Diophante et trois de ses petits enfants ont acheté des livres de récréations mathématiques adaptées à leurs âges. Les quatre ouvrages ont des nombres de pages distincts, celui du troisième enfant comportant une page de moins que celui du deuxième. Chacun choisit dans son propre livre un certain nombre de pages, pas nécessairement consécutives, puis calcule le nombre des
combinaisons possibles sans tenir compte de l’ordre des pages choisies. Les quatre résultats
obtenus sont identiques. Sachant que le troisième enfant a choisi une page de plus que le deuxième, déterminer les nombres de pages des quatre ouvrages.
Soient a, b, c, c-1 les nombres de pages des livres, e, f, g, g+1 les nombres de pages choisis, et A le nombre de combinaisons possibles.
A=a!/(a-e)!e!=b!/(b-f)!f!=c!/(c-g)!g!=(c-1)!/(c-g-2)!(g+1)!
Donc c(g+1)=(c-g)(c-g-1), (g+1)(g+x)=x(x-1), x2-(g+2)x-g(g+1)=0, si x=c-g.
Le discriminant d de cette équation vérifie d2=(g+2)2+4g(g+1)=4+8g+5g2. Si l’on écarte g=0, la plus petite solution est g=5, d=13, donc x=10, c=15, A=3003=3*7*11*13, et l’on vérifie que
15*14*13*12*11/2*3*4*5=14*13*12*11*10*9/2*3*4*5*6=78*77/2=3003. Donc a=3003, e=1; b=78, f=2 ; c=15, g=5.
