Diophante E587 Zéro obligé
On écrit trois entiers strictement positifs et on répète autant de fois que nécessaire l’opération suivante : on choisit deux entiers x et y parmi les trois avec x ≤ y et on les remplace par 2x et y ‒ x.
Démontrer qu’il est toujours possible d’obtenir l’entier 0 en un nombre fini d’opérations.
Application numérique. Décrire les opérations permettant d’obtenir l’entier 0 à partir de l’ensemble {47,161,197}.
Réponse:
Notons chaque situation (u, v, w), où 0 < u ≤ v ≤ w (triplet ordonné).
Posons v = qu + r avec r < u (division euclidienne de v par u).
Posons q = ak2k + ak-12k-1 + ... + a121 + a020,
où chaque ai vaut ou 0 ou 1 (écriture binaire de u).
À partir de la droite, appliquons l'opération à u et v lorsque ai = 1, à u et w lorsque ai = 0.
Au bout de k + 1 opérations, v est devenu r, et il est inférieur aux deux autres entiers.
En prenant r comme nouveau quotient q, le nouveau r,
autrement dit le nouveau reste de la division euclidienne, sera strictement inférieur à r.
Et ainsi de suite jusqu'à obtenir r = 0.
Le nombre d'opérations est la somme des k + 1, majorée car les q sont en nombre fini.
Il est toujours possible d’obtenir l’entier 0 en un nombre fini d’opérations.
Voici les opérations suivant le processus précité
qui permettent d’obtenir l’entier 0 à partir de l’ensemble {47,161,197}
161 = 3x47 + 20, 3 = 1x21 + 1x20
→ (94, 114, 197), (20, 188, 197);
188 = 9x20 + 8, 9 = 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20
→ (40, 168, 197), (80, 157, 168), (77, 160, 168), (8, 77, 320);
77 = 9x8 + 5, 9 = 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20
→ (16, 69, 320), (32, 69, 304), (64, 69, 272), (5, 128, 272);
128 = 25x5 + 3, 9 = 1x24 + 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20
→ (10, 123, 272), (20, 123, 262), (40, 123, 242), (80, 83, 242), (3, 160, 242);
160 = 53x3 + 1, 53 = 1x25 + 1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20
→ (6, 157, 242), (12, 157, 236), (24, 145, 236), (48, 145, 212), (96, 97, 212), (1, 192, 212);
192 = 192x1 + 0, 192 = 1x27 + 1x26 + 0x25 + 0x24 + 0x23 + 0x22 + 0x21 + 0x20
→ (2, 192, 211), (4, 192, 209), (8, 192, 205), (16, 192, 197), (32, 192, 181), (64, 149, 192), (128, 128, 149), (0, 149, 256).
Jean-Louis Legrand
