Cours Produit scalaire 1ereS

Ch 9 Produit scalaire 1

S 4

I. Produit scalaire de deux vecteurs ... 1

A. Définition ... 1

B. Propriétés ... 2

C. Identités remarquables ... 3

II. Produit scalaire et projection ... 4

III. Applications du produit scalaire... 6

A. Application aux calculs de forces en physique... 6

B. Applications aux problèmes métriques ... 6

1. Théorème de la médiane ... 6

2. Formule d’Al-Kashi = Théorème de Pythagore généralisé ... 7

C. Application du produit scalaire aux équations de droites et de cercles ... 7

1. Equation de droite... 7

2. Equation de cercles... 8

I. Produit scalaire de deux vecteurs

Intuitivement Intuitivement Intuitivement Intuitivement

Configuration

Produit scalaire

 u .

 v >0

 u .

 v = 0

 u .

 v <0

 u .



v = produit des normes

 u .



v = opposé du produit des

normes On voit donc

que le produit scalaire sert à

…

Le p Le pLe p Le produit roduit roduit roduit scalaire scalaire scalaire scalaire sert sert sert sert à

à à

à caractérisercaractérisercaractériser caractériser les vecteurs les vecteurs les vecteurs les vecteurs orthogonaux orthogonaux orthogonaux orthogonaux....

Avec

 u =

 v, on a .u u 2

ur r r

=

Le produit scalaire sert à calculer des

normes

Les signes vous rappellent-ils une fonction trigonométrique bien connue? Mais si, allez, un effort…

A. Définition Définition :

• Si

 u et



v sont deux vecteurs non nuls, on appelle produit scalaire de

 u par



v, le réel noté

 u .

 v défini par :

 u .



v =

| |

| |

| |

| |

 v)

• Si

 u ou



v est le vecteur nul, alors

 u .

 v = 0.

On distingue ces cas car lorsque

 u ou



v est nul, l’angle (

 u ,



v) n’est pas défini.

Remarque Remarque Remarque Remarquessss: : : :

• Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel et non un vecteur. C’est bien pour cela que cette opération s’appelle produit scalaire car «scalaire» veut dire «nombre, par opposition à vecteur».

• Si A, B et C sont trois points distincts, en posant

 u =

 AB et

 v =

 AC on a :

 AB .

AC = AB × AC × cos   BAC .

ère 2

♠ Exercice 1. (exercice résolu) calculer un angle avec le produit scalaire

♠ Exercice 2. ur et vr

sont deux vecteurs non nuls; on désigne par αune mesure en radian de l’angle (ur

, vr )

a) ur =5

, ur.vr=10

et vv =4

. Déterminerα. b) ur = 3

, ur.vr= 12

et 4

α=π . Déterminer vv .

Cas particulier : vecteurs colinéaires

 u et



v non nuls :

• Si

 u et



v sont de même sens alors cos(

 u,



v) = 1 et

 u .



v =

| |

| |

| |

| |

• Si

 u et



v sont de sens contraire alors cos(

 u,

v) = − 1 et  u .

v = −

| |

| |

| |

| |

B. Propriétés

♠ Exercice 3. Déterminer tous les cas où

 u .

 v = 0.

Et voilà pourquoi on a la définition suivante : Définition: Deux vecteurs

 u et



v sont orthogonaux si l’un des deux est nul ou si leurs directions sont orthogonales.

Propriété : Le produit scalaire

 u .



v est nul si et seulement si

 u et



v sont orthogonaux.

Démonstration :

◊ Si

 u ou



v est le vecteur nul, alors

 u .

 v = 0.

◊ Si

 u et



v sont deux vecteurs non nuls alors | |

u | | ≠ 0 et | | 

v | | ≠ 0, donc  u .

v = 0 ⇔ cos(  u,

 v) = 0

⇔ ( u,



v) a pour mesure principale π 2 ou - π

2 ⇔  u et



v sont orthogonaux.

Propriété : Si

 u 

 x

y et

 v

 x’

y’ dans un repère orthonormé, alors

 u .



v = xx’ + yy’.

Remarque : Ce résultat est indépendant du repère orthonormé choisi.

Démonstration : Si 

 x

y et 

 x’

y’ sont les coordonnées de

 u et



v dans le repère orthonormé (O ;

 i ,



j ) et si

(

)

(

)

sont les coordonnées polaires de

 u et



v dans le repère (O ;

 i ) alors :

 u .



v = rr’cos(

 u,

v) = rr’cos(θ’ - θ) = rr’

(

)

=xx’ + yy’ car x = r cosθ, x’ = r’cos θ’, y = r sin θ et y’ = r’sin θ’.

♠ Exercice 4. Dans chacun des cas suivants, trouver d’une part les vecteurs vr

colinéaires au vecteur ur et de norme 1 et d’autre part les vecteurs wr

orthogonaux au vecteur ur

et de norme 1.

a) 







 2 ur 1

b) 







 α tan ur 1

♠ Exercice (résolu) 5. [Utiliser le produit scalaire pour déterminer si un triangle est rectangle]

Soit A(-2 ; -3), B(1 ; 1), C(-3 ; -1), D(-4 ; 2), E(- 1 ; - 3) et F(2 ; -1) dans un repère orthonormé. Les triangles ABC et FDE sont-ils rectangles en C et E respectivement ?

Propriété : Si

 u,

 v et



w sont des vecteurs du plan et k un réel alors :

•  u .

 v =

 v .



u (le produit scalaire est symétrique)

•  u .  

k



v = k × ^  u .



v et

 u . (

 v +

 w) =

 u .

 v +

 u .



w (le produit scalaire est linéaire)

….et voilà pourquoi il s’appelle produit scalaire: Il a des propriétés qui ressemblent à celles du produit de deux réels (dans le même ordre d’idée, voir aussi les identités remarquables un peu plus bas.).

Remarque ; en utilisant la symétrie du produit scalaire on a aussi : )

. ( ).

(kur vr k urvr

×

= et ur vr wr urwr vrwr . . ).

( + = +

Démonstration : Démontrons que

 u . (

 v +

 w) =

 u .

 v +

 u .

 w . Si 

 x

y , 

 x’

y’ et 

 x’’

y’’ sont les coordonnées de

 u,

 v et

 w dans un repère orthonormé (O ;

 i ,

 j ) alors

 v +



w a pour coordonnées 

 x’ + x’’

y’ + y’’

donc

u . ( v + 

w) = x(x’ + x’’) + y(y’ + y’’) = xx’ + xx’’ + yy’ + yy’’ = (xx’ + yy’) + (xx’’ + yy’’) =  u.

v +  u.

 w.

Les autres propriétés se démontrent de la même façon.

Définition : Si



u est un vecteur du plan,

 u .



u =

| |

| |

Ce nombre est appelé carré scalaire de



u et est aussi noté



u² ( c’est un scalaire, pas un vecteur)

C. Identités remarquables

Le produit scalaire se comporte comme le produit des réels et on a des identités remarquables qui ressemblent aux identités remarquables habituelles :

Identités remarquables : Si

 u et



v sont des vecteurs du plan, on a les égalités suivantes : (

 u +

 v)² =

 u² + 2

 u .

 v +



v² ou

| |



v

| |

| |

| |

 u .



v +

| |

| |

u −  v)² =

u² − 2  u .

 v +



v² ou

| |

v

| |

| |

| |



v +

| |

| |

(

 u +

 v) . (

u −  v) =

u² − 

v² ou (

 u +

 v) . (

u − 

v) =

| |

| |²

| |

| |

ère 4

 u .

 v =1

2



| |

v

| |

| |

| | ² − | |

| |

 u .

 v = 1

2



| |

| |

| |

| |

| |

| |

♠ Exercice (résolu) 6.Calculer un produit scalaire au moyen de distances Soit ABC un triangle tel que AB = 5, AC = 3 et BC = 6. Calculer

 AB .

 AC Solution : | |

 BC | |² = | |

AC −  AB | |² = | |

AC | |² − 2  AC .

 AB + | |

 AB | |² 36 = 9 – 2 × 

AC .



AB + 25 donc

 AC .

AB = − 1

♠ Exercice 7. ur et vr

sont deux vecteurs non nuls ; on désigne par αune mesure en radian de l’angle (ur

,vr

). Sachant que ur vr

= et ur vr ur

= 3

+ , déterminerα.

♠ Exercice 8. Montrer que si ur et vr

sont des vecteurs de même norme alors les vecteurs ur vr + et v

ur r

− sont orthogonaux. Etudier la réciproque.

Application : Caractériser les losanges par une propriété de leurs diagonales.

II. Produit scalaire et projection

♠ Exercice 9. Illustration de la situation

Figure (à faire!) A, B et C1 sont trois points distincts du plan. Soit H le projeté orthogonal de C1 sur la droite (AB). Placer des points C2, C3 et C4 sur la droite (H C1,) et démontrer que

→

AB .

→

A C1 =

→

AB .

→

A C2 =

→

AB .

→

A C3 =

→

AB .

→

A C4 =

→

AB .

→

AH

Théorème : Si A, B et C sont 3 points du plan tel que A ≠ B et A ≠ C et si H est la projeté orthogonal de C sur (AB) alors :

 AB .

 AC =

 AB .

 AH =



AB × AH si H est sur la demi droite

^[

)

− AB × AH si H ∉

^[

)

Visuellement, cela donne :

Si H est sur la demi-droite [AB)

 AB .

 AC =

 AB .



AH = AB×AH

Si H n’est PAS sur la demi-droite [AB)

 AB .

 AC =

 AB .



AH = −AB×AH Démonstration :

 AB .

 AC =

 AB . (

 AH +

 HC) =

 AB .

 AH +

 AB .

 HC =

 AB .



AH car

 AB et



HC sont orthogonaux

 AB et

AH sont colinéaires de même sens si H ∈ [AB) et de sens contraire sinon, d’où le résultat.

H B

C A

H B

C

A

♠ Exercice (résolu) 10. [Produit scalaire et projection orthogonale]: ABC est un triangle équilatéral de côté 2. Soit H le milieu de [BC]. Calculer 

BA .

 BC et

→

AB .

→

AH

♠ Exercice 11.

1) ABC étant un triangle quelconque d’orthocentre H, démontrer les égalités suivantes :

→

HA .

→

HB =

→

HB .

→

HC =

→

HC .

→

HA .

2) Calculer la valeur de ces produits scalaires lorsque ABC est un triangle équilatéral de côté a.

Théorème : Projeté orthogonal d’un vecteur Soit



u un vecteur unitaire d’un axe (A,

 u) et



v un vecteur.

• Il existe un unique vecteur



v’ colinéaire à



u tel que

 u .

 v =

 u .



v’ . On l’appelle projeté orthogonal de

 v sur (A,

 u).

• 

v’ est le projeté orthogonal de

 v sur (A,



u) si et seulement si

 v’ = (

 u .

 v)

 u.

• Si

 v =

 MN alors

 v’ =



M’N’ où M’ et N’ sont les projetés orthogonaux de M et N sur (A ;

 u).

♠ Exercice 12. Illustrer le théorème ci-dessus.

Dessiner un axe (A,



u), un vecteur

 v =

 MN puis

 v’ =



M’N’, le projeté orthogonal de

 v sur (A,

 u).

♠ Exercice 13. Démonstration des formules d’addition cos (a+b) = …. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ;

 i ,



j ). a et b sont deux nombres réels. Soit A le point de coordonnées polaires [1, a] et B le point de coordonnées polaires [1, b] dans le repère polaire (O ;

 i ).

1) Déterminer un mesure de l’angle (

→

OB ,

→

OA ). En déduire en fonction de a et b le produit scalaire

→

OB .

→

OA .

2) Donner dans (O ;

 i ,



j ) les coordonnées cartésiennes de

→

OB et

→

OA et en déduire une autre expression du produit scalaire

→

OB .

→

OA .

3) En comparant les deux expressions démontrer que cos(a−b)=cosacosb+sinasinb. 4) En déduire que que cos(a+b)=cosacosb−sinasinb.

5) En utilisant les relations précédentes avec −a 2

π et b, en déduire les relations a

b b a b

a ) sin cos sin cos

sin( + = + et sin(a−b)=sinacosb−sinbcosa.

Moyen mnémotéchnique:

Sinus est simple et sympa.

Cosinus est égoïste et compliqué.

ère 6

III. Applications du produit scalaire

A. Application aux calculs de forces en physique

• Def: Lorsqu’un objet soumis à une force constante Fr

se déplace d’un point A à un point B, on définit le travail de la force lors du déplacement

→

AB comme le produit scalaire de la force par le déplacement càd W =

→

F .

→

AB (W comme Work en anglais).

• Si la force s’oppose au déplacement, autrement dit si elle tend à freiner le mouvement lors de ce déplacement, alors le travail est négatif. On parle de travail résistant.

• Si la force a tendance à faire avancer l’objet dans le déplacement, autrement dit si elle tend à accélérer le mouvement lors de ce déplacement, le travail est positif. On parle de travail moteur (= qui fait avancer).

Remarque : Le travail d’une même force peut être parfois un travail résistant et parfois un travail moteur suivant le déplacement. Ainsi, lorsque que vous montez une côte, il faut lutter contre la gravité et le travail de la force de gravité est négatif. Par contre, lorsque que vous descendez une côte, la gravité vous aide à descendre et le travail de la force de gravité est positif.

♠ Exercice 14. [travail d’une force] Exercice 47 p 400 du livre Déclic.

♠ Exercice 15. [travail d’une force] Exercice 60 p 402 du livre Déclic.

B. Applications aux problèmes métriques 1. Théorème de la médiane

Théorème de la médiane: Soit A et B deux points du plan et I le milieu de [AB].

Pour tout point M du plan, on a : MA² + MB² = 2MI² + AB² 2

Autre formulation du théorème de la médiane (plus facile à retenir à mon avis): « Dans tout parallélogramme, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des cotés »

◊ La somme des carrés des diagonales = (2MI)² + AB² = 4MI² + AB²

◊ La somme des carrés des côtés est égale à 2MA² + 2MB²

◊ On obtient donc : 2MA² + 2MB² = 4MI² + AB² Et en divisant tout par 2 on retrouve la formule précédente.

Remarque : D’autres formules (que l’on retrouve en introduisant le point I dans

 MA et



MB par Chasles).

MA² - MB² = 2

 AB .



IM et

 MA .

MB = MI² −  AB² 4 Démonstration du théorème de la médiane :

Pour tout point M du plan : MA² + MB² =

 MA² +

 MB² = (

 MI +

 IA )² + (

 MI +

IB )² = 2 MI² +  MI .

 IA +

 MI .



IB + IA² + IB² = 2 MI² + 

MI .(

 IA +



IB ) + IA² + IB² = 2 MI² + AB²

2 car I milieu de [ AB . ] A

B M

I

Le théorème de la médiane permet de calculer les longueurs de toutes les médianes d’un triangle connaissant les longueurs des côtés.

♠ Exercice 16. Exercice 66 p 403 du livre Déclic.

2. Formule d’Al-Kashi = Théorème de Pythagore généralisé Formule d’Al-Kashi ( ou Théorème de Pythagore généralisé):

Pour tout triangle ABC, a² = b² + c² − 2bc cos  A

Remarques :

• Les trois côtés et les trois angles jouant des rôles similaires on a bien sûr : b² = a² + c² − 2ac cos 

B et c² = a² + b² − 2ab cos  C

• Il existe d’autres formules liant angles, côtés et aire S d’un triangle : S = 1

2 bc sin

A = 1 2 ac sin

B = 1 2 ab sin

 C

• Loi du sinus ou formule du sinus a

sin

 A

= b sin

 B

= c sin

 C Démonstration : a² = BC² =

 BC² = (

 BA +

 AC)² = (

AC − 

AB)² = AC² + AB² − 2  AC .

 AB cqfd.

C. Application du produit scalaire aux équations de droites et de cercles Dans toute cette partie, le plan est muni d’un repère orthonormé.

1. Equation de droite

Définition : On appelle vecteur normal à une droite tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite.

Vecteur directeur et vecteur normal d’une droite : Sur le dessin ci-dessous,

→ u ,

→ u₁ et

→

u₂ sont des vecteurs directeurs de la droite (d) et

→ n ,

→ n1 et

→

n2 sont des vecteur normaux pour cette droite.

Propriété : Soit a et b deux réels tels que (a ; b) ≠ (0 ; 0).

• Dans le plan, toute droite de vecteur normal

 n 

 a

b admet une équation de la forme ax+by+c=0.

• Dans le plan¹, toute équation de la forme ax+by+c=0 est celle d’une droite de vecteur normal

 n 

 a

b et de vecteur directeur

u 

 -b

a Pratique :

1 Dans l’espace, ax+by+c=0 est l’équation d’un plan (dont un vecteur normal a pour coordonnées (a, b, c)) et

→

n ^→

u

→

u1

→

u2

→

n₁

→

n2

(d) B

C

A a b

c Â

La Formule d’Al-Kashi permet de calculer les mesures de tous les angles d’un triangle connaissant les longueurs des côtés.

ère 8 Quand on connaît l’équation d’une droite, on donc peut en déduire immédiatement un vecteur directeur et vecteur normal.

Démonstration : Soit



n(a ; b) un vecteur normal à une droite d et A(xA ; yA) un point de d. Un point M appartient à d ⇔ 

AM orthogonal à

n ⇔  AM .

n = 0 ⇔ a(x − xA) + b(y − yA) = 0 ⇔ ax + by + c = 0 avec c = −axA − byA

Si (a ; b ≠ )

(

)

au moins un point

 





 0 ; − c

b sinon

On nomme A un de ces points.

 ax + by + c = 0 

axA + byA + c = 0 donc ax + by + c = axA + byA + c ⇔ a(x - xA) + b(y – yA) = 0 ⇔  AM .

n = 0 ⇔  AM orthogonal à



n. L’ensemble des points cherchés est donc la droite passant par A et de vecteur normal

 n.

♠ Exercice (résolu) 17. [Equation d’une hauteur]: Soit A(1 ; 2), B(4 ; -1) et C(2 ; 4 ) et ∆ la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Trouver l’équation de ∆..

M(x ; y) appartient à ∆ ⇔  AM et

BC sont orthogonaux ⇔  AM .

 BC = 0

Or

 AM 

 x – 1 y − 2 et

 BC 

 –2

5 : M(x ; y) appartient à ∆ ⇔ − 2(x – 1) + 5(y – 2) = 0 ⇔ − 2x + 5y – 8 = 0.

2. Equation de cercles

Propriété : Soit Γ le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r.

Un point M(x ; y) appartient à Γ ⇔ (x – a)² + (y – b)² = r² On dit que (x – a)² + (y – b)² = r² est une équation du cercle Γ.

Exemples :

• Le cercle trigonométrique admet comme équation x² + y² = 1

• Le cercle de centre A(2 ; 1) et de rayon 2 admet comme équation (x – 2)² + (y – 1)² = 4

Propriété : Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que

 MA .

 MB = 0.

Pratique : On n’a donc pas besoin de chercher le centre ni le rayon du cercle de diamètre [AB] pour trouver son équation.

♠ Exercice 18. Soient A(1 ; 2) et B(5 ; -6) deux points du plan. Déterminer l’équation du cercle de diamètre [AB] au moyen du produit scalaire et en déduire les coordonnées de son centre et la distance AB.

Sources :

• Le polycopié de cours de Mme Dubois du LFT que je tiens à remercier ici,

• Le livre Math’x, • Le livre Déclic, • L’excellent site http://xmaths.free.fr/ de Xavier Delahaye.

A

B M