D1961. Une sertissure
Un cercle Γ1 de centre O₁ est tangent intérieurement en un point M à un cercle Γ de centre O. Soit un point O2de la circonférence de Γ1. La demi-droite OO₂ coupe le cercle Γ en un point N. Le cercle Γ2 de centre O₂ et de rayon O2N coupe le cercle Γ1 en deux points P et Q. La droite PQ coupe le cercle Γ en deux
points A et B. MA et MB coupent respectivement le cercle Γ1 en C et D tandis que NA et NB coupent respectivement le cercle Γ2 en E et F. Démontrer que le cercle Γ2 est serti dans le quadrilatère CDFE dont trois côtés lui sont tangents.
Solution proposée par Jean Nicot
L’inversion de centre B et de puissance BP.BQ=BD.BM=BF.BN conserve les cercles Γ1 et Γ2. La droite FD s’inverse en le cercle passant par BMN, c’est-à-dire Γ.
Comme Γ et Γ2 sont tangents, FD et Γ2 le sont aussi. Γ et Γ1 sont aussi tangents donc FD et Γ1 également. FD est une tangente commune à Γ1 et Γ2.
De la même façon, avec une inversion de pôle A, on montre que EC est tangente commune à Γ1 et Γ2.
CD est donc perpendiculaire à O1O2.
La droite O1O2 coupe Γ2 en S1, CD en S2 et FD en K. L’inversion de pôle K et de puissance KD.KF transforme l’un dans l’autre les cercles Γ1 et Γ2. La droite CD est transformée en le cercle KFE, de diamètre KO2 et S2 est transformé en O2. S1
sur Γ2 est transformé en O2 sur Γ1. S1 et S2 sont donc confondus et CD est tangente à Γ2.
