G274 - Les quatre ouvrages
Diophante et trois de ses petits enfants ont acheté des livres de récréations mathématiques adaptées à leurs âges. Les quatre ouvrages ont des nombres de pages distincts, celui du troisième enfant comportant une page de moins que celui du deuxième. Chacun choisit dans son propre livre un certain nombre de pages, pas nécessairement consécutives, puis calcule le nombre des combinaisons possibles sans tenir compte de l’ordre des pages choisies. Les quatre résultats obtenus sont identiques. Sachant que le troisième enfant a choisi une page de plus que le deuxième, déterminer les nombres de pages des quatre ouvrages.
Soit x le nombre de pages du livre du deuxième enfant et y le nombre pages que celui-ci choisit.
Le troisième enfant a un livre de (x–1) pages et en choisit (y+1).
On cherche x et y tels que Cxy
= Cx-1y+1
. Cela conduit à résoudre l'équation diophantienne : x2 – 3 xy + y2 – 2 x + y = 0 (avec x ≥ y).
Le site de Dario Alpern nous donne pour solutions :
x y
15 5
104 39
714 272
etc.
Seule la première (à la rigueur la seconde) fait sens pour un livre d'enfant.
La première donne un nombre de combinaisons égal à 3003. La seconde un nombre de combinaisons de 29 chiffres, impossible à calculer précisément.
On vérifie que l'on a bien : C155 = C1416 = 3003.
On remarque que, par ailleurs, C782
= 3003. Un livre de 78 pages pourrait aller pour un grand enfant.
Reste à trouver un autre couple (p,q) tel que Cpq
= 3003.
À défaut, il faudra admettre que le grand-père s'est offert un livre de 3003 pages et en a choisi une.
Après tout, c'est une solution
