D 1961 Une Sertissure.
Un cercle Γ1 de centre O est tangent intérieurement en un point M à un cercle Γ de centre O. Soit ₁ un point O2 de la circonférence de Γ1. La demi-droite OO coupe le cercle Γ en un point N. Le ₂ cercle Γ2 de centre O et de rayon O₂ 2N coupe le cercle Γ1 en deux points P et Q. La droite PQ coupe le cercle Γ en deux points A et B. MA et MB coupent respectivement le cercle Γ1 en C et D tandis que NA et NB coupent respectivement le cercle Γ2 en E et F. Démontrer que le cercle Γ2 est serti dans le quadrilatère CDFE dont trois côtés lui sont tangents.
La droite APQB est l'axe radical des cercles Γ1 et Γ2 . L'inversion de pôle A, de puissance AP.AQ conserve globalement ces deux cercles. Le cercle Γ, qui passe par le pôle, et est tangent en M et N aux cercles Γ1 et Γ2 a pour image une droite, qui est tangente aux cercles Γ1 et Γ2 en C et E qui sont les inverses de M et N.
De même l'inversion de pôle B, de puissance BP.BQ conserve globalement ces deux cercles. Le cercle Γ, qui passe par le pôle et est tangent en M et N aux cercles Γ1 et Γ2 a pour image une droite, qui est tangente aux cercles Γ1 et Γ2 en D et F qui sont les inverses de M et N.
Ainsi le cercle Γ2 est tangent en E et F aux côtés CE et DF du quadrilatère CDFE.
Si les rayons de Γ1 et Γ2 sont différents, la ligne des centres O1O2 et leurs tangentes communes CE et FD sont concourantes, soit T ce point de concours. Les angles TEO2 et TFO2 sont deux angles droits, le cercle de diamètre TO2 passe par E et F .
Dans l'inversion de pôle T qui échange Γ1 et Γ2 , le cercle TEO2F, tangent en O2 à Γ1 , a pour image la droite qui passe par les inverses C et D de E et F. Donc CD est tangente à Γ2 en un point O2 ' tel que TO2 . TO2 ' = TC.TE = TD.TF.
Ainsi le cercle Γ2 est aussi tangent au côté CD du quadrilatère CDFE.
Si les cercles Γ1 et Γ2 ont même rayon, la corde CD et le cercle Γ2 sont tangents en O 1.
Donc le cercle Γ2 est serti dans le quadrilatère CDFE dont les trois côtés EC, CD, DF lui sont tangents.
