de Math´ematiques L

Universit´e Paris Diderot 14 f´evrier 2012

U.F.R. de Math´ematiques L. Merel

Licence de Math´ematiques : Fonctions analytiques TEST N^o 1

NOM : Pr´enom :

1) Donner un exemple d’ensemble non connexe et compact dans C? 2) La fonction z7→cos(z) = (e^iz +e^−iz)/2 est-elle born´ee sur C?

3) Donner le d´eveloppement en s´erie enti`ere en 0 de la fonction z 7→ <sub>1−z</sub><sup>1</sup>3 ? 4) Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere ^P∞_n=0(2n+ 1)zⁿ ? 5) La fonction z7→ −¯z est d´erivable au sens complexe en 0 ?

6) La fonction z7→e^1/z2 est-elle holomorphe sur C− {0} ? 7) Calculer^R_C(0,1)^dz_z2.

R´epondre ci-dessous et au verso en justifiant aussi bri`evement que possible.