I153. Sprints après baignade
Malgré l’interdiction, Zig se baigne en plein milieu d’un étang qui a la forme d’un carré ABCD de 200 mètres de côté quand il voit apparaître le garde-champêtre au sommet A. Ce dernier ne sait pas nager mais il a gardé d’excellents réflexes de sprinter et peut courir jusqu’à 29 km/h sans perdre une seule seconde au démarrage comme dans les virages y compris ceux qui sont pris à 180°. Le crawl de Zig lui permet de progresser à 6km/h et à terre Zig court encore plus vite que le garde-champêtre. C’est donc avec un certain optimisme qu’il décide de rejoindre les berges de l’étang pour échapper à la verbalisation.
Partagez-vous l’optimisme de Zig ? Solution proposée par Paul Voyer Oui, je partage largement cet optimisme.
En effet Zig peut créer la situation où le garde-champêtre est dans le coin A, tout en étant lui- même au point E sur la diagonale AC (voir figure ci-après) tel que EH = EH’ < 6/29*distance ABH = 6/29*distance ADH’.L’abscisse de E est égale à 32 mètres et l’on vérifie que (100 – 32)/6 = 34/3 =11 ,33.. < (200 + 100 + 32)/29 = 332/29 =11,44..
Zig peut atteindre le point E de la manière suivante. A partir de l’origine O situé au milieu de l’étang, Zig se dirige vers C. Deux cas de figure :
1) le garde-champêtre ne sachant pas se décider pour aller vers B ou D reste en A, Zig parcourt la distance OE le long de la diagonale AC,
2) le garde-champêtre prend immédiatement une quelconque direction, vers B sans perte de généralité. Zig se dirige alors tout droit vers le point M milieu de CD situé à 100 mètres de l’origine. Quand le garde-champêtre a parcouru sur le côté AB la distance AG = x mètres, Zig a nagé sur la distance OZ₁ = 6x/29 mètres.Le garde-champêtre est obligé de faire un retour en arrière. Sinon s’il maintient le cap vers B on a distance ABCM = 200 + 200 + 100 = 500 > 29*100/6 = 483,33..mètres. A l’instant même où le garde-champêtre change de direction, Zig vire de bord à 90° en direction du côté BC. Quand le garde- champêtre est à nouveau en A , Zig atteint le point Z₂ sur AC tel que Z₁Z₂ = OZ₁ et l’on se trouve ramené au problème précédent avec un point Z₂ plus proche de E que O.
A l’issue d’une succession de segments de droite sur la diagonale AC si le garde reste en A ou de marches d’escalier ayant la forme de triangles rectangles isocèles si le garde- champêtre se dirige vers B ou C en partant de A, Zig est certain d’arriver au point E avec le garde toujours localisé en A.
