TaleST I GE Limites Vendredi 24 octobre 2008
Devoir surveillé n˚3
EXERCICE no 1
Pour chacune des fonctions suivantes, calculer la limite demandée puis en déduire l’existence ou non d’asymptotes.
1. f est la fonction définie surRparf(x) =x−3 + 5x5−x2. Déterminer lim
x→−2 f(x) et lim
x→+∞ f(x).
2. g la fonction définie surRparg(x) =√
x2−x−π.
Déterminer lim
x→−∞ g(x) et lim
x→−π g(x).
3. hest la fonction définie sur ] − ∞; 1 [ parh(x) =2x+ 1 x−1 . Déterminer lim
x→1 f(x) et lim
x→−∞
h(x).
EXERCICE no 2
On considère une fonctionf définie sur ] 0 ; +∞[ dont on connait la courbe représentativeC ci-après dans un reprère orthonormal (O;−→ı;−→) d’unités 1 cm. La droiteDa également été représentée.
1 2 3 4 5 6
−1 1 2 3 4 5 6
−1
−2
C
D
bK
Partie A - Exploitation du graphique.
On suppose que le droiteDet l’axe des ordonnées sont des asymptotes à la courbeC. 1. Donner lim
x→0 f(x) et lim
x→+∞ f(x).
2. Quelles sont les équations des asymptotes à la courbe ? 3. Le pointK
1 3 ; 1
3
est le point commun àCet àD. D’après la représentation graphique, quelle est en focntion dex, la position de la courbe par rapport à la droite ?
Partie B - Justification des observations graphiques.
La fonctionf est définie pourx >0 par :f(x) =x+3 x− 1
x2. 1. (a) Calculer lim
x→+∞ f(x), puis lim
x→+∞[f(x)−x] et justifier le fait que la droiteDest asymptote à la courbeC. (b) En étudiant le signe def(x)−x, retrouver les résultats de la question A.3.
2. (a) Démontrer que, pour toutxstrictement positif, f(x) peut s’écrire :f(x) = x3+ 3x−1 x2 . (b) Calculer lim
x→0 f(x) et justifier le fait que l’axe des ordonnées est asymptote àC.
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Correction du DS n˚3 EXERCICE no 1
1. • lim
x→−2 f(x) =−2−3 + 5(−2)5−(−2)2 =−169
• lim
x→+∞ f(x) est une forme indéterminée du type «∞ − ∞».
On factorise parx5 : f(x) =x5
1 x4 − 3
x5 + 5− 1 x3
.
x→+∞lim x5 = +∞
x→+∞lim
1 x4 − 3
x5 + 5− 1 x3
= 5
par somme : lim
x→+∞ f(x) = +∞
• Ces limites ne nous permettent pas d’identifier des asymptotes.
2. • lim
x→−∞ (x2−x−π) = +∞. Or, lim
X→+∞
√X = +∞. Donc, lim
x→−∞ g(x) = +∞
• lim
x→−π (x2−x−π) = π2. Or, lim
X→π2
√X =π.
Donc, lim
x→−π g(x) = π
• Ces limites ne nous permettent pas d’identifier des asymptotes.
3. • lim
x→1−
2x+ 1 = 3
x→1lim−
x−1 = 0−
par quotient, lim
x→1−
h(x) =−∞
• lim
x→−∞ f(x) est une forme indéterminée du type « ∞
∞ ».
On factorise :f(x) = x
2 + 1 x
x
1− 1 x
= 2 + 1
x 1− 1 x .
x→−∞lim
2 + 1 x
= 2
x→−∞lim
1− 1 x
= 1
par quotient : lim
x→−∞ h(x) = 2
• On a donc deux asymptotes :
la droite d’équationx= 1 qui est asymptote verticale à la courbe
la droite d’équationy= 2 qui est asymptote horizontale à la courbe en −∞
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EXERCICE no 2 Partie A.
1. lim
x→0 f(x) =−∞ et lim
x→+∞ f(x) = +∞
2. Les asymptotes ont pour équation x= 0 et y=x
3. Sur
0 ; 1 3
, la courbe C est en dessous de la droite D, Sur
1
3 ; +∞
, la courbe C est au dessus de la droiteD.
Partie B.
1. (a) •
x→+∞lim x= +∞
x→lim+∞
3 x = 0
x→lim+∞
−1 x2 = 0
donc, par somme lim
x→+∞ f(x) = +∞
• f(x)−x= 3 x − 1
x2.
Or, on vient de voir que lim
x→+∞
3 x − 1
x2
= 0 donc, lim
x→+∞[f(x)−x] = 0 La droite D est donc asymptote à la courbe C en +∞
(b) f(x)−x= 3 x− 1
x2 = 3x−1 x2 .
x2 est toujours positif, le signe de f(x)−x est donc celui de 3x−1 d’où : Sur
0 ; 1 3
, f(x)−x <0 et la courbe C est en dessous de la droite D, Sur
1
3 ; +∞
, f(x)−x >0 etla courbeC est au dessus de la droiteD.
2. (a) f(x) = x3 x2 +3x
x2 − 1
x2 = x3 + 3x−1 x2 .
(b) lim
x→0 x3+ 3x−1 =−1
x→0lim x2 = 0+
donc : lim
x→0 f(x) =−∞
d’où, la droite d’équationx = 0 est asymptote verticale à C
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