A219 - Une cubique toute simple à résoudre

A219 - Une cubique toute simple à résoudre

Solution

La première transformation qu’on effectue traditionnellement avec une équation du troisième degré de la forme x³ax²bxc0est de faire disparaître le terme en x . Pour ce faire on ² pose x = y + 1/3. Dès lors x³x²x10 devient y³4y/338/270.

Afin d’avoir une équation de la forme z³pzq0 avec p et q entiers, on pose y = z/3 et on obtient l’équation :z³12z380.

A ce stade, on effectue la transformation de Viete définie par z = w – p/3w soit dans le cas qui nous intéresse z = w + 4/w. On obtient ainsi :w³64/w³380.

Un quatrième changement de variable va permettre d’arriver enfin à une équation du second degré : W = w³ W²38W640 qui a pour discriminant 297. Il y a donc deux solutions réelles de cette équation : W =19 + 3 33 et ₁ W = 19 - 3 33 . ₂

D’où z₁³193 33 +4/³ 193 33 = ³193 33 + ³193 33 car

3193 33 *³ 193 33 = ³ 64 = 4

z₂ ³ 193 33+4/³ 193 33 = ³193 33 + ³193 33 Les deux valeurs z₁et z₂ sont donc égales et l’on peut

écrirey(³ 193 33³193 33)/3et x = (1³193 33³ 193 33)/3= 1,8392867552….

Cette racine réelle est unique. En effet la fonction f(x) = x³x²x1est continue et

dérivable pour tout x],[. La dérivée f’(x) = 3x²2x1 s’annule aux points x = -1/3 et x = 1. Les valeurs correspondantes de f(x) sont f(-1/3) = -22/27 et f(1) = -2. f(x) est alors monotone croissante entre - et –22/27 puis décroissante entre –22/27 et –2 et enfin

croissante entre –2 et +. La courbe représentative de f(x) ne croise l’axe des abscisses (i.e.

f(x) = 0) qu’en un seul point d’abscisse x = (1³ 193 33³193 33)/3.