D154 – Le tranchet du cordonnier [*** à la main]
Solution de Paul Voyer
Construction de P et Q à la règle et au compas :
Fig. 1
Dans l'inversion de pôle D et de puissance DC², les cercles O1 et O2 sont invariants, A et B se permutent avec P et Q, le cercle de diamètre AB et la droite PQ se permutent.
La droite PQ est tangente en P et Q aux cercles O1 et O2, tout comme le cercle AB est tangent à O1 et O2 en A et B, inverses de P et Q.
D'après la figure 1. :
Soit H la projection de O2 sur PO1 ; O2H = PQ.
Dans le triangle rectangle O1O2H, on a O1O2² = O1H²+O2H² Soit (b+c)² = PQ² + (b-c)²
PQ² = (b+c)²-(b-c)² d'où PQ = d = 2 bc .
Construction du centre I du cercle tangent aux trois cercles de base.
Fig. 2
Considérons l'inversion de pôle A qui conserve le cercle O2.
Le cercle AB devient la verticale en C.
Le cercle AC devient la verticale en B.
Le cercle I devient le cercle de centre OA tangent au cercle BC et aux verticales en B et C.
De même, dans l'inversion de pôle B qui conserve le cercle O1, le cercle I devient le cercle de centre OB.
De même, dans l'inversion de pôle C qui conserve le cercle de diamètre AB, les cercles AC et BC deviennent les verticales en B et en A.
Les cercles de centres OA, OB et OC se construisent facilement, et I est l'intersection de A, OA et de B OB, ainsi que de C, OC, car l'alignement A, I, OA, celui de B, I, OB et celui de C, I, OC se conservent dans l'inversion.
Rayon du cercle de centre I :
OI = a-r ; O1I = b+r ; O2I = c+r.
x²+y² = (b+c-r)² [1]
(x+c)²+y² = (b+r)² [2]
(x-b)²+y² = (c+r)² [3]
L'élimination de x et y permet d'exprimer r en fonction de a, b, c.
x²+y² = b²+c²-2br-2cr+2bc+r² x²+2cx+c²+y² = b²+2br+r² x²-2bx+b²+y² = c²+2cr+r² Elimination de y :
x²-(x+c)² = (b+c-r)²-(b+r)² [1]-[2]
x²-(x-b)² = (b+c-r)²-(c+r)² [1]-[3]
-2x(b+c)+b²-c² = (c+r)²-(b+r)² [3]-[2]
2x(b+c) = (b-c)(b+c+b+c+2r)
x = ( )
) )(
(
c b
r c b c b
et en reportant x, par exemple dans [1]-[2], on obtient l'expression de r : -2cx-c² = b²+c²+r²+2bc-2r(b+c)-b²-r²-2br
-c(b-c)(b+c+r) = (c²+bc-2br-cr)(b+c)
-rc(b-c)-c(b²-c²) = bc²+c³+b²c+bc²-r(b+c)(2b+c)
r(-bc+c²+2b²+3bc+c²) = c³+2bc²+b²c+b²c-c³ = 2bc(b+c) r(2bc+2b²+2c²) = 2bc(b+c)
r=( ² ²)
) (
c bc b
c b bc
Calcul des dimensions du tranchet.
Les valeurs suivantes doivent être entières : b, c, d=2 bc, r=
²)
² (
) (
c bc b
c b bc
Posons b=x²z et c=y²z, x et y premiers entre eux, alors d=2xyz.
r devient :
r = ( ² ² )( ² ² )
²)
² (
²
²
xy y x xy y x
y x z y x
Pour que cela soit possible, (x²+y²+xy) et (x²+y²-xy) doivent diviser z, car premiers avec les autres facteurs du numérateur.
Il reste r = x²y²(x²+y²). n'est qu'un facteur d'échelle.
En ignorant le cas trivial où x = y, les seules valeurs acceptables pour un empan raisonnable sont x = 2 ; y = 1 ; = 1.
Les valeurs suivantes de x, y et donnent au moins une quarantaine de centimètres.
Une étude exhaustive intégrant la condition de l'empan, réalisée avec un tableur, confirme cette seule solution :
b = 84 mm ; c = 21 mm ; d = 84 mm ; r = 20 mm x = 2 ; y = 1 ; z = 21 ; 2a = 210 mm
Rayon des cercles centrés en O3, O4, O5, O6.
voir étude de Baptiste Gorin sur internet.
http://www.reunion.iufm.fr/recherche/irem/telecharger/Gorin/Gorin_Arbelos.pdf Il ne me semble pas utile de recopier cette étude.
Fig. 3.
Les cercles O3 et O4 sont les "cercles jumeaux d'Archimède".
Leur rayon est R3 = R4 = c b
bc
soit
21 84
21
* 84
= 16.8 mm (voir Gorin ) . Le cercle O5 a aussi pour rayon R5 =
c b
bc
= 16.8 mm . Le cercle O6 est le "cercle de Léon Bankoff", de rayon R6 =
c b
bc
= 16.8 mm aussi.
