Diophante et trois de ses petits enfants ont acheté des livres de récréations mathématiques adaptées à leurs âges. Les quatre ouvrages ont des nombres de pages distincts,celui du troisième enfant comportant une page de moins que celui du deuxième. Chacun choisit dans son propre livre un certain nombre de pages, pas nécessairement consécutives, puis calcule le nombre des
combinaisons possibles sans tenir compte de l’ordre des pages choisies. Les quatre résultats obtenus sont identiques. Sachant que le troisième enfant a choisi une page de plus que le deuxième,déterminer les nombres de pages des quatre ouvrages.
J'ai trouvé :
Pour les enfants : des livres de 14, 15 et 78 pages et pour Diophante (qui aime lire) : un très gros livre de 3003 pages Raisonnement :
Le 3
èmeenfant achète un livre de n pages et en choisit p ce qui donne C p
n possibilités.
Le
2
ème enfant achète un livre de n + 1 pages et en choisit p-1 ce qui donneC p −1
n1
possibilités.Posons :
C p
n
=C p −1
n1 ⇒ n
2 3−3 p ⋅ n− 4 p2b
2=0
Cette équation aura une solution entière que si le discriminant (
) est un carré parfait.=1−2 p 5 p
2⇒
les premières valeurs possibles pour p sont : 1, 6, 40, 273, ...On s'aperçoit que les seules valeurs de p donnant un nombre de pages pas trop grand pour les livres des enfants sont p = 1 ou p= 6 . (Voir remarque finale pour p = 1)
Pour p = 6 nous trouvons :
=169
,n=14
etC p
n =3003
Nous avons donc : Le
3
ème enfant achète un livre de 14 pages et en choisit 6 Le2
ème enfant achète un livre de 15 pages et en choisit 5Avec un peut de recherche on trouve facilement que le premier enfant achète un livre de 78 pages et en choisit 2 (ou 76)
et pour Diophante ce sera un livre de 3003 pages et il en choisira qu'une seule (ou 3002).
Remarque :
il y a aussi une solution un peu limite (pour p = 1):
1er enfant : achète un livre de 3 pages et en choisit trois 2ème enfant : achète un livre de 1 page et en choisit une 3ème enfant : achète un livre de 2 pages et en choisit zéro Diophante : achète un livre de n pages et en choisit n
