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A2826 – Une erreur de calcul [** à la main] Zig a choisi vingt nombres réels positifs xi

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Academic year: 2022

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A2826 – Une erreur de calcul [** à la main]

Zig a choisi vingt nombres réels positifs xi (i = 1 à 20) dont la somme est égale à 85 et la somme de leurs inverses est égale à 24 puis il calcule S =

i j 20

1 j

i

x

x = somme de toutes les fractions de la forme

j i

x x avec

i ≠ j, 1≤ i ≤ 20, 1≤ j ≤ 20.

Puce de son côté a choisi une suite de k nombres réels positifs yi (i = 1 à k) dont la somme est égale 159 et la somme de leurs inverses est égale à 13. Il affirme que la somme de toutes les fractions de la forme

j i

y

y avec

i ≠ j, 1≤ i ≤ k, 1≤ j ≤ k est aussi égale à S.

Déterminer S puis démontrer que Puce a fait une erreur de calcul.

Solution proposée par Jacques Guitonneau

Si la somme des k nombres vaut s1, la somme des inverses s2, alors la somme S= ∑ xi/xj avec xi # xj est égale à s1.s2 -k.

Donc S=2020.

Pour Puce, avec s1= 159 et s2=13 ,et S=2020, on aurait alors k= s1.s2 -2020, soit k =47.

Si s1= 159 et k=47, le minimum de s2 est obtenu avec tous les xi égaux à 159/47. On devrait alors avoir s2 supérieur ou égal à 47²/159 soit 13,89, supérieur à 13. Donc il doit y avoir erreur.

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