixer les potentiels et/ou des
dérivées des potentiels en certains points, faisant apparaître un terme indépendant dans (V.2-4),
- résoudre le système obtenu de manière itérative.
Connaissant la valeur ϕj en chaque noeud, on peut ensuite reconstituer le potentiel en tout point du problème grâce aux fonctions de forme ou en dériver différentes grandeurs comme les champs, l'énergie, etc.
V.2.2 Application aux problèmes quasi-statiques
Dans le domaine quasi-statique, les phénomènes électrique et magnétique restent fondamentalement découplés en raison de l'absence du courant de déplacement dans les équations de Maxwell. Différentes formulations sont donc utilisées suivant les résultats auxquels on s'intéresse.
Problème magnétique 2D
Nous désignons sous ce terme un problème 2D dans lequel on recherche la densité de courant dans un conducteur massif. Lorsque le courant possède une seule composante, supposée selon l'axe z dans nos modèles, on résoud alors un problème en la composante Az du potentiel vecteur magnétique. Dans Mega, l'utilisateur a la possibilité de donner la valeur du courant total sur le conducteur massif ou encore une condition de raccordement à un circuit extérieur (traduite par le programme en une condition sur le potentiel Az ).
Problème électrostatique 2D
Le type de simulation précédent ne tient absolument pas compte des effets capacitifs. Si on désire étudier ces effets, il est nécessaire de recourir à un autre type de formulation utilisant cette fois le potentiel électrique classique V. Sur base d'une telle simulation, il est possible d'obtenir par exemple la capacité parasite d'un enroulement et, du moins dans Mega, de réintroduire ensuite cette valeur sous forme d'un élément localisé dans une simulation de type magnétique.
Problèmes 3D
Les modèles 3D font intervenir des considérations plus complexes, notamment sur le caractère multiplement connexe de certaines parties du modèle. Pour en tenir compte, on utilise des potentiels "modifiés" qui s'écartent quelque peu des définitions classiques de la physique. Les formulations retenues peuvent varier d'un logiciel à l'autre et font d'ailleurs partie du savoir-faire des développeurs. Dans Mega, la formulation 3D fait intervenir différents potentiels suivant les propriétés physiques et la géométrie des éléments. On se reportera pour plus de détails aux manuels d'utilisation qui décrivent les solutions retenues dans chaque cas [223].
V.2.3 Note sur la méthode des différences finies
Dans la méthode des différences finies, on maille également le problème, mais en utilisant uniquement des éléments rectangulaires dont les quatre coins sont des noeuds. Les maillages utilisés sont donc fort différents et amènent davantage de contraintes. La méthode du schéma équivalent électromagnétique, exposée au chapitre précédent (§IV.3), s'apparente à la méthode des différences finies.
Par opposition à la méthode des éléments finis, les équations du problème sont exprimées en écrivant les dérivées du potentiel sous forme incrémentale, c'est-à-dire comme différences entre les valeurs de ce potentiel en des noeuds adjacents, par exemple:
(V.2-5) Exprimer ces conditions pour un problème décrit par une équation de Laplace (∆ϕ=0) revient par exemple à écrire que le potentiel en un noeud vaut la moyenne des potentiels aux quatre noeuds adjacents.
On peut alors également écrire le système sous forme de matrice et faire apparaître des termes indépendants en tenant compte des conditions aux limites. Comme pour les éléments finis, il reste alors à le résoudre par une méthode itérative. Compte tenu des équations de base et des propriétés du maillage, la méthode des différences finies est plutôt utilisée pour les problèmes de propagation.
x y x y x x dx d y x ∆ − ∆ + = ( , ) ( , ) , ϕ ϕ ϕ
V.3 - Simulations numériques par éléments finis: Limites de la méthode des éléments finis II - 132