En math´ ematiques.

Coniques

1 D´ efinition

1.1 Introduction.

En math´ ematiques.

Propagation des ondes.

En m´ ecanique.

1.2 D´ efinition monofocale

D´ efinition. Soit F un point du plan, D une droite telle que F R D et e ¡ 0. On appelle conique de foyer F , de directrice D et d’excentricit´ e e la courbe Γ form´ee des points M du plan v´erifiant :

d p F, M q e d p M, Dq

• Si 0   e   1, on dit que Γ est une ellipse ;

• Si e 1, on dit que Γ est une parabole ;

• Si e ¡ 1, on dit que Γ est une hyperbole.

Remarque.

1.3 ´ Equation polaire d’un conique

1.3.1 Equation polaire ´ Th´ eor` eme.

On se place dans le rep`ere particulier R pF ;~ı, ~q o` u F est le foyer, et o` u la directrice D a pour

´equation x cos ϕ y sin ϕ d ¡ 0. Alors

M P Γ ðñ ρ ed

1 e cos p θ ϕ q

On note p ed le param` etre de la conique.

1.3.2 Tangentes

Propri´ et´ e. La tangente en M p θ q ` a une conique donn´ee par son ´equation en polaires ρ _{1 e} ^p _{cos θ} est dirig´ee par

le vecteur ~u ¹ p θ q e~

1.3.3 Exemples

Exemple 1. D : x 1, e ¹ ₂

Exemple 2. D : x y 1, e 1.

Chap 9 – Coniques

Exemple 3. D : x 2, e 2 Exemple 4. D : y 2, e ¹ ₃

Exemple 5. Reconnaˆıtre et caract´eriser la courbe d’´equation polaire ρ _{2 5 sin} ³ _θ . Exemple 6. Est-ce que la courbe d’´equation polaire ρ ₁ ¹ _sinθ est une parabole ? Exemple 7. Est-ce que la courbe d’´equation polaire ρ _{cos θ} ^{1 ?} _{3 sin θ} est une ellipse ? Exemple 8. Est-ce que la courbe d’´equation polaire ρ _{1 cos θ} ^{1 ?} _{3 sin θ} est une ellipse ?

1.4 ´ Equations cart´ esiennes r´ eduites (tour d’horizon)

Dans un rep`ere bien choisi, les coniques admettent une ´ equation r´ eduite :

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P a rab ol e (e=1) .

2 ´ E qu at ion r´ed u it e : y 2 px p ed p F oy er : F , 0 2 p D ire ct ri ce : D : x 2 # 2 t x p t q 2 p P aram ´et rage : y p t q t O F

D M H p 2 − p 2

E ll ip se (0 < e < 1) .

2 2 x y ´ E qu at ion r´e du ite : 1 2 2 a b c 2 2 2 0   b   a , c a b ; e . a de de ? a et b 2 2 1 e 1 e 1 F oy er s : F p c, 0 q et F p c, 0 q 2 2 a a 1 D ire ct ri ce : D : x et D : x c c # x p t q a cos t P aram ´et rage : y p t q b sin t

O F F

D D

a

b c − c − a

c a

c

Hyp erb ol e (e > 1) .

2 2 x y ´ E qu at ion r´ed u ite : 1 2 2 a b c 2 2 2 c a b ; e . a F oy er s : F p c, 0 q et F p c, 0 q 2 2 a a 1 D ire ct ri ce : D : x et D : x c c # x p t q εa ch t P aram ´et rage : ε 1 y p t q b sh t b b Asy m pt ot es : y x et y x a a 0 F F 0 D D

a

b c − c

a2 c

y = b a x y = − b a x

Chap 9 – Coniques

2 Propri´ et´ es.

2.1 Propri´ et´ es de la parabole.

Vocabulaire. On parle du sommet et de l’axe de la parabole.

Exercice (Th. de Poncelet). Montrer que la tangente T au point M est la bissectrice de l’angle HM F { . Application.

2.2 Propri´ et´ es de l’ellipse.

Remarque. Dans ce qui pr´ ec` ede comme dans ce qui suit, on suppose 0   b   a.

Vocabulaire. Le centre de sym´etrie s’appelle le centre de l’ellipse. Les axes de sym´etrie s’appellent les axes de l’ellipse.

Les points A p a, 0 q et A ¹ p a, 0 q sont les sommets principaux de l’ellipse.

Les points B p 0, b q et B ¹ p 0, b q sont les sommets secondaires de l’ellipse.

a est le demi-grand axe, b le demi-petit axe.

Foyers et directrices.

Remarque. On connaˆıtra le triangle BOF dans lequel on peut appliquer le th´ eor` eme de Pythagore et retrouver la relation c ² a ² b ² .

O

F F ⁰

D D ⁰

Proposition. L’image d’un cercle par une affinit´e orthogonale est une ellipse.

D´ efinition. L’ellipse d’´equation r´eduite ^x _a ² 2

y ²

b ² 1 est l’image du cercle d’´equation x ² y ² a ² par l’affinit´e

orthogonale d’axe xx ¹ et de rapport _a ^b . Le cercle s’appelle cercle principal de l’ellipse.

O

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Corollaire. Repr´esentation param´etrique de l’ellipse.

# x a cos t

y b sin t

Application. Construction de la tangente ` a l’ellipse en un point.

O

Propri´ et´ e. Equation de la tangente en un point ´ M ₀ p X ₀ , Y ₀ q . Elle est obtenue en param´etrant l’ellipse.

Elle peut aussi ˆetre obtenue par d´edoublement des variables :

X 0 X

a ²

Y 0 Y

b ² 1

Caract´ erisation bifocale.

En conservant les notations pr´ec´edentes, on a :

Γ t M P P t.q. M F M F ¹ 2a u

O

a b

Application. M´ethode dite « du jardinier »

Exercice (Th. de Poncelet). Montrer que la normale ` a l’ellipse en M est la bissectrice de F M F { ¹ .

Application.

Chap 9 – Coniques

2.3 Propri´ et´ es de l’hyperbole.

Remarque. Dans ce qui pr´ ec` ede comme dans ce qui suit, on suppose que le second membre de l’´ equation r´ eduite est 1.

Vocabulaire.

Remarque.

F F

a b

− c c

− a²

c

a² c

Propri´ et´ e. L’hyperbole admet deux asymptotes, d’´equations y _a ^b x et y _a ^b x.

Remarque. On obtient les ´ equations des asymptotes en annulant le second membre de l’´ equation r´ eduite.

D´ efinition. Une hyperbole est dite ´ equilat` ere si et ssi ses asymptotes sont orthogonales.

Remarque. Cela ´ equivaut ` a a b.

Caract´ erisation bifocale.

En conservant les notations pr´ec´edentes, on a :

Γ t M P E t.q. | M F M F ¹ | 2a u

2.4 D´ emonstrations

2.4.1 Equations r´ ´ eduites des coniques

Preuve. On veut montrer que dans un rep` ere orthonormal bien choisi, les coniques ont une ´ equation cart´ esienne de la forme annonc´ ee.

On se place dans le rep` ere pI, ~ e 1 , ~ e 2 q suivant : Soit d dpF, Dq, I la projection orthogonale de F sur D, e ~ 1 ¹

ÝÑ IF et e ~ 2 le vecteur qui lui est directement orthogonal. [Faire une figure ` a ce stade]. Pour M p x, y q , on a alors H p 0, y q et F p d, 0 q . Ainsi :

M P Γ ðñ px dq ² y ² e ² x ²

ðñ p1 e ² qx ² y ² 2dx d ² 0 (a) ´ Etude des paraboles

Ici, on est dans le cas o` u e 1. L’´ equation cart´ esienne de la parabole s’´ ecrit donc y <sup>2</sup> 2dx d <sup>2</sup> Quitte ` a effectuer un changement d’origine du rep` ere, et poser

#

X x

₂

Y y et p d, on obtient l’´ equation r´ eduite de la parabole comme annonc´ e.

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(b) ´ Etude des ellipses

On est ici dans le cas o` u 0   e   1. L’´ equation cart´ esienne de l’ellipse peut s’´ ecrire : p1 e ² q

x d

p 1 e ² q 2

y ² d ² e ² 1 e ²

On effectue alors le changement de rep` ere

#

X x

Y y . On pose a _1e

et b ?

1

. On obtient alors l’´ equation r´ eduite de l’ellipse comme annonc´ e.

(c) ´ Etude des hyperboles

On est ici dans le cas o` u 1   e. On fait exactement la mˆ eme manipulation que pour l’ellipse, avec le mˆ eme changement de variable. On obtient (b est un tout petit peu modifi´ e) l’´ equation r´ eduite de l’hyperbole, comme annonc´ e. [Faire les calculs]

2.4.2 Caract´ erisation bifocale des coniques

On traite le cas de l’ellipse, celui de l’hyperbole ´etant analogue.

Preuve. Soit C tM P P t.q. M F M F

2au Soit O le milieu de rF F

s et c OF . Notons e ~ 1 ¹

ÝÝÑ OF et e ~ 2 le vecteur qui lui est directement orthogonal. Alors dans le rep` ere p O, ~ e 1 , ~ e 2 q ainsi construit, F p c, 0 q et F

p c, 0 q , et pour tout M p x, y q :

M P C ðñ M F M F

2a ðñ a

p x c q ² y ² a

p x c q ² y ² 2a ðñ p x c q ² y ² p x c q ² y ² 2 a

pp x c q ² y ² qpp x c q ² y ² q 4a ² ðñ a

p x ² y ² c ² 2cx qp x ² y ² c ² 2cx q 2a ² c ² x ² y ² ðñ

# p x ² y ² c ² q ² 4c ² x ² p 2a ² p c ² x ² y ² qq ² 2a ² c ² x ² y ² ¥ 0

ðñ

# pa ² c ² qx ² a ² y ² a ² pa ² c ² q

x ² y ² ¤ 2a ² c ² Posant b ?

a ² c ² , on a donc :

M P C ðñ

#

y² b²

1 x ² y ² ¤ a ² b ² ðñ x ²

a ² y ² b ² 1

car si la premi` ere ´ egalit´ e est v´ erifi´ ee, la seconde in´ egalit´ e l’est automatiquement (x ² y ² ¤ a ² pour tout point de l’ellipse que l’on va reconnaˆıtre ; penser au cercle principal).

On reconnaˆıt l’´ equation r´ eduite de l’ellipse de foyer F p c, O q et de directrice D : x

.

3 Coniques d´ efinies par une ´ equation cart´ esienne

3.1 M´ ethode

Pr´ esentation. Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal direct R p O;~ı, ~ q , on consid`ere la courbe Γ d’´equation

ax ² 2bxy cy ² 2dx 2ey f 0

avec pa, b, cq p0, 0, 0q.

Remarque. Si a b c 0, l’´ etude est imm´ ediate. C’est soit le vide, soit une droite, soit le plan. C’est pourquoi on suppose p a, b, c q p 0, 0, 0 q .

D´ efinition. On appelle discriminant r´ eduit de Γ la quantit´e :

∆ b ² ac

R` egle si ∆ 0 (parabole). Si ∆ 0 :

Chap 9 – Coniques

(a) Dans ce cas, ax ² 2bxy cy ² est un carr´e parfait. On effectue un changement de rep`ere par rotation, pour que ce terme s’´ecrive λy ¹² .

(b) Reste ensuite ` a faire un changement de rep`ere par translation pour obtenir l’´equation r´eduite d’une parabole que l’on peut caract´eriser et repr´esenter

R` egle si ∆ ¡ 0 (hyperbole) ou ∆   0 (ellipse). Si ∆ 0, c’est une conique ` a centre.

(a) On cherche ce centre Ωpx 0 , y 0 q, dont les coordonn´ees sont telles qu’apr`es translation amenant Ω ` a l’origine du rep`ere, l’´equation de la conique soit :

ax ^{1 2} Bx ¹ y ¹ cy ^{1 2} f 1 0

(b) On effectue alors un changement de rep`ere par rotation, en choisissant l’angle pour faire disparaˆıtre les termes rectangles, c’est-` a-dire les termes en x ¹ y ¹ .

(c) On reconnaˆıt l’´equation r´eduite d’une conique que l’on peut alors caract´eriser et repr´esenter.

3.2 Exemples

Exemple 1. Repr´esenter la courbe d’´equation : x ² y ² 2xy 2x 4y 1 0 Exemple 2. Repr´esenter la courbe d’´equation : 7x ² 6 ?

3xy 13y ² p 6 ?

3 28 q x p 12 ?

3 26 q y 25 12 ? 3 0.

Exemple 3. Repr´esenter la courbe d’´equation : x ² ?

3xy x 2

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Aut our des ´equati ons c a rt ´es iennes 9 .1 (a) D ´et erm in er un e ´equ at ion car t´es ien ne d e la con iqu e C d e fo ye r F d e co or d onn ´ee s p 2 , 1 q , de di rec tri ce D d ’´e q uat ion x 5 et d ’e x cen tr ici t´e e 2 3 . (b ) P r´ec is er son ce n tr e et en don n er un e ´eq uat ion r´e du it e. (c) D ´ete rmi ne r le s somme ts, le secon d fo ye r et la se con de di rec tri ce d e C . co niq ues_ 14. tex 9 .2 Nat u re et ´el ´emen ts carac t´er ist iq ue s d es con iq u es d’ ´eq u at ions : (a) x 2 xy y 2 1 (b ) x 2 2 y 2 x 2 y 0 (c) y 2 3 x 4 y 2 (d ) 15 x 2 13 y 2 2 ? 3 xy 768 co niq ues_ 21. tex 9 .3 Re con na ˆıt re et car act ´er ise r le s ens em b les d ´efin is d an s le pl an affin e euc lid ien m u ni d ’un rep `er e or th onor mal p O ; ~ı, ~ q p ar l’ ´eq u at ion : 13 x 2 32 xy 37 y 2 5 0 D on ne r l’ ´equ at ion de la tange n te au p oi n t M 0 p x 0 ,y 0 q . C he rc he r le s p oin ts p ou r le sq ue ls la tange n te est p ar al l`e le `a l’ axe p O x q . co niq ues_ 3.t ex 9 .4 S oit a, b r´ee ls p osi ti fs av ec a ¡ b . D an s le p lan affin e eu cl idi en u su el , on con si d `er e l’ el li ps e Γ d’ ´equ at ion x 2 a 2 y 2 b 2 1. S oi t M P Γ et M 1 le sy m ´et ri q ue d e M p ar rap p ort au gran d ax e. O n not e P le p oi n t d ’i n ter se ct ion de p O M 1 q av ec la nor mal e en M `a Γ. D ´et erm ine r le lie u d es p oi n ts P lor sq ue M d ´ecr it Γ. co niq ues_ 5.t ex 9 .5 O n cons id `ere la cou rb e C d ’´e q uat ion : 5 x 2 y 2 10 x 4 y 4 0 D ´et erm in er sa nat u re et p r´eci ser se s ´el ´emen ts g´ eom ´et ri q ue s. co niq ues_ 13. tex

U n p eu de g ´eom ´et ri e 9 .6 S oit C 1 et C 2 les cer cl es d e ce n tr es re sp ec tif s Ω 1 et Ω 2 et d e ra yons re sp ect if s R 1 et R 2 st ri ct emen t p os it if s. (a) D ´et er mi n er la n at ur e d u li eu H d es cen tre s de s ce rcl es tan gen ts ex t´e ri eu rem en t `a C 1 et C 2 . (b) S i C 1 et C 2 son t d eu x ce rc les d’ ´equ at ion re sp ec ti ves p x 2 q 2 y 2 4 et x 2 p y 1 q 2 1, d ´et er mi n er u ne ´eq uat ion car t´es ien ne de H . co niq ues _1.t ex 9 .7 D an s le p lan affine euc lid ien u su el , m un i d ’un rep `er e or thon or- mal , on con si d `er e les p oi n ts A p 1 , 0 q et B p 0 , 1 q , ain si q ue l’ ens em b le Γ d es p oi n ts d on t la som me de s car r´es de s d ist an ces au x tr oi s cˆot ´es du tr ian gl e p O AB q es t ´egal e `a 1 3 . (a) M on tr er qu e Γ est un e ell ip se. En don n er le s ´el ´emen ts carac t´e- ri st iqu es. (b) M on ter q ue Γ est tan gen te au x dr oi tes p O A q et p O B q . (c) D on ne r u n e rep r´ese n tat ion par am ´et ri q ue de Γ. co niq ues _20. tex 9 .8 S oit AB C D u n re ct an gl e. D ´ete rmi ne r le lie u d es p oin ts M tel s q ue les cer cl es ci rcon sc ri ts aux tr ian gl es M AB et M C D ai en t le m ˆeme ra yon. co niq ues _18. tex 9 .9 S oit A , A 1 et F tr ois p oi n ts d ist inc ts d u p lan. O n con si d `er e l’ en sem bl e H d es el li p se s p assan t par A et A 1 et ad me tt an t F p our fo y er . M on tr er q ue l’ ens em b le d es secon d s fo ye rs F 1 d es ell ip se s de H es t un e b ranc he d’ h y p erb ol e. co niq ues _15. tex 9 .1 0 P our un e cour b e Γ d onn ´ee , on ap p el le co u r b e o r th o p tiq u e d e Γ le li eu d es p oin ts d’ o `u l’ on p eu t men er d eu x tange n te s `a Γ ort h o- gon ale s en tr e el le s. (a) D ´et er mi n er la cou rb e ort h opt iq u e d ’u n e h yp er b ol e. (b) D ´et er mi ne r la cour b e or thop ti q ue d’ u ne par ab ole . (c) D ´ete rmi ne r la cour b e or thop ti qu e d ’un e el li p se .

Chap 9 – Coniques

co niq ues_ 7.t ex 9 .1 1 D an s E 2 m u ni d ’un re p `ere ort h on orm al, on cons id `ere P la p arab ol e d ’´eq uat ion y 2 2 px o `u p ¡ 0. Soi t A P P . (a) M on tr er q u e tou te le s dr oi tes cou p an t P en d eu x p oi n ts M et N tel s qu e p AM q K p AN q p asse n t p ar un p oin t fix e Q . (b ) D ´et er mi n er le li eu de Q lor sq ue A d ´ecr it P . co niq ues_ 6.t ex 9 .1 2 S oit a, b r´ee ls p osi ti fs av ec a ¡ b . D ans le p lan affin e euc li d ien u su el , on con si d `er e l’ el li ps e Γ d’ ´equ at ion x 2 a 2 y 2 b 2 1. S oi t M P Γ et M 1 le sy m ´et ri q ue d e M p ar rap p ort au gran d ax e. O n not e P le p oi n t d ’i n ter se ct ion de p O M 1 q av ec la nor mal e en M `a Γ. D ´et erm ine r le lie u d es p oi n ts P lor sq ue M d ´ecr it Γ. co niq ues_ 5.t ex P rop ri ´et ´es des c oni ques 9 .1 3 S oit E u ne el lip se de fo yer F et F 1 , de cer cle pr inc ipal C . Soi t M P E , H (r esp . H 1 ) la p ro je ct ion ort h ogon ale d e F (r esp . F 1 ) sur la tan gen te `a E en M . (a) M on tr er q ue H P C et H 1 P C . (b ) Le s d roit es p H F q et p H 1 F 1 q recou p en t C en d eu x p oi n ts not ´es res - p ect iv em en t K et K 1 . M on tr er q ue H H 1 K 1 K es t un rect an gl e. co niq ues_ 19. tex 9 .1 4 S oit C u ne el li ps e d e fo yer s F et F 1 , et M P C . M on tr er q u e la tan ge n te en M `a C es t la b is se ct ri ce ext ´eri eur e d e pp M F q , p M F 1 qq . co niq ues_ 17. tex 9 .1 5 S oit P u ne p ar ab ol e, F son fo yer , T sa tan gen te au somm et , M u n p oi n t d e T et D u ne d roi te p ass an t par M . M on tr er q ue D es t tan gen te `a P si et seu leme n t si D es t or thogon al e `a p F M q . co niq ues_ 16. tex

9 .1 6 Le pl an est m u ni d ’un re p `ere or th onor m ´e p O ; ~ı, ~ ). D ´et erm in er et re pr ´es en ter le li eu d es pi ed s de s n orm al es m en ´ee s d e O au x tan gen tes `a l’h y p er b ol e ´equ il at `er e C d ’´e q uat ion cart ´esi en n e xy 1. co niq ues _10. tex 9 .1 7 Le pl an est m un i d ’u n re p `er e or thon or m ´e p O ; ~ı, ~ q . Soi t C la p arab ol e d ’´e q uat ion car t´e si en n e y 2 2 px , o `u p ¡ 0 es t fi x´ e. Un p oi n t M d ´ecr it C ; la n orm ale en M `a C ren con tre p O x q en un p oi n t P et p O y q en u n p oi n t Q . D ´et er mi n er et rep r´ese n te r le li eu d u p oi n t I , mi li eu du se gme n t r P Q s . co niq ues _9.t ex 9 .1 8 S oit H u ne h y p er b ol e ´eq ui lat `er e d e cen tre O et M P H . Le ce rcl e tan gen t `a H en M et con te nan t O rec oup e H en d eu x p oi n ts P et P 1 . (a) Mon tr er q ue p P P 1 q K p O M q (b ) M on tre r q u e le sy m ´et ri q ue de O p ar rap p or t `a p P P 1 q es t su r H . co niq ues_ 8.t ex 9 .1 9 Re con na ˆıt re et car act ´er is er les en se m b les d ´efin is dan s le p lan affin e eu cl id ie n m u n i d ’u n rep `er e or thon or mal p O ; ~ı, ~ q p ar les rep r´e- se n tat ion s p aram ´et ri qu es su iv an tes : (a) # x t 2 t 1 y t 2 2 t 2 t P R (b) # x 2 ? 3 1 cos t sin t y cos t sin t t P R (c) # x 1 t 1 t 1 y 1 t 1 t 1 t P R r t 0 , 1 u co niq ues _4.t ex 9 .2 0 O n tr av ai lle dan s l’ esp ace R 3 m u ni d u re p `er e or thon or mal u su el . O n con si d `er e le ce rcl e d ´efi ni comme in ter se ct ion d u pl an d ’´eq u a- ti on x y z 2 et d e la sp h `ere d’ ´eq u at ion p x 1 q 2 p y 1 q 2 p z 2 q 2 4. D ´et er mi n er un e ´eq uat ion d e son p ro je t´e or thogon al su r le p lan xO y . co niq ues _27. tex

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