FONCTION LOGARITHME NEPERIEN.

FONCTIONS LOGARITHMES : COURS

4)

Exemples.

a) Calculer log x (à 10^-3 près) pour les valeurs suivantes de x : 0,3 ; 0,82 ; 1,3 ; 12 ; 640

b) Exprimer en fonction de log x et log y : log x⁴ = log y^-2 = log x³ y² =

c) Exprimer en fonction de log 5 et / ou log 3 les nombres suivants : log 25 ; log 9 ; log 45 ; log 125 ; log9 5

5)

Application : résolution d'un problème.

Vous placez 10 000 € à 5% par an. Dans combien de temps aurez-vous 17 958,56 € ?

ACTIVITE 2 : Relation entre log et ln.

1) Compléter le tableau suivant, ligne par ligne, en utilisant la calculatrice (arrondir au millième).

x 0,25 0,5 1 2 3 4 5 6 10 15 20

ln x -1,386 -0,693 0,000 0,693 1,099 1,386 1,609 1,792 2,302 2,708 2,996 log x -0,602 -0,301 0,000 0,301 0,477 0,602 0,699 0,778 1,000 1,176 1,301

ln x

log x 2,302 2,302 Err 2,302 2,302 2,302 2,302 2,302 2,302 2,302 2,302

2) Représenter la fonction y = ln x dans le repère du I)2). Que constatez-vous ? Elle se croisent en (1 ; 0). Elles sont croissantes. La ln croit plus vite que la log

Donner graphiquement puis en utilisant la calculatrice la valeur de x pour laquelle ln x = 1.

On trouve graphiquement environ 2,7. A la calculatrice : 2nde ln 1 = e = 2,718281828 3) A l’aide du tableau, donner la valeur approchée au millième puis exacte du rapport ln x

log x = 2,302 = ln10 Déduire l’expression de ln x en fonction de log x.

ln x = ln10 * log x

II)

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN.

1)

Relation entre log et ln : ln x

log x = ln10 ou ln x = ln10 * log x 2) Définition :

On appelle fonction logarithme népérien la fonction ln x

définie et croissante sur ]0 ; + ∞∞∞[∞

telle que ln 1 = 0

3) Représentation graphique.

La valeur de x telle que ln x = 1 est notée e et vaut : e ≈ 2,718281828 donc ln e = 1 équivalent à log10=1 4)

Propriétés : ln ab = lna + lnb lna

b = lna – lnb ln aⁿ = n lna ln



5)

Exemples.

a) Calculer ln5

3 = 0,5108 ; ln 10 = 2,3025 ; ln 0,6 = -0,5108 (arrondir à 10^-4).

b) Soit f(x) = ln (0,5x⁷). Exprimer f(x) en fonction de ln x. Calculer f(1,5).

6)

Application : Résoudre le problème du I)5) avec ln et pas log.

FONCTIONS LOGARITHMES : EXERCICES

37 ; 1,3 ; ¹⁹

7 ; 1 238 ; ⁴

3

5² 2. Exprimer en fonction de log 2 et / ou log 3 les nombres suivants :

log 4 ; log 6 ; log 12 ; log 200 ; log 30 000; log 1 800

3. Exprimer en fonction de log a et / ou log b : log a³ ; log a^-5 ; loga²

b³ ; log a⁶b³ ; log



4. Calculer ln x pour les valeurs suivantes de x : 0,03 ; ¹

7 ; 2,81 ; 305 ; ³

4

5⁶−4³

5. Simplifier les expressions suivantes : ^lna

bln b ; ln a³ – ln a ; lna³

bln ab ; ln a−2lna⁴ b³

6. Calculer ln (e⁴) = 4 ln e = 4 ; ln1

e² ; ln



7. Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants : a = ln 4−3ln1

8 b = ln 8 e−2ln4−ln1

2 c = ln 2

e²ln 16e 8. Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 les nombres suivants : ln 18 ; ^ln16

81 ; ^{ln 1}

27 ; ln 24

9. Si on place un capital C à intérêts composés, au taux de t % par an, la valeur acquise par ce capital à la fin de la n^ième année est : Cn = C(1 + t)ⁿ

Une personne effectue un placement de 40 000 € à intérêts composés, au taux de 7 % par an (t = 0,07).

Au bout de combien d’années son capital sera-il de 52 431,84 € ? 10.

Coût de fabrication.

Une entreprise fabrique des objets en matière plastique. Le coût de production en € de x objets est donné par la fonction : C : x a C(x) = 10 ln (3x + 1), x ∈ [0 ; 50]

Cette fonction est continue et croissante.

1) Compléter le tableau (arrondir au centime) :

x 2 5 10 20 30 40 50

C(x)

2) Représenter la fonction C(x) en utilisant les valeurs du tableau ci-dessus pour x ∈ [0 ; 50].

- axe des abscisses : 1 cm pour 5 objets ; - axe des ordonnées : 1 cm pour 5 €.

3) Chaque objet est vendu 2 €.

a) Exprimer le chiffre d’affaires A en fonction de x.

b) Représenter A(x) sur le même repère.

c) Déterminer graphiquement le nombre minimum d’objets à fabriquer pour réaliser un bénéfice.

d) Vérifier par le calcul votre réponse.

11. La production d'une entreprise est de 50 000 unités par mois. Elle diminue de 15% par mois.

a) Quand la production sera-t-elle de moins de 10 000 unités ? b) Quand la production sera-t-elle nulle ?

12. Résoudre dans l’intervalle ]0 ; +∞[ les équations : ln x = 2 ; ln x = -1 ; ln x = 3 13. Limite du programme.

Résoudre l'équation ln 2x = ln (3x – 1) après avoir déterminé l'ensemble de définition de cette équation.