G252. Les pérégrinations d'Arachné et de Tarentule
Cet hiver, Arachné et Tarentule ont tissé leur toiles à deux sommets distincts A et T d’une pièce cubique. Le 1er janvier 2011 pour se dégourdir les pattes, elles décident de faire des promenades quotidiennes le long des arêtes de la pièce avant de regagner leur toile. C’est ainsi
qu’Arachné réalise chaque jour un périple de a arêtes et elle décide d’arrêter ses promenades quand elle aura effectué tous les périples distincts de a arêtes. De son côté Tarentule qui est plus rapide effectue chaque jour trois périples distincts de t arêtes chacun mais c’est pratiquement un an après Arachné qu’elle achèvera tous ses périples.
Déterminer les entiers a et t.
Nota :
1) un périple est défini par une séquence ordonnée de sommets. Exemple P,Q,R,S,P est un périple de 4 arêtes distinct de P,S,R,Q,P.
2) rien n’interdit à une araignée de passer au cours d’un périple une ou plusieurs fois par le sommet où elle a installé sa toile. Exemple P,Q,P,S,P est un périple de 4 arêtes qui passe par P.
La calculatrice donne le nombre de périples possibles en fonction du nombre d'arêtes parcourues : arêtes périples
2 3
4 21
6 183
8 1 641
10 14 763
12 132 861
14 1 195 743
16 10 761 681
18 96 855 123
… Wolfram donne la formule :
=3+ 3 4
arêtes Nombre de périples
Nb jours Arachné (1 périple/jour)
Nb jours Tarentule (3 périples/jour)
2 3 3 1
4 21 21 7
6 183 183 61
8 1 641 1 641 547
10 14 763 14 763 4 921
12 132 861 132 861 44 287
14 1 195 743 1 195 743 398 581 16 10 761 681 10 761 681 3 587 227 18 96 855 123 96 855 123 32 285 041
…
Si on fait la différence des jours mis par Arachné et Tarentule pour effectuer tous les périples possibles, on obtient le tableau :
2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 21 183 1 641 14 763 132 861 1 195 743 10 761 681 96 855 123 2 1 -2 -20 -182 -1 640 -14 762 -132 860 -1 195 742 -10 761 680 -96 855 122
4 7 4 -14 -176 -1 634 -14 756 -132 854 -1 195 736 -10 761 674 -96 855 116
6 61 58 40 -122 -1 580 -14 702 -132 800 -1 195 682 -10 761 620 -96 855 062 8 547 544 526 364 -1 094 -14 216 -132 314 -1 195 196 -10 761 134 -96 854 576 10 4 921 4 918 4 900 4 738 3 280 -9 842 -127 940 -1 190 822 -10 756 760 -96 850 202 12 44 287 44 284 44 266 44 104 42 646 29 524 -88 574 -1 151 456 -10 717 394 -96 810 836 14 398 581 398 578 398 560 398 398 396 940 383 818 265 720 -797 162 -10 363 100 -96 456 542 16 3 587 227 3 587 224 3 587 206 3 587 044 3 585 586 3 572 464 3 454 366 2 391 484 -7 174 454 -93 267 896 18 32 285 041 32 285 038 32 285 020 32 284 858 32 283 400 32 270 278 32 152 180 31 089 298 21 523 360 -64 570 082 Et la solution :
