Q2- Le dé avec des faces de 6 carrés et 8 hexagones qui totalisent 72 côtés a donc 36 arêtes, 72 extrémités et

D357. Le dé du Roi de Silla

Problème proposé par Pierre Henri Palmade

A l'occasion de fouilles réalisées en 1975 à Gyeongju en Corée du Sud, les archéologues ont découvert un dé à 14 faces appelé "juryeonggu" qui datait de l'époque du roi de Silla au 7ème siècle après J.C.

Ce dé comporte deux motifs : un carré reproduit sur six faces et un hexagone qui apparaît à l'identique sur huit faces. Par convention, le côté de chaque carré est égal à l'unité et les longueurs distinctes des côtés de chaque hexagone sont 1 et a.

Q1 Etablir le patron de ce dé.

Q2 Montrer que ce dé peut être obtenu par troncature d'un polyèdre régulier dont on donnera les dimensions en fonction de a.

Q3 Calculer la valeur de a de sorte que les aires des 14 faces soient identiques (juryeonggu traditionnel).

Q4 Pour les plus courageux: on admet qu'après avoir lancé le dé, la probabilité pour qu'il tombe sur l'une quelconque de ses faces est proportionnelle à

l'angle solide sous-tendu par cette face. Peut-on dire qu’avec le juryeonggu traditionnel la probabilité d'apparition de l'une quelconque des faces visible est toujours égale à 1/14?

Solution proposée par Jean Nicot

Q2- Le dé avec des faces de 6 carrés et 8 hexagones qui totalisent 72 côtés a donc 36 arêtes, 72 extrémités et

24 sommets notés A à X.

Le dé peut être obtenu par troncature d’un cube, la coupe des 8 sommets du cube fournissant les 8 hexagones et non 8 triangles équilatéraux puisque les arêtes du cube initial disparaissent en totalité.Ce cube a pour dimension la hauteur du dé lorsqu’il est posé sur une face carrée.Si on coupe à mi-hauteur le dé posé sur la face ABCD, la coupe, suivant QIJLMNOP, sera un octogone dont 4 côtés seront les diagonales des faces carrées verticales et les 4 autres les arêtes a. La dimension de l’arête du cube est donc √2+2a/√2= (1+a) √2.

On peut aussi utiliser un octaèdre régulier et couper les 6 sommets pour enlever une pyramide à base carrée et de côtés 1. Une face de l’octaèdre est un triangle équilatéral et les troncatures lui enlèvent des triangles équilatéraux de côté 1 pour laisser le côté de longueur a. La longueur de l’arête de l’octaèdre est donc 2+a.

Q3- Une face hexagonale est constituée d’un triangle équilatéral de côté 1+2a dont on a enlevé à chaque sommet un triangle équilatéral de côté a. La surface de la face hexagonale est donc

(1+2a)² √3/4 -3a²√3/4= (1+4a+a²)√3/4 qui sera égale à 1 si a²+4a+1-4√3/3 =0 donc

𝑎 = −2 + √3 + 4√3/3 = 0,3042 pour avoir les 14 faces de même surface.

Q4- Calculons l’angle solide Ω d’une face carrée. Le cône, d’axe vertical, de centre Δ, centre du dé, est à une distance (1+a)/ √2 de la face. Il suffit de considérer 1/8 de la face supérieure, base du cône.

Ω /8 = [∫ ⅆμ ∫

sin 𝜃 ⅆ𝜃

𝜋 4

0

] où 𝜃𝑚 est la valeur max ⅆ𝑒 𝜃 , fonction de μ, sur le bord du carré

.

tg 𝜃𝑚 = 1/(2 cos μ) * √2/(1+a) = α / cos μ avec α=1/(√2(1+a)) et Ω /8= ∫ ⅆμ(1 − cos (

𝜋 4

0

𝜃𝑚))

cos²(𝜃𝑚)= cos² μ/( α² + cos² μ)

Avec le changement de variable u= sin μ du=cos μ dμ

Ω /8 = π/4 - ∫

ⅆu/ √α² + 1 − 𝑢² = π/4 – Arcsin(

2

/√α² + 1 ) = 0,1146 sr Ω = 0.9167 sr

L’angle solide d’une face hexagonale est donc (4 π -6 Ω) /8= 0.8833 sr

Pour avoir égalité des deux angles solides, il faudrait que Ω= 4π/14=0.8976 Ω/8=0,1122 Arcsin (

2

/ √𝛼

+ 1 )= π/4 - 0,1122=0,6732, et

2

/ √𝛼

+ 1 = 0,6235 d’où 𝛼 = 0,535 𝑒𝑡 a = 0,3217. La surface de la face hexagonale est alors 1,035.