Séquence 11 : Inéquations
Attendus de fin de cycle :
Utiliser le calcul littéral.
Objectifs de la séquence :
Connaitre les propriétés des inégalités.
Savoir résoudre une inéquation.
Résoudre des problèmes.
Plan de la séquence
I- Propriétés des inégalités.
II- Résolution d’une inéquation du premier degré
III- Mise en équation ou inéquation et résolution de problème.
Séquence 11 : Inéquations
Réactiver les prérequis : Faire les questions flash P196 indigo et faire l’activité 1 P 196.
Faire les questions flash 1, 2, 3 P198 indigo et les exercices 9, 10 P 198 indigo.
Faire l’activité 2 P 196 ou l’activité 3 P77 Myriade*
Application directe : Faire les activités rapides 35, 36 P 84 Myriade
I- Propriétés des inégalités :
Propriété1 :
Une inégalité reste vraie lorsqu’on ajoute (ou soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.
a, b et k designent des nombres,
Si a ≤ b alors a + k ≤ b + k et a - k ≤ b – k Exemple :
Propriété 2 :
On peut multiplier (ou diviser) les deux membres d’une inégalité par le même nombre non nul :
Si ce nombre est positif, on ne change pas le sens de l’inégalité.
Si ce nombre est négatif, on change le sens de l’inégalité.
a, b et k designent des nombres (avec k ≠0),
Si a ≤ b alors et k > 0, alors a × k ≤ b × k et 𝑎 𝑘
≤
𝑏𝑘 Si a ≤ b alors et k < 0, alors a × k
≥
b × k et 𝑎𝑘
≥
𝑏𝑘 Exemple :
Tâches intermédiaires : Faire les exercices 38, 39, 41 P 84 et 80, 81 P89 Myriade.
Réinvestissement : Faire les exercices 47 P 85 ; 92 P 90Myriade.
II- Résolution d’une inéquation du premier degré.
Définition :
Une inéquation à une inconnue est une inégalité dans laquelle apparaît au moins un nombre inconnu remplacé par une lettre.
Cette inégalité peut être vraie pour certaines valeurs de l’inconnue et fausse pour d’autres.
Une solution d’une inéquation est une valeur de l’inconnue pour laquelle l’inégalité est vraie.
Résoudre une inéquation, c’est en trouver toutes les solutions.
Exemple1 :
𝟑𝒙 + 𝟓< 𝟕 + 𝟐𝒙 est une inéquation du premier degré à une inconnue « ici x »
Une solution d’une inéquation est un nombre qui vérifie l’inégalité.
Tester l’inégalité de l’exemple 1 pour x= -2
Calculons d’une part : 𝟑 × (−𝟐) + 𝟓 = −𝟔 + 𝟓 = −𝟏
Et d’autre part : 𝟕 + 𝟐 × (−𝟐) = 𝟕 − 𝟒 = 𝟑
-1 < 3 donc x =-2 est une solution de l’inéquation 3𝑥 + 5 < 7 + 2𝑥
Résoudre une inéquation c’est trouver tous les nombres qui vérifient l’inéquation
Exemple2 :
Si 𝒙 > 𝟐 Toutes les solutions sont les nombres supérieurs à 2, on les représente sur une droite graduée (dans notre cas ici : en rouge)
Si 𝒙 ≥ 𝟐 Toutes les solutions sont les nombres supérieurs à 2, on les représente sur une droite graduée (dans notre cas ici : en rouge)
0 1 2
0 1 2
Si 𝒙 < −𝟑 Toutes les solutions sont les nombres supérieurs à 2, on les représente sur une droite graduée (dans notre cas ici : en bleu)
Si 𝒙 ≤ −𝟑 Toutes les solutions sont les nombres supérieurs à 2, on les représente sur une droite graduée (dans notre cas ici : en bleu)
Exemples de résolutions détaillées :
-2 -1 0 -3
-2 -1 0 -3
Tâches intermédiaires : Faire les exercices41 P 84 et 83 P 89 Myriade et de 55 à 58 P 86 Myriade Réinvestissement : Faire les exercices 54 P 86 Myriade et 84, 85 Page 89 Myriade.
Faire les questions flash 23, 24 P 199 indigo.
III- Mise en inéquation ou équation :
Quatre étapes à respecter :
1) Choix de l’inconnue
2) Mise en inéquation ou équation
3) Résolution de l’inéquation ou de l’équation 4) Conclusion : réponse au problème.
Exemple :
Un rectangle de longueur 9,3 cm a un périmètre inférieur à 31 cm. La longueur et la largeur sont des nombres entiers de centimètres.
Quelles sont toutes les largeurs possibles ?
1) On appelle x la largeur du rectangle 2) 2 × 9,3 + 2𝑥 < 31
3) 18,6 + 2𝑥 < 31 2𝑥 < 31 − 18,6 2𝑥 < 12,4
2𝑥 ×1
2< 12,4 ×1
2
𝑥 < 6,2
4) Les largeurs possibles sont : 6cm ; 5cm ; 4cm ; 3cm ; 2cm ; 1cm ; 0 cm.
Attention : on ne prend pas les entiers négatifs puisque une longueur ne peut pas être négative
Tâche intermédiaire : 25, 26, 28 P 199 indigo
Réinvestissement : Faire les exercices 30 et 37 P 200 indigo.
Problèmes Myriade : Page 87 : de 59 à 63 Page 89 : 87 et 88 Page 90 : 95 et 96
