M´ ethodes math´ ematiques pour la physique (examen du 19/12/2008)

M´ ethodes math´ ematiques pour la physique (examen du 19/12/2008)

Exercice 1. Consid´erons la fonction f(x) d´efinie par

f(x) = cosπax pour −1≤x≤1, f(x+ 2) =f(x).

Ici a est un param`etre r´eel, a /∈Z.

1. D´evelopper f(x) en s´erie de Fourier (de cosinus).

2. En utilisant ce d´eveloppement, calculer la somme infinie

∞

X

n=1

1 a²−n².

Indication: Posez x= 1 dans “cosπax= s´erie de Fourier de cosπax”.

3. Calculer la somme infinie

∞

X

n=1

1 (n²−a²)² . Indication: Utilisez l’´egalit´e de Parseval.

Exercice 2. En utilisant la m´ethode des fonctions de Green, trouver la solution y(x) de l’´equation diff´erentielle

y⁰⁰(x) + 16y(x) = sin 3x,

v´erifiant les conditions limites y(0) = 0,y⁰(π) = 0. V´erifier le r´esultat.

Exercice 3. Consid´erons l’op´erateur

H =− d²

dx² +x²,

avec le domaine compos´e des fonctions lisses qui s’annulent quand x→ ±∞.

1. D´emontrer explicitement que H est sym´etrique par rapport au produit scalaire (f, g) =

Z ∞

−∞

f(x)·g(x)dx, f, g ∈C₀^∞(R).

2. Que peut-on dire sur les valeurs propres et les vecteurs propres de H?

Exercice 4. Calculer la d´eriv´ee premi`ere et la d´eriv´ee seconde, au sens des distributions, de la fonction f(x) = x

|x|. Quelle est la d´eriv´ee d’ordre k?

Quelques formules dont vous pouvez avoir besoin:

e^iπn = (−1)ⁿ ∀n ∈Z,

sinπ(a±n) = (−1)ⁿsinπa ∀n ∈Z, cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ,