VI. Analyse 2D des champs par éléments finis

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VI. Analyse 2D des champs par éléments finis

Dans ce chapitre, nous analysons le champ en deux dimensions dans la fenêtre de bobinage au moyen de simulations par éléments finis. L'analyse concerne à la fois la densité de courant et le champ magnétique.

Ce chapitre est de loin le plus imposant. L'étude 2D révèle en effet un grand nombre de phénomènes ou plutôt de variantes de deux phénomènes de base: l'augmentation de la surface conductrice et l'effet de bord. Les paragraphes VI.1 à VI.6 détaillent ces effets en fonction des types de conducteurs et examinent l'influence de divers paramètres de conception tels que le facteur de remplissage, le facteur d'isolation, la forme des conducteurs ou le nombre de couches d'un enroulement. Si toutes les simulations 2D réalisées au cours de la thèse n'ont pu évidemment être présentées, on en trouve ici les échantillons les plus représentatifs.

L'étude est d'abord menée sur des transformateurs théoriques, qui sont sans applications directes mais mettent en évidence les différents phénomènes. Elle est complétée au §VI.7 par une série de simulations réalisées en vue de dimensionner un transformateur multisorties de 600W destiné à une alimentation existante. Quelques notions supplémentaires et problèmes particuliers sont présentés lors de cette application à un cas réel.

Enfin le point VI.8 expose une première série de vérifications expérimentales confrontant mesures et simulations. On y découvre à quel point la méthode des éléments finis peut se révéler un outil d'analyse précis et fiable.

Plan du chapitre

VI.1 De la première à la seconde dimension ... 137

VI.2 Conducteurs distincts: influence du facteur de remplissage... 144

VI.3 Conducteurs distincts: influence de la forme des conducteurs... 152

VI.4 Effet de bord sur un ruban monocouche ... 166

VI.5 Effet de bord sur un ruban multicouches... 178

VI.6 Effet de bord sur des conducteurs distincts ... 190

VI.7 Dimensionnement 2D d'un transformateur multicouches... 194

VI.8 Confirmations expérimentales ... 210

VI.9 Récapitulatif des effets 2D ... 224

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VI.1 De la première à la seconde dimension

Avant de commencer l'étude du champ 2D dans la fenêtre de bobinage, nous simulons d'abord par éléments finis un transformateur répondant aux hypothèses de Dowell. Nous utilisons en fait une simulation 2D pour résoudre un problème qu'on sait être unidimensionnel: ceci nous permet de présenter une simulation typique et de montrer comment réagit le simulateur dans une situation connue. Nous discutons ensuite brièvement la difficulté de passer d'une analyse du champ à une dimension à une analyse à deux dimensions.

VI.1.1 Simulation de référence Modèle utilisé

Du point de vue géométrique, le transformateur simulé est construit sur la base de deux demi- noyaux E42/21/15. Un exemple d'un tel transformateur a déjà été montré aux Figures I-7 et I-8 (p. 16). La ferrite est considérée comme linéaire avec une perméabilité relative valant 2300.

Le modèle en éléments finis est représenté ci-dessous (Figure II-46) selon les conventions données précédemment au §II.4.1 et en particulier à la Figure II-16 (p. 62). Compte tenu de la symétrie, seule la moitié droite de la fenêtre de bobinage est modélisée. Comme on le voit, chacun des enroulements est formé d'une seule spire de ruban (d'épaisseur 0,4mm) occupant toute la largeur de la fenêtre de bobinage: on observe donc rigoureusement les hypothèses de Dowell. Le modèle possède une longueur unitaire (1m) selon la troisième dimension, perpendiculairement au plan de la figure.

VERIF HYP DOWELL FILE : KARTOUM_34K

1 1

Figure II-46: Modèle utilisé pour la simulation de référence

(rouge: noyau en ferrite; bleu: enroulement primaire; mauve: enroulement secondaire)

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Simulations et résultats

On connecte au primaire une source de courant sinusoïdale et au secondaire une charge de très faible valeur équivalant à un court-circuit. Cette situation ne représente pas les conditions réelles existant au sein d'un convertisseur (onde non sinusoïdale et charge inductive). Elle constitue néanmoins une bonne référence puisque d'une part la fréquence de la source peut être variée pour étudier les différentes harmoniques constituant l'onde réelle

¹⁶

, et d'autre part le court-circuit implique qu'il y a transfert de la puissance du primaire vers le secondaire, conformément à la fonction première d'un transformateur. Cette situation de référence est d'ailleurs celle utilisée par Dowell dans son étude, le primaire et le secondaire pouvant chacun être assimilés à une "portion d'enroulement" (voir §III.1.1).

Pour différentes fréquences, on relève séparément les pertes au primaire et au secondaire, calculées par l'intégrale de J

²

/σ sur le volume du conducteur (valeur fournie par Mega). La première fréquence (X=0,1) est choisie suffisamment basse pour que la densité de courant soit uniforme, ce qu'on vérifie après avoir réalisé la simulation. Elle donne donc la valeur des pertes correspondant à F

R

=1. Par quotient des pertes par rapport à cette référence, on trouve la valeur de F

R

aux fréquences plus élevées. On travaille en effet toujours par comparaison, la valeur absolue des pertes étant difficile à exploiter. Le tableau ci-dessous présente les résultats obtenus:

F

R

f (kHz) X Dowell (1D) Mega (2D)

0,086 0,1 1,00 1,00 (réf.)

8,55 1 1,09 1,09

34,0 2 1,89 1,89

135,5 4 4,00 4,00

855 10 10,00 10,13

Tableau 4: Augmentation de résistance d'un modèle 2D

respectant les hypothèses de Dowell

Comme on peut le voir, le simulateur reproduit exactement (à 1% près) les résultats prévus par la théorie 1D, et ce sur toute la gamme de fréquence. Ceci constitue une première validation des résultats fournis par Mega, qui devra bien entendu être confirmée par la suite lorsque les effets 2D seront davantage présents.

Analyse des champs

Les Figures II-47 à II-49 montrent respectivement les résultats des simulations réalisées à X=1, X=2 et X=4. La densité de courant est représentée en couleur dans chaque conducteur (les échelles de couleur, qui se trouvent à droite des figures, ne sont pas identiques d'une simulation à

16

Rappelons que les pertes cuivre peuvent être calculées séparément pour chaque harmonique et sommées

(4)

l'autre). Les flèches blanches représentent le champ d'induction. L'analyse appelle les remarques suivantes:

- le champ d'induction

¹⁷

est conforme à l'analyse faite précédemment (Figure II-18, p.

64): on voit très nettement le flux de fuite quittant le noyau et passant entre les conducteurs dans la fenêtre de bobinage. Entre les conducteurs et la ferrite par contre, le champ est négligeable.

- à X=1, la densité de courant (en couleur) est quasiment uniforme sur la section des conducteurs. Les courants sont de sens opposés (comme l'indique l'échelle de couleurs), ce qui est cohérent avec les lois de base de l'électromagnétisme. Lorsque la fréquence augmente (X=2 et X=4), on voit très clairement le courant se concentrer du côté du conducteur le plus proche du flux de fuite (la couleur mauve représentant ici une densité de courant faible ou négligeable).

- on remarque que le champ d'induction

¹⁸

et la densité de courant sont rigoureusement unidimensionnels dans la fenêtre de bobinage quelle que soit la fréquence, ce qui montre que l'hypothèses de Dowell se justifie pleinement pour ce modèle.

1

[GV] B @ 0. DEG [GV] B @ 0. DEG [CC_NA] : [GS] JZ @ 0. DEG [CC_NA] : [GS] JZ @ 0. DEG

-372.94 -343.11 -313.28 -283.46 -253.63 -223.80 -193.98 -164.15 -134.33 -104.50 -74.672 -44.846 -15.019 14.807 44.633 74.460 104.29 134.11 163.94 193.77 223.59 253.42 283.25 313.07 342.90 372.72 x103 VERIF HYP DOWELL

FILE : KARTOUM_34K

Figure II-47: Champ d'induction et densité de courant à X=1

(le trait interrompu indique la coupe suivie aux Figures II-50 et II-51)

17

La convention utilisée pour représenter un vecteur est la suivante: Mega affiche dans chaque maille une flèche dont la surface est proportionnelle à la quantité représentée (ici le module de B). Une concentration de flèches n'indique donc pas un champ plus élevé, contrairement à l'impression visuelle, mais un maillage plus fin.

18

Par abus de langage, lorsque nous parlerons dans la suite du "champ", il s'agira du champ magnétique dans la

Commentaire [U6] : picture:

KARTOUM0.eps

(5)

1

FILE : KARTOUM_34K

1

FILE : KARTOUM_34K

Commentaire [U7] : (Kartou m1.eps)

Commentaire [U8] : (Kartou m2.eps)

(6)

Ces figures peuvent être complétées par les graphes de la densité de courant et du champ magnétique suivant une coupe verticale (représentée à la Figure II-47) dans la fenêtre de bobinage.

Ces graphes sont conformes aux analyses théoriques réalisées dans les chapitres précédents

¹⁹

: - la densité de courant (Figure II-50), d'abord uniforme à basse fréquence, se concentre

sur un côté des conducteurs lorsque la fréquence augmente. Elle y atteint une valeur maximale beaucoup plus élevée qu'à basse fréquence. On peut observer une inversion du signe de J (voir §II.2.4) pour X=4 et X=10.

- le champ magnétique (Figure II-51), de signe négatif compte tenu de la direction de l'axe x, reste identique dans l'air quel que soit le modèle (palier horizontal). Dans les conducteurs par contre, il se concentre également dans une zone plus réduite à mesure que la fréquence augmente, ce qui correspond à la diminution de l'inductance de fuite du transformateur expliquée au §II.3.2.

1

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 x10-2

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 x10-2

VERIF HYP DOWELL

1

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2

x10-3 -4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 x106

X - AXIS

Y - AXIS

JZ @ X=1 JZ @ X=2 JZ @ X=4 JZ @ X=10

Figure II-50: Evolution de la densité de courant (selon la coupe

verticale dans la Figure II-47) en fonction de la fréquence

19

Dans tous les graphes tirés de Mega, les chiffres indiqués sont exprimés en unités M.K.S. La densité de courant est

primaire secondaire

Commentaire [U9] : (Kartou mJZ.eps)

(7)

1 1

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2

x10-3 -270

-240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30

X - AXIS

Y - AXIS

HX @ X=1 HX @ X=2 HX @ X=4 HX @ X=10

Figure II-51: Evolution du champ magnétique (selon la coupe

verticale dans la Figure II-47) en fonction de la fréquence

Conclusion

En simulant en 2D dans Mega un transformateur observant les hypothèses du modèle 1D, on constate que l'accord est excellent avec les résultats analytiques de Dowell. Plusieurs effets correspondant exactement à ceux attendus peuvent être observés. On constate en particulier que le champ est effectivement purement unidimensionnel dans la fenêtre de bobinage. Nous utiliserons ce modèle comme base de comparaison pour les simulations ultérieures.

VI.1.2 Analyse en deux dimensions

Dans la suite de ce chapitre, nous ferons varier la géométrie du modèle précédent pour le rapprocher des transformateurs réels. Nous envisagerons de nombreux types de conducteurs différents et passerons de ce fait d'un champ unidimensionnel à un champ bidimensionnel.

Analyser le champ 2D n'est pas facile pour la simple raison qu'on augmente considérablement le nombre de variables à étudier. Le premier problème est que les possibillités géométriques sont virtuellement infinies de par les types de conducteurs, le nombre de couches, d'enroulements, la disposition de ceux-ci, etc. Le second problème est de caractériser le champ 2D: alors que précédemment il suffisait de donner le profil des champs selon une coupe verticale dans la fenêtre de bobinage, il faut maintenant considérer le champ partout dans la fenêtre. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle nous ferons abondamment usage de la couleur: celle-ci est indispensable pour représenter l'information livrée par la simulation.

primaire secondaire

Commentaire [U10] : (Kartou mHX.eps)

(8)

La difficulté est bien réelle et elle explique pourquoi, alors qu'on dispose d'outils performants pour calculer le champ en deux et même en trois dimensions, la plupart des articles se limitent à des études de cas. C'est pourtant d'outils plus généraux dont le concepteur a besoin: que peut-il déduire en effet avec certitude d'un modèle qui ne correspond pas à son transformateur?

Comme on l'a déjà expliqué, notre ambition est donc de dépasser le stade d'un dimensionnement particulier en envisageant trois étapes: d'abord identifier les phénomènes 2D (et 3D ultérieurement), les expliquer ensuite et enfin déterminer comment agir pour les maîtriser.

L'unique solution pour attaquer cette question très vaste consiste à sérier les problèmes en étudiant successivement les différents types d'enroulements.

On verra que cette démarche permet d'obtenir des résultats plus détaillés que ceux présentés

jusqu'ici dans la littérature puisque le présent chapitre se clôt par un inventaire inédit des effets 2D

en fonction des différents types de conducteurs.

(9)

VI.2 Conducteurs distincts: influence du facteur de remplissage

Dans ce chapitre, nous étudions en deux dimensions les champs J et H dus à des couches comportant chacune plusieurs conducteurs distincts. Nous considérons ici des conducteurs en fil rond occupant toute la largeur de la fenêtre de bobinage. Nous analysons donc uniquement l'influence du pas de bobinage (ou encore du facteur de remplissage), par opposition aux points suivants qui étudieront notamment la forme des conducteurs ou la largeur totale de l'enroulement.

VI.2.1 Introduction

Comme nous l’avons expliqué au §III.1.3, la théorie analytique 1D s'applique de manière rigoureuse uniquement à des couches conductrices occupant de manière continue toute la largeur de la fenêtre de bobinage. On sait en effet que dans ce cas le champ est effectivement unidimensionnel, ce que nous venons de vérifier au moyen des simulations dans le paragraphe précédent.

On sait encore que lorsque la couche est formée de conducteurs distincts, Dowell introduit un

"facteur de remplissage" η qui ramène celle-ci à un conducteur unique de même résistance DC occupant toute la largeur de la fenêtre. Nous avons montré au §III.3 qu'il s'agit d'une erreur d'un point de vue théorique. Néanmoins, celle-ci constituant la version la plus répandue de la méthode analytique et donnant finalement de meilleurs résultats qu'une approche plus rigoureuse

²⁰

, nous continuerons à utiliser le facteur de remplissage pour calculer l'augmentation de résistance F

R

. L'application de la méthode 1D au cas des conducteurs distincts repose sur l'hypothèse que, lorsque les conducteurs ne sont pas trop écartés, le problème reste essentiellement unidimensionnel. Lorsque les conducteurs sont plus écartés par contre, cette hypothèse devient douteuse, le champ prenant une allure bidimensionnelle plus marquée. Comme le signalent plusieurs auteurs, la limite à partir de laquelle on ne peut plus considérer que le champ est unidimensionnel n'est pas vraiment définie (voir §III.4.2). Nous essayons ci-dessous de clarifier cette question au moyen des simulations.

VI.2.2 Enroulement monocouche Simulations et résultats

On considère d'abord une série de trois transformateurs dont le primaire est en fil rond (une couche, diamètre

²¹

0,45mm) et le secondaire en ruban (une couche, épaisseur 0,4mm). Le fil rond

20

Le lecteur se rappellera simplement que les écarts que nous mettrons en évidence entre les résultats 2D et les calculs 1D sont encore plus importants si on suit l'approche rigoureuse (notée F

R100%

), c'est-à-dire si on ignore le facteur de remplissage. Un exemple en est donné au Tableau 5.

21

Les conducteurs sont exagérément épais par rapport aux pièces magnétiques réelles, mais cette option permet

d'obtenir facilement un maillage supportant les fréquences élevées sans pour autant mettre en cause la validité du

(10)

est choisi car il correspond à la situation rencontrée le plus souvent en pratique pour un enroulement primaire.

TRANSFORMATEUR A NOYAU DE FERRITE (LINEAIRE) FILE : KRIBI_X0

1

Figure II-52: Un des modèles utilisés (η=59%) pour étudier l'influence du facteur de remplissage

Le pas de bobinage du primaire (et donc également η) varie d'un modèle à l'autre (voir Tableau 5 ci-dessous). La valeur η=78% correspond à un fil très serré et est proche du maximum qu'on peut atteindre avec un fil rond

²²

. Pour éviter de faire intervenir d'autres facteurs que l'espacement des conducteurs, Les enroulements s'étendent sur toute la largeur de la fenêtre de bobinage.

Chaque modèle est simulé en deux dimensions à cinq fréquences différentes. Les conditions de simulation et la méthode utilisée pour obtenir les valeurs de F

R

sont analogues à celles décrites au

§VI.1.1.

Le tableau ci-dessous donne pour chaque modèle la valeur de F

R

relevée au primaire (F

RMEGA

) ainsi que la valeur obtenue par la méthode 1D analytique (F

R1D

). L'écart calculé dans la troisième colonne prend la simulation par éléments finis comme référence puisque celle-ci est supposée représenter plus fidèlement les pertes du transformateur réel. La dernière colonne du tableau donne la valeur F

R100%

, c'est-à-dire la valeur rigoureuse obtenue en ignorant le facteur de remplissage dans la théorie analytique. Cette valeur est évidemment identique pour les trois modèles.

22

Pour du fil rond, le facteur de remplissage est calculé sur base de la largeur de conducteurs carrés équivalents. Des

(11)

η = 78% η = 59% η =39%

X F

R1D

F

RMega

écart F

R1D

F

RMega

écart F

R1D

F

RMega

écart F

R100%

1 1,05 1,05 0,0% 1,03 1,03 0,0% 1,01 1,01 0,0% 1,09 2 1,64 1,61 1,9% 1,40 1,37 2,2% 1,20 1,19 0,8% 1,90

4 3,54 3,51 0,9% 3,07 2,78 10,4% 2,47 2,10 17,6% 4,0

8 7,06 6,98 1,1% 6,12 5,50 11,3% 4,99 4,09 22,0% 8,0

Tableau 5: Variation de FR

en fonction du facteur de remplissage (primaire, une couche de fil rond)

On constate d'abord qu'aux alentours de la fréquence de base, c'est-à-dire pour X=1, la méthode analytique 1D et les simulations donnent des résultats identiques. A cette fréquence, l'épaisseur de peau est en effet de l'ordre du diamètre des conducteurs. On ne s'attend donc pas a priori à des écarts importants, même en présence d'un champ bidimensionnel.

On constate par contre qu'aux fréquences harmoniques (X=4 et X=8) la méthode 1D surestime les pertes obtenues par la simulation 2D. L'écart est d'autant plus grand que les conducteurs sont espacés, avec une différence maximale dépassant 20%. A l'inverse, lorsque les conducteurs sont serrés (trois premières colonnes), l'augmentation de résistance est identique (à 2% près) à celle calculée par la méthode 1D quelle que soit la fréquence.

Enfin la valeur théoriquement correcte (dernière colonne), donnée ici à titre d'information, s'écarte beaucoup plus vite des résultats de simulation que la valeur habituelle utilisant le facteur de remplissage. Ici aussi, l'écart est d'autant pus grand que la fréquence est élevée et les conducteurs écartés. Il atteint dans le tableau une valeur maximale de 96%. Ce dernier chiffre montre bien que la présence du facteur de remplissage, même si elle découle d'une erreur, permet d'étendre nettement le domaine de validité réel de la théorie 1D. Il montre également l'importance des effets 2D sur les pertes dans les conducteurs distincts.

Analyse des simulations

L'écart entre les méthodes 1D et 2D aux fréquences harmoniques, qui s'est fidèlement reproduit dans d'autres simulations, peut être facilement expliqué. On voit en effet sur les Figure II-53 (η=78%) et Figure II-54 (η=59%) que le champ magnétique et la densité de courant ont tendance à épouser le contour des conducteurs ronds (repère "A"). Cet effet est d'autant plus marqué que les conducteurs sont espacés: le champ "descend" plus facilement entre les conducteurs lorsqu'ils sont distants (repère "B"). Corollairement le courant se répartit sur une surface effective plus grande lorsque les conducteurs s'espacent, comme le montrent encore les Figures II-55 et II-56.

De cette propriété résulte le fait qu'aux fréquences harmoniques le facteur F

R

obtenu en simulation (2D) est plus faible que selon un calcul 1D.

Commentaire [U11] : Le modèle MBAL, où on varie la distance entre les deux couches, donne des résultats virtuellement identiques.

Commentaire [U12] : Modèles nsim, kribi, vitep

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TRANSFORMATEUR A NOYAU DE FERRITE (LINEAIRE) FILE : NSIM_X0

1

-4.8436 -4.3843 -3.9250 -3.4657 -3.0065 -2.5472 -2.0879 -1.6286 -1.1694 -0.7101 -0.2508 0.2085 0.6677 1.1270 1.5863 2.0455 2.5048 2.9641 3.4234 3.8826 4.3419 4.8012 5.2605 5.7197 6.1790 6.6383 x106 TRANSFORMATEUR A NOYAU DE FERRITE (LINEAIRE)

FILE : NSIM_X0

Figure II-53: Densité de courant dans des conducteurs distincts (une couche, η=78%)²³

1

FILE : KRIBI_X0

Figure II-54: Densité de courant dans des conducteurs distincts (une couche, η=59%)

A B

Commentaire [U13] : Nsim3.e ps

Commentaire [U14] : Kribi3.e ps

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Figure II-55: Courbes "iso-J" pour η=78% (à gauche) et η=39% (à droite)

La figure ci-dessus compare la densité de courant, représentée sous forme de courbes où son module est constant (courbes "iso-J"), pour deux pas de bobinage différents. Conformément aux figures précédents, la densité de courant est plus élevée dans la partie supérieure du conducteur.

Comme le schématise la Figure II-56 ci-dessous, on constate que la densité de courant a tendance à se répartir sur une surface plus grande lorsque les conducteurs sont écartés, ce qui s'accompagne d'une allure bidimensionnelle plus marquée du champ magnétique ainsi que finalement d'une diminution des pertes par rapport au cas purement unidimensionnel.

Conducteurs proches

Conducteurs distants

B B

Surface conductrice

Figure II-56: Comparaison du champ et de la densité

de courant en 2D en fonction du facteur de remplissage

C'est cet effet qui est partiellement compensé par le facteur de remplissage. Celui-ci, en altérant la valeur de la profondeur de peau (ce qui diminue la valeur de F

R

par rapport à la valeur rigoureuse F

R100%

) "rattrape" la majeure partie de l'écart qu'on devrait normalement observer vis-à-vis des simulations. La correspondance obtenue est cependant fortuite puisque des écarts réapparaissent entre F

R1D

et F

RMEGA

lorsque les conducteurs sont plus écartés (η=39%)

1

[CC_NA] : [GS] JZ @ 0. DEG [CC_NA] : [GS] JZ @ 0. DEG TRANSFORMATEUR A NOYAU DE FERRITE (LINEAIRE)

FILE : NSIM_X0

1

[CC_NA] : [GS] JZ @ 0. DEG [CC_NA] : [GS] JZ @ 0. DEG

Commentaire [U15] : Nsimc.e ps and Kribic.eps

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VI.2.3 Enroulement multicouches Simulations et résultats

Une seconde série de trois transformateurs, dont le primaire comporte cette fois trois couches de fil rond, est simulée. La présence de plusieurs couches de fil rond dans un même enroulement est rare dans les transformateurs de puissance. On rencontre par contre une situation proche dans les transformateurs planaires, qui utilisent souvent un circuit imprimé multicouches en guise d'enroulements. Les pistes de celui-ci, de section rectangulaire ou plus exactement trapézoïdale (en raison des contraintes de fabrication), constituent les conducteurs. L'utilisation du fil rond nous permet ici d'étudier une situation analogue, par comparaison avec les simulations précédentes.

η = 78% η = 59% η =39%

X F

R1D

F

RMega

écart F

R1D

F

RMega

écart F

R1D

F

RMega

écart F

R100%

1 1,58 1,41 12,1% 1,33 1,29 3,1% 1,15 1,14 0,9% 1,94

2 7,85 6,80 15,4% 5,39 4,86 10,9% 3,17 2,88 10,1% 10,6

4 23,86 21,03 13,5% 20,84 16,89 23,4% 16,09 10,28 56,5% 26,4 8 44,65 40,31 10,8% 38,63 33,81 14,3% 31,88 21,89 45,6% 50,6

Tableau 6: Pertes en fonction du facteur de remplissage (primaire, trois couches de fil rond)

Les résultats de simulation (Tableau 6) montrent cette fois que des écarts de plus de 50% sont atteints entre la valeur donnée par la méthode analytique 1D (utilisant le facteur de remplissage:

F

R1D

) et celle tirée des simulations (F

RMEGA

). L'écart varie comme précédemment en fonction du facteur de remplissage, mais il devient cette fois significatif même lorsque les conducteurs sont serrés. La variation en fréquence est un peu plus complexe puisqu'on observe une diminution de l'écart aux fréquences les plus élevées.

Les écarts aux alentours de la fréquence de base s'expliquent par le fait qu'on a cette fois un effet de proximité qui apparaît entre les différentes couches du même enroulement (voir §II.4.3). A cette fréquence, les non-uniformités qui n'étaient pas visibles pour un enroulement monocouche deviennent cette fois plus marquées.

Aux fréquences harmoniques, l'analyse de la densité de courant (Figure II-57) n'explique pas complètement l'importance des écarts observés. Le caractère bidimensionnel du champ est bien visible, mais il faudrait s'attendre, par rapport à un enroulement monocouche, au fait que la surface conductrice augmente plus rapidement encore lorsqu'on écarte les conducteurs. Cet effet n'est pas flagrant sur les figures. Le facteur F

R

englobe cependant cette fois le profil de densité de courant dans les trois couches et la répartition 2D du champ dépend elle-même également de l'ensemble des couches. Ayant choisi de ne pas pousser plus loin l'analyse de ce phénomène, nous en retenons seulement le fait que les écarts observés sont nettement plus importants pour les enroulements multicouches.

Commentaire [U16] : Modèles johan, sucre, minsk

(15)

Par ailleurs, on remarquera sur la Figure II-57 l'effet de proximité déjà signalé précédemment dans cette situation (§II.4.3): on constate clairement la présence de deux courants opposés (voir "C" et l'échelle des couleurs) dans les deuxième et troisième couches de l'enroulement en fil rond.

TRANSFORMATEUR A NOYAU DE FERRITE (LINEAIRE) FILE : MINSK_X0

1

FILE : MINSK_X0

Figure II-57: Densité de courant dans des conducteurs distincts (trois couches, η=39%)

TRANSFORMATEUR A NOYAU DE FERRITE (LINEAIRE) FILE : MINSK_X0

TRANSFORMATEUR A NOYAU DE FERRITE (LINEAIRE)

1

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2

x10-3 -0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x108

X - AXIS

Y - AXIS

Figure II-58: Densité de courant dans les conducteurs

(selon la coupe verticale indiquée dans la figure précédente)

C

couche 1 couche 2 couche 3

secondaire

Commentaire [U17] : Minsk3.

eps

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VI.2.4 Conclusion

Les simulations montrent que, par rapport à un bobinage en ruban (§VI.1.1), l'utilisation de conducteurs ronds distincts provoque l'apparition d'un champ bidimensionnel (donc d'une composante orthogonale du champ) même si l'enroulement occupe toute la largeur de la fenêtre de bobinage. Cet effet 2D est d'autant plus marqué que les conducteurs sont écartés.

Aux fréquences harmoniques, on constate corollairement une augmentation de la surface conductrice entraînant une diminution de la valeur de F

R

par rapport au cas 1D, qui ignore toute composante orthogonale du champ. Le facteur de remplissage, quoique sans fondement théorique, introduit par rapport au résultat 1D rigoureux (F

R100%

) une erreur numérique masquant la majeure partie de l'écart qu'on devrait normalement observer vis-à-vis des simulations. Toutefois la discordance répparaît lorsque le champ bidimensionnel s'accentue encore (conducteurs plus écartés, enroulements multicouches, etc).

Si l'on désire établir un critère de validité, on remarque que pour une couche conductrice possédant un facteur de remplissage d'environ 60% (ce qui correspond à des conducteurs encore fort serrés), les écarts sont encore peu significatifs (environ 10% des pertes) du point de vue du dimensionnement de l'enroulement. On n'a cependant examiné que la situation où le champ est nul d'un côté de la couche. Or l'analyse en multicouches laisse supposer des écarts plus importants pour un enroulement pris entre deux champs non nuls. Le critère de Carsten (considérer que le calcul 1D n'est pas valable pour η<67%

[23]

) semble donc assez bien choisi si on se limite à une seule couche de conducteurs. Pour des enroulements multicouches, on constate par contre des écarts beaucoup plus importants, même pour des conducteurs serrés et éventuellement dès la fréquence de base.

Dans le cas d'un dimensionnement précis, on recourra donc uniquement à un calcul 1D si les conducteurs sont très serrés et n'occupent qu'une seule couche, cas où le champ est effectivement unidimensionnel. Dans les autres cas, il sera plus sage de recourir à une simulation 2D. On remarquera cependant que le calcul 1D, pour des conducteurs ronds, surestime systématiquement les pertes. En l'utilisant à tort, on aboutit donc ici à un dimensionnement non optimal mais sans conséquence nuisible au fonctionnement du transformateur.

Rappelons encore que l'analyse réalisée ci-dessus, qui sera quelque peu affinée pour tenir compte

de la forme des conducteurs dans le point suivant, suppose toujours que les couches conductrices

occupent toute la largeur de la fenêtre de bobinage.

(17)

VI.3 Conducteurs distincts: influence de la forme des conducteurs

Dans le point précédent, nous avons analysé la validité de la théorie 1D appliquée à des conducteurs ronds plus ou moins écartés. Cette étude nous a permis de mettre en évidence l'existence d'un champ bidimensionnel dans la fenêtre de bobinage et son influence possible sur les pertes. Revenons maintenant quelque peu en arrière pour résoudre une question soulevée au

§III.1.3 qui nous amènera à discuter l'influence de la forme des conducteurs.

VI.3.1 Introduction

Les simulations précédentes confirment l'intuition selon laquelle un problème peut être considéré comme unidimensionnel lorsque les conducteurs sont proches (et occupent toute la largeur de la fenêtre de bobinage). On conçoit en effet facilement dans ce cas que la valeur de F

R

est identique pour des conducteurs distincts rectangulaires et pour un conducteur unique en ruban. En pratique, on a cependant souvent affaire à des conducteurs ronds qu'on assimile couramment à des conducteurs carrés de section équivalente

²⁴

.

Nous attirons l'attention sur le fait que cette seconde équivalence n'est pas du tout triviale.

Considérons en effet que le problème est purement unidimensionnel. Si la profondeur de peau est petite par rapport à l'épaisseur des conducteurs (cas des harmoniques), on ne peut absolument pas soutenir que les sections conductrices sont comparables dans un fil rond et dans un fil carré (Figure II-59). Les résistances DC étant identiques, on obtiendrait donc en haute fréquence deux valeurs de F

R

différentes, ce qui remet en cause l'équivalence rond/carré.

B B

δ δ

Figure II-59: En haute fréquence, les sections conductrices

d'un fil rond et d'un fil carré ne sont pas identiques

Celle-ci est pourtant couramment d'application. Nous soupçonnons en fait beaucoup d'auteurs d'être passés un peu rapidement sur ce point: mis à part Evans citant simplement le fait que cette équivalence n'introduit pas d'erreur significative

[59]

, elle n'a à notre connaissance jamais été discutée. Nous nous proposons de le faire en recourant à la simulation par éléments finis, en commençant par le cas des conducteurs serrés.

(18)

VI.3.2 Equivalence rond/carré (conducteurs serrés)

On compare deux transformateurs dont le primaire est pour l'un en fil rond (diamètre 0,72mm) et pour l'autre en fil carré de section équivalente. Nous distinguons les deux modèles par les symboles "{" et "". Dans les deux cas, le pas de bobinage du primaire est identique et correspond à des conducteurs serrés (η=78%). Le secondaire est en ruban et les enroulements occupent toute la largeur de la fenêtre de bobinage (Figures II-60 et II-61).

EQUIVALENCE ROND/CARRE FILE : ANKARA_X1

1

Figure II-60: Un modèle de transformateur à conducteurs ronds serrés (η=78%)

EQUIVALENCE ROND/CARRE FILE : ISTANB_X1

1

(19)

Chaque modèle est simulé à quatre fréquences différentes, dans des conditions analogues aux simulations précédentes. Le tableau ci-dessous présente les résultats obtenus.

pertes au primaire (W) pertes au secondaire (W)

X f (kHz) modèle { Modèle modèle { modèle

0,1 0,1056 0,210 0,209 0,162 0,162

1 10,56 0,220 0,220 0,176 0,176

3,16 105,4 0,573 0,573 0,515 0,515

10 1056 1,82 1,83 1,65 1,65

Tableau 7: Equivalence rond/carré (conducteurs serrés): pertes dans les enroulements

On en retire les constatations suivantes:

- les pertes au secondaire sont exactement identiques entre les deux modèles. Le type de conducteurs du primaire (rond ou carré) n'influence donc pas les pertes au secondaire.

Cette observation se généralise pour deux enroulements dans les simulations ultérieures, ce qui est un enseignement important.

- au primaire, on constate également un accord presque parfait entre les deux modèles (moins de 1% d'écart), et ce sur toute la gamme de fréquence. A la fréquence de base, ce résultat était attendu: les aires sont identiques et la densité de courant est quasiment uniforme. Aux fréquences harmoniques, c'est plus étonnant puisqu'a priori les sections conductrices ne sont pas identiques.

Comme précédemment, on calcule sur base de ces résultats l'augmentation de résistance F

R

du primaire et du secondaire. Le tableau est complété par la valeur donnée par un calcul 1D.

F

R

primaire F

R

secondaire

X 1D Mega Mega { 1D Mega Mega {

0,1 1,00 1,00 (réf.) 1,00 (réf.) 1,00 1,00 (réf.) 1,00 (réf.) 1 1,05 1,05 1,05 1,09 1,09 1,09

3,16 2,79 2,74 2,73 3,17 3,18 3,18

10 8,83 8,76 8,67 10,0 10,2 10,2

Tableau 8: Equivalence rond/carré (conducteurs serrés): augmentation de résistance FR

On en retire deux constatations supplémentaires:

- la valeur de F

R

au secondaire obtenue par simulation correspond à 2% près à la valeur proposée par Dowell. Ce résultat est logique puisque le secondaire respecte exactement les hypothèses de la théorie 1D.

- pour le primaire (conducteurs distincts), on constate également un très bon accord entre la théorie 1D et les simulations des deux modèles. Cet accord prouve que les équivalences réalisées sont justifiées dans ce cas, c'est-à-dire que ces modèles peuvent bien être assimilés globalement à des problèmes unidimensionnels.

Commentaire [U18] : Le modèle CASAB (deux enroulements de 4 fils ronds) confirme la validité de Dowell à 3-4% près pour un facteur de remplissage de 0.818.

(20)

Au vu de ces résultats, on ne peut que conclure que les trois types de calcul se correspondent très bien et que l'approximation des conducteurs ronds serrés par des conducteurs carrés est tout-à-fait valable. On ne possède cependant toujours pas de justification précise de ce si bon accord.

Analyse de la densité de courant

Comparons plus finement la densité de courant dans les conducteurs (Figures II-62 à II-67: les graphiques d'une même page utilisent une échelle de couleurs commune):

- pour X=3,16, on remarque que la densité de courant maximale est un peu plus élevée pour les conducteurs ronds mais se concentre sur une plus petite surface ("D"). Dans les deux modèles, la répartition de J est globalement unidimensionnelle (ce qui se traduit par le dégradé uniquement vertical des couleurs).

- à X=10, la valeur maximale de la densité de courant est également plus élevée pour les conducteurs ronds. De plus, un caractère bidimensionnel, à nuancer selon la forme de la section apparaît dans la distribution de J. Dans les deux cas, la densité de courant a tendance a épouser le contour de la section (comme constaté au §VI.2), dégradant le caractère unidimensionnel qu'on percevait bien à X=3,16. Cependant, si pour les conducteurs ronds le maximum de J se situe au sommet de la section ("E"), la densité de courant se concentre au contraire aux deux coins de celle-ci dans les conducteurs carrés ("F"). On constate donc que les sections effectivement conductrices ne sont pas géométriquement identiques (ni par la forme ni par la répartition de J) mais ont des aires très proches.

On peut compléter cette analyse par le relevé de la densité de courant (pour X=3,16 par exemple:

Figure II-68) selon les coupes indiquées aux Figures II-66 et II-67. On constate, conformément à ce qui a été dit ci-dessus:

- que la valeur maximale est légèrement plus élevée pour les conducteurs ronds (courbe mauve, partie gauche de la figure),

- que pour le conducteur carré, la valeur moyenne de la densité de courant est plus élevée au bord (courbe verte) qu'au centre du conducteur (courbe rouge).

- accessoirement qu'au secondaire (à droite de la figure) les profils de J se correspondent

très exactement, confirmant que le type de conducteurs du secondaire n'influence pas

les pertes au primaire.

(21)

1 EQUIVALENCE ROND/CARRE

-2.7376 -2.4802 -2.2229 -1.9655 -1.7082 -1.4508 -1.1935 -0.9361 -0.6788 -0.4214 -0.1641 0.09325 0.3506 0.6079 0.8653 1.1226 1.3800 1.6373 1.8947 2.1520 2.4094 2.6667 2.9241 3.1814 3.4388 3.6961 x106 EQUIVALENCE ROND/CARRE

FILE : ANKARA_X1

Figure II-62: Densité de courant dans les conducteurs ronds à X=1

1

FILE : ISTANB_X1

Figure II-63: Densité de courant dans les conducteurs carrés à X=1

(22)

VERIF HYP DOWELL FILE : ANKARA_X3

1 EQUIVALENCE ROND/CARRE

-8.4928 -7.7274 -6.9620 -6.1966 -5.4312 -4.6658 -3.9004 -3.1350 -2.3696 -1.6042 -0.8388 -0.07345 0.6919 1.4573 2.2227 2.9881 3.7535 4.5189 5.2843 6.0497 6.8151 7.5805 8.3458 9.1112 9.8766 10.642 x106 EQUIVALENCE ROND/CARRE

FILE : ANKARA_X3

Figure II-64: Densité de courant dans les conducteurs ronds à X=3,16

VERIF HYP DOWELL FILE : ISTANB_X3

1

-8.4928 -7.7274 -6.9620 -6.1966 -5.4312 -4.6658 -3.9004 -3.1351 -2.3697 -1.6043 -0.8389 -0.07349 0.6919 1.4573 2.2227 2.9881 3.7535 4.5189 5.2843 6.0496 6.8150 7.5804 8.3458 9.1112 9.8766 10.642 x106 VERIF HYP DOWELL

FILE : ISTANB_X3

Figure II-65: Densité de courant dans les conducteurs carrés à X=3,16

D

(23)

1

FILE : ANKARA_X10

Figure II-66: Densité de courant dans les conducteurs ronds à X=10

1

FILE : ISTANB_X10

Figure II-67: Densité de courant dans les conducteurs carrés à X=10

E

F

(24)

VERIF HYP DOWELL FILE : ANKARA_X3

1 1

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2

x10-3 -0.9

-0.6 -0.3 0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 x107

X - AXIS

Y - AXIS

COND. ROND (CENTRE) COND. CARRE (CENTRE) COND. CARRE (BORD)

Figure II-68: Comparaison des densités de courant à X=3,16 en différents points des modèles

Conclusion

De cette analyse rapide, correspondant également à des simulations ultérieures, nous concluons que si les pertes sont identiques quelle que soit la fréquence dans un conducteur rond et dans un conducteur carré, c'est en quelque sorte de manière fortuite. Une analyse par éléments finis montre en effet deux effets apparaissant lorsque l'épaisseur de peau est plus petite que les dimensions du conducteur (harmoniques):

- la densité de courant maximale est plus élevée dans le conducteur rond que dans le conducteur carré équivalent,

- par rapport à la solution 1D présumée de la Figure II-59 (p. 152), un effet bidimensionnel local augmente la section conductrice d'un conducteur rond et réduit celle d'un conducteur carré, ramenant les sections à des aires à peu près identiques.

Il est difficile de chiffrer l'impact de chacun des effets sur la valeur de F

R

dans les deux modèles.

On ne peut que constater que les pertes sont très proches dans les deux cas et les modèles virtuellement équivalents, sans qu'un effet unidimensionnel puisse suffire à expliquer cette égalité.

L'analyse de l'équivalence rond/carré lorsque les conducteurs sont plus écartés, qui fait l'objet du

paragraphe suivant, permet de préciser encore ces constatations.

(25)

VI.3.3 Equivalence rond/carré (conducteurs écartés) Simulations

Pour compléter l'étude précédente, nous comparons la validité de l'équivalence rond/carré pour des conducteurs plus distants. Les modèles utilisés sont analogues à ceux du point précédent. Le tableau ci-dessous récapitule les résultats obtenus. L'écart par rapport à la théorie 1D est indiqué entre parenthèses.

F

R

primaire

η = 78% η = 62% η =47%

X 1D Mega Mega { 1D Mega Mega { 1D Mega Mega {

2 1,64 1,61 (-1,8%)

1,59 (-3,0%)

1,44 1,43 (-0,7%)

1,41 (-2,1%)

1,27 1,28 (+0,8%)

1,26 (-0,8%) 4 3,53 3,44

(-2,5%)

3,45 (-2,3%)

3,15 2,99 (-5,1%)

2,91 (-7,6%)

2,72 2,47 (-9,2%)

2,37 (-12,9%) 10 8,84 8,73

(-1,2%)

8,64 (-2,3%)

7,89 7,59 (-3,8%)

7,21 (-8,6%)

6,83 6,30 (-7,8%)

5,84 (-14,5%)

Tableau 9: Equivalence rond/carré (conducteurs écartés): augmentation de résistance

Il apparaît clairement dans ce tableau que la formule 1D surestime les pertes d'autant plus fortement que les conducteurs sont espacés. Cette constatation est identique à celle déjà faite précédemment pour les conducteurs ronds. Mais on constate que l'erreur est une fois et demie à deux fois plus élevée pour des conducteurs ronds que pour des conducteurs carrés équivalents.

Ces résultats quantitatifs doivent être pris avec précaution: rien n'indique qu'ils sont transposables tels quels à d'autres transformateurs. Il apparaît néanmoins clairement que les deux géométries ne sont plus équivalentes lorsque les conducteurs sont plus écartés.

Analyse de la densité de courant

Cette discordance peut être attribuée au fait que les surfaces conductrices et les répartitions de courant ne se correspondent plus, comme nous l'avions pressenti initialement. On consultera pour s'en convaincre les Figures II-69 et II-70 (tracées à même échelle de couleurs).

Sur ces figures, on constate à quel point la seconde composante du champ entre les conducteurs a pris de l'importance par rapport au cas des conducteurs serrés. On voit également l'effet sur la densité de courant suivant la forme du conducteur:

- dans les conducteurs ronds, la surface conductrice s'est nettement agrandie (par rapport aux conducteurs serrés du paragraphe précédent, voir Figure II-55, p. 148) et la densité de courant maximale est plus faible (couleur orange) que dans le conducteur carré (couleur jaune). Pour le modèle de la Figure II-69, les pertes à X=10 sont 14,5%

moindres que par un calcul 1D.

Commentaire [U19] : Modèles ankara, istanb, stacruz, rio, brasil, lapaz

(26)

(27)

VERIF HYP DOWELL FILE : BRASIL

1

-4.1420 -3.6710 -3.2000 -2.7290 -2.2580 -1.7870 -1.3160 -0.8450 -0.3740 0.09704 0.5680 1.0390 1.5100 1.9811 2.4521 2.9231 3.3941 3.8651 4.3361 4.8071 5.2781 5.7491 6.2201 6.6911 7.1621 7.6331 x106 VERIF HYP DOWELL

FILE : BRASIL

Figure II-69: Densité de courant²⁵

dans des conducteurs ronds écartés à X=10

VERIF HYP DOWELL FILE : LAPAZ

1

-4.1420 -3.6710 -3.2000 -2.7290 -2.2580 -1.7870 -1.3160 -0.8450 -0.3740 0.09704 0.5680 1.0390 1.5100 1.9811 2.4521 2.9231 3.3941 3.8651 4.3361 4.8071 5.2781 5.7491 6.2201 6.6911 7.1621 7.6331 x106 VERIF HYP DOWELL

FILE : LAPAZ

Figure II-70: Densité de courant dans des conducteurs carrés écartés à X=10

Commentaire [U20] : (Brasil0 .eps)

Commentaire [U21] : (Lapaz 0.eps)

(28)

- dans les conducteurs carrés portant le même courant, la surface conductrice s'est agrandie également (voir aussi Figure II-71 ci-dessous), descendant le long des flancs des conducteurs. Mais la densité de courant maximale, localisée aux deux coins de la section conductrice est plus élevée que dans les conducteurs ronds. Les pertes sont ici seulement 7,8% moindres que par rapport au cas 1D.

Ces différences apparaissant dans la valeur de F

R

en fonction de la forme des conducteurs confirment que l'accord obtenu artificiellement grâce au facteur de remplissage n'est pas rigoureux, mais relève plutôt d'une approximation heureuse.

Figure II-71: Courbes "iso-J" dans les deux modèles (conducteurs écartés)

Conclusion

Comme précédemment (§VI.2), nous pouvons conclure que lorsque les conducteurs sont écartés, le problème ne peut plus être considéré comme unidimensionnel comme le montre le champ magnétique entre les conducteurs. Mais nous pouvons tirer une conclusion supplémentaire: si le caractère bidimensionnel du champ magnétique est comparable pour les conducteurs ronds et pour les conducteurs carrés (le champ "descend" de la même manière entre les conducteurs), l'effet sur la densité de courant et sur les pertes est plus sensiblement différent car la forme du conducteur joue sur la section conductrice. On observe en particulier ce que nous appellerons un "effet de coin"

dans les conducteurs carrés (Figure II-70), qui est évidemment absent dans les conducteurs ronds.

Si l'influence de la forme des conducteurs sur les pertes est relativement peu significative du point de vue du dimensionnement de la pièce, l'analyse est cependant intéressante pour comprendre les phénomènes existant dans la fenêtre de bobinage.

Une fois de plus on constate que, comme pour le facteur de remplissage, une confusion typique est largement répandue: ce n'est pas en égalant la résistance en continu de deux types de conducteurs (ici rond et carré) qu'on assure l'égalité de leurs résistances effectives à plus haute fréquence. Il se fait heureusement dans ce cas-ci que les écarts du point de vue des pertes entre des conducteurs

VERIF HYP DOWELL FILE : BRASIL

1

VERIF HYP DOWELL VERIF HYP DOWELL FILE : LAPAZ

1

Commentaire [U22] : (Brasil2 .eps et Lapaz2.eps)

(29)

VI.3.4 Synthèse concernant les conducteurs distincts

En ce qui concerne les enroulements formés de conducteurs distincts et occupant toute la largeur de la fenêtre de bobinage (§VI.2 et §VI.3), on peut finalement tirer les conclusions suivantes.

Pour des conducteurs proches ou écartés répartis sur une seule couche, seul un effet aux fréquences harmoniques est à redouter. A la fréquence de base en effet, l'épaisseur de peau est de l'ordre de la hauteur du conducteur et la densité de courant est donc quasiment uniforme sur leur section, quelle que soit la forme de celle-ci

²⁶

.

Lorsque les conducteurs sont proches, le champ et la distribution de courant sont essentiellement unidimensionnels dans tous les cas. Un calcul 1D donne des résultats tout-à-fait valables et équivalents à ceux d'une simulation 2D. En particulier, on peut remplacer des conducteurs ronds par des conducteurs carrés de section équivalente sans commettre d'erreur significative. Les simulations ont cependant montré que seule une analyse 2D justifie cette équivalence.

Lorsque les conducteurs sont plus écartés, le champ prend une allure 2D marquée. Par rapport aux conducteurs serrés, il en résulte une augmentation de la surface conductrice et donc une diminution de la valeur de F

R

. La valeur précise de cette diminution dépend de la forme des conducteurs. Elle est la plus élevée pour des conducteurs ronds (absence de coins, où l'on observe une concentration du champ). Pour citer un ordre de grandeur, signalons qu'on observe déjà des effets 2D pleinement développés lorsque le pas de bobinage vaut le double de la hauteur des conducteurs.

Lorsque les enroulements comportent plusieurs couches, les écarts entre calcul 1D et calcul 2D sont nettement plus importants. Ils peuvent cette fois être significatifs dès la fréquence de base (et même pour des conducteurs serrés) en raison de l'effet de proximité entre couches qui amplifie la non-uniformité de la densité de courant.

Nous concluons donc qu'il est nécessaire, du moins dans le cadre d'un dimensionnement précis, de recourir à un calcul 2D dès que le facteur de remplissage descend en-dessous de 60% pour une couche de conducteurs (ou éventuellement un peu moins si les conducteurs sont carrés), ou dès que l'enroulement comporte plusieurs couches. Dans le cas contraire, un calcul 1D surestimera probablement les pertes ohmiques dans les enroulements concernés.

26

Cette conclusion ne s'applique cependant que si la largeur de la section est proche de sa hauteur (conducteurs

ronds, carrés, ou légèrement allongés). Dans le cas contraire (largeur beaucoup plus grande que la hauteur), d'autres

effets risquent d'intervenir dès la fréquence de base, ce sur quoi nous reviendrons.

(30)

(31)

VI.4 Effet de bord sur un ruban monocouche

Dans ce point, nous étudions sur toute la gamme de fréquence les pertes dans un enroulement formé d'une seule couche de ruban de largeur inférieure à celle de la fenêtre de bobinage. Le cas des enroulements multicouches est traité dans le point suivant.

VI.4.1 Introduction Problème étudié

Nous étudions typiquement un enroulement formé d'une seule couche de ruban et centré horizontalement dans la fenêtre de bobinage comme celui dessiné à la Figure II-72. On étudie le caractère 2D du champ au voisinage des bords du ruban et son influence sur les pertes.

b

w

Figure II-72: Géométrie typique utilisée pour l'étude de l'effet de bord

Définition du facteur d'isolation

Au §III.4.3, nous avons expliqué en quoi le facteur de remplissage –indépendamment de son absence de justification théorique– est selon nous inapproprié pour décrire des enroulements n'occupant pas toute la largeur de la fenêtre de bobinage. Spécifiquement à cet effet, nous avons introduit le "facteur d'isolation" η

e

, défini de la manière suivante:

(VI.4-1)

Appelons encore "distance d'isolation" l'écart horizontal entre l'enroulement et le noyau, qui vaut:

(VI.4-2)

Le facteur d'isolation reflète la proportion de la largeur de la fenêtre occupée par l'enroulement. Il décroît donc lorsque la distance d'isolation croît.

w

e

b

= b η

2 b b

_e

b

^w

−

=

(32)

VI.4.2 Effet de bord Simulations et résultats

Pour débuter cette étude de l'effet de bord, on simule trois transformateurs composés chacun d'un primaire et d'un secondaire tous deux en ruban. Le facteur d'isolation du primaire varie d'un modèle à l'autre, tandis que le secondaire occupe toujours toute la largeur de la fenêtre. Une fois encore, cette situation n'a pas pour but de représenter la configuration d'enroulements réels (qu'on choisirait plutôt de la même largeur), mais constitue plutôt une situation de référence. Comme précédemment, le transformateur, en court-circuit, est alimenté par une source de courant sinusoïdale dont on fait varier la fréquence.

La partie gauche du tableau ci-dessous (F

RMEGA

) reproduit les augmentations de résistance obtenues en simulation en fonction du facteur d'isolation. On y a ajouté la solution analytique de la simulation de référence (F

R1D

) pour laquelle on sait qu'un calcul 1D donne un résultat exact (voir

§VI.1.1). Dans la partie droite du tableau, on a calculé les écarts par rapport à cette simulation de référence.

F

R1D

F

RMEGA

écart

X η

e

=100% η

e

=85% η

e

=73% η

e

=49% η

e

=85% η

e

=73% η

e

=49%

0,1 1,00 1,00 (réf.) 1,00 (réf.) 1,00 (réf.) 0,0% 0,0% 0,0%

0,3 1,00 - 1,01 1,00 - 1,0% 0,0%

0,5 1,01 - 1,03 1,03 - 2,0% 2,0%

0,7 1,02 - 1,08 1,09 - 5,9% 6,9%

1 1,09 1,12 1,17 1,22 2,8% 7,3% 12%

1,5 1,38 - 1,45 1,51 - 5,1% 9,4%

2 1,90 1,83 1,87 1,90 -3,7% -1,6% 0,0%

4 4,00 3,76 3,71 3,63 -6,0% -7,3% -9,3%

8 8,00 7,50 7,36 7,17 -6,3% -8,0% -10,4%

Tableau 10: Résultats des simulations étudiant l'effet de bord sur un ruban monocouche

(en vert: la théorie 1D surestime les pertes; en rouge: elles les sous-estime)

On peut tirer de ces résultats les tendances suivantes (voir aussi Figure II-73):

- aux alentours de X=1 (fréquence de base), la théorie 1D sous-estime les pertes, - au-delà de X=2 (harmoniques), elle surestime les pertes,

- ces deux effets sont d'autant plus marqués que le facteur d'isolation est faible (donc la distance d'isolation importante).

Ces tendances sont visibles sur le graphique ci-dessous. Les axes étant logarithmiques, on remarquera que des écarts qui paraissent faibles visuellement peuvent être numériquement importants.

Commentaire [U23] : modèles Vostok, Gdansk et Viln