Les quatre ouvrages ont des nombres de pages distincts, celui du troisième enfant comportant une page de moins que celui du deuxième

Enoncé G274 (Diophante) Les quatre ouvrages

Diophante et trois de ses petits-enfants ont acheté des livres de récréa- tions mathématiques adaptées à leurs âges. Les quatre ouvrages ont des nombres de pages distincts, celui du troisième enfant comportant une page de moins que celui du deuxième. Chacun choisit dans son propre livre un certain nombre de pages, pas nécessairement consécutives, puis calcule le nombre des combinaisons possibles sans tenir compte de l’ordre des pages choisies. Les quatre résultats obtenus sont identiques. Sachant que le troi- sième enfant a choisi une page de plus que le deuxième, déterminer les nombres de pages des quatre ouvrages.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Soient A, B, C = B−1, D les nombres de pages, et a, b, c = b+ 1, d les nombres de pages choisies par chaque enfant. Il faut satisfaire

C_A^a =C_B^b =C_C^c =C_D^d.

C_B^b =C_B−1^b+1 donneB(b+ 1) = (B−b)(B−b−1).

Cette équation du second degré admet une infinité de solutions, comme l’équation x²−3xy+y²= 5 à laquelle elle se ramène, puisque

(5B+ 1)²−3(5B+ 1)(5b+ 4) + (5b+ 4)²= 5.

(x, y) sont deux termes consécutifs de la sous-suite des nombres de Lucas de rang impair L2k−11. Pour que x ety aient les restes 1 et 4 modulo 5, il faut prendre 5B+ 1 =L_4k+1, 5b+ 4 =L4k−1.

Ces solutions s’expriment commodément avec les nombres de Fibonacci : B =F_2kF_2k+1,b=F2k−2F_2k+1,k entier >1 pour que b >0.

k= 2 donneB = 15, b= 5, C₁₅⁵ =C₁₄⁶ = 3003.

k= 3 donneB = 104, b= 39, et C_B^b est un nombre de 29 chiffres.

k >3 donne des nombres encore plus grands, pour B comme pourb.

1. Avec la sous-suite des nombres de Lucas de rang pairL2k, deux termes consécutifs vérifientx²−3xy+y²=−5.

Bien que les nombres 104 et 39 soient plausibles pour des nombres de pages de livres, j’admettrai² que les quatre résultats identiques sont 3003.

Soit donc à résoudreC_A^a = 3003. C_A^a est fonction croissante de A et de a sia < A/2.

SiA <14,C_A^a < C₁₄^a, et il fauta >6 pour que C₁₄^a > C₁₄⁶ = 3003. Mais si a≥7,C_A^a =C_A^A−a≤C₁₃¹³⁻⁷ <3003, impossibilité.

SiA >15, il fauta <5 sia < A/2.

a = 4 implique A(A−1)A−2)(A−3) = 72072, A−3 < √⁴

72072 = 16,3. . . < A, etC_A⁴ inclut un facteur 17 dont 3003 n’est pas multiple.

a= 3 impliqueA(A−1)A−2) = 18018,A−2<√³

18018 = 26,2. . . < A; C₂₇³ = 2925 et C₂₈³ = 3276 ne conviennent pas.

a = 2 implique A(A −1) = 6006, (2A−1)² = 24025, 2A−1) = 155, A= 78, 3003 =C₇₈² .

a= 1 donneC_A¹ =A= 3003.

On peut donc prendreA= 3003 (bien que ce soit beaucoup pour un livre !), B = 15, C = 14 et D = 78 ; il en découle a= 1 ou 3002,b = 5,c = 6 et d= 2 ou 76.

Remarque 1. La discussion de l’équationC_n^k =N conduit à former pour les diverses valeurs de k la quantité ^k

√

k!N, comprise eentre n−(k−1) et n−(k−1)/2. Dans le cas de N = C₁₀₄³⁹, les cas k > 40 sont éliminés par le fait qu’il faudrait alorsn <103, mais C_n^k ne pourrait être multiple de 103 comme N. On a toujours la solutionN =C_N¹. La discussion pour 1< k <39 est fastidieuse.

Remarque 2. Ce problème a des convergences avec mon article “Raretés et répétitions dans le triangle de Pascal”, paru dans Quadrature n^o43 (automne 2001).

2. L’énoncé aurait pu rendre cette hypothèse inutile et assurer plus clairement l’uni- cité de solution s’il avait plafonné (à 38 au plus) les nombres de pages choisies.