E597. Zéro obligé
Louis Rogliano
Soit(x, y, z) le triplet d’entiers strictement positifs de départ avec x < y < z. L’opération en question engendre trois triplets pour chaque triplet d’origine.
La somme x+y +z reste constante après chaque opération. Il y a donc un nombre fini de triplets.
Supposons que la valeur la plus basse atteinte par un des éléments des triplets soita≥0. Considérons alors ce triplet(a, b, c)aveca < b < c. Par hypothèse nous avons nécessairement :
b−a≥a, c−a≥a, c−b ≥a.
considérons les trois différences :d1 =b−a,d2 =c−a,d3 =c−b.
Nous avons alors à partir de ce triplet :
(a, b, c)−→(a,2b, c−b)et les différences correspondantes : d4 =|2b−a|,d5 =|c−a−b|,d6 =|c−3b|.
c−a−b <0=⇒c−b < aimpossible par hypothèse. Doncd5 =c−a−b < d2 etd5 =c−a−b < d3. La décroissance continue au triplet suivant du type(a, β, γ). Or, un entier positif ne peut décroitre indé- finiment. Il en résulte donc quea= 0, ce qui rend les différences stables.
Application numérique
A partir de l’ensemble(47,161,197), il y a trois façons d’obtenir zéro en neuf étapes.
(47,161,197)−→(94,161,150) −→(188,161,56)−→(188,112,105)−→(188,210,7)−→(14,210,181) −→
(28,196,181)−→(56,168,181) −→(112,112,181)−→(224,0,181)
(47,161,197)−→(94,114,197) −→(188,20,197)−→(188,40,177) −→(80,148,177)−→(160,68,177) −→
(320,68,17)−→(34,68,303)−→(68,68,269)−→(136,0,269)
(47,161,197)−→(94,114,197) −→(188,20,197)−→(40,168,197) −→(80,128,197)−→(160,48,197) −→
(160,96,149)−→(192,64,149) −→(128,128,149)−→(256,0,149)
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