A132 - Quelle est la moyenne de ces sommes ?

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A132 - Quelle est la moyenne de ces sommes ?

Solution

L‘énoncé comporte un piège. En suggérant de calculer une moyenne arithmétique, Diophante peut laisser croire que les sommes calculées à l’issue de chaque tirage des 2n jetons sont toutes différentes entre elles. La réalité est qu’elles restent identiques d’un tirage à l’autre et que le calcul de la moyenne arithmétique perd tout son sens…

Certes, comme Diophante l’a demandé à Hippolyte, on peut faire l’expérience 10 fois de suite de tirer 2n jetons d’un sac pour se convaincre de ce résultat. Mais c’est inutile de faire plus de deux ou trois tirages car en analysant les colonnes des termes a et _i b , la clé du problème _i apparaît très vite.

Regardons ce qui se passe avec trois tirages réels réalisés en prenant n=10.

Expérience 1 :

Expérience 2 :

Expérience n°3 :

(2)

La permanence de la somme égale à 100 n’est pas un caprice du hasard. En regardant de près les colonnes des a_iet desb_i, on observe que s’il y a k termes a inférieurs à _i b , alors il y a 10 _i – k termes b inférieurs à _i a . _i

C’est ainsi que les entiers de 1 à n se partagent en deux paquets distincts repérés en jaune dans le tableau de la 3^ème expérience :dans le premier paquet ce sont les premiers nombres (1,2,9) qui figurent dans la liste des a classés par ordre croissant tandis que dans le deuxième _i paquet, ces nombres (10,8,7,6,5,4,3) sont situés à la fin de la liste des b classés par ordre _i décroissant. D’autre part, les termes de même rang et qui sont compris entre n+1 et 2n (repérés en vert dans le tableau de la 3^ème expérience) sont situés respectivement dans la colonne des b (20,13,12) et dans la colonne des _i a (11,14,15,16,17,18,19). _i

En fin de compte, tous les écarts sont ceux qui existent entre les nombres compris entre n+1 et 2n d’une part et les nombres compris entre 1 et n d’autre part quel que soit l’ordre dans lequel les nombres sont accouplés.

Dans ces conditions



^

 n 

i

1 i

i

i b

a =



^



 n

1 2n

1 n

k

k = ²

n

1 2n

1

n 1) n.(n 1) n.(2n k

2

k



    



^{. Dans}

le cas particulier où n=10, on retrouve bien la somme égale à n =100. ²

Nota : comme toutes les sommes sont identiques, la moyenne de la somme est évidemment égale à 100.