A464 – Un entier somme d’entiers consécutifs de 2003 manières distinctes
Solution
2003 est égal à la somme des deux entiers consécutifs 1001 et 1002 et il n’y a pas d’autre façon d’exprimer 2003 comme somme d’entiers consécutifs. Cette décomposition unique en somme d’entiers consécutifs résulte de ce que 2003 est un nombre premier.
Soit N un nombre premier. Si N est la somme d’entiers consécutifs dont le 1er terme est q+1 et le dernier terme est p, on peut écrire : N = p*(p+1)/2 – q(q*+1)/2 avec p et q entiers, q<p.
D’où l’équation diophantienne : p2pq2q2N0. Celle-ci admet des racines entières en p si Δ14q24q8Nx2avec x entier.
D’où la deuxième équation diophantienne : 4q24q8Nx210. Celle-ci admet des racines entières en q si Δ44(8Nx21)y24x2y2 32Nou (2x+y)*(2x-y)=32N
On constate que N étant premier, 2x+y ne peut prendre que les valeurs 32N,16N,8N,4N,2N et N. D’où deux solutions seulement x=2N+1,y=4N-2 d’une part , x=N+2 et Y=2N-4 d’autre part.
Pour x=2N+1 et y=4N-2, il en découle p=(x-1)/2=N et q=(y-2)/4=N-1. On trouve un seul terme qui est le nombre N lui-même, cette solution est donc à exclure.
Pour x=N+2 et y=2N-4, on obtient p=(x-1)/2 = (N+1)/2 et q=(y-2)/4 = (N-3)/2. La somme d’entiers consécutifs est donc constituée de deux termes q+1=(N-1)/2 et p=(N+1) /2.
Il n’y a pas d’autre décomposition possible.
Dès lors, 2003 peut s’exprimer sous la forme d’entiers consécutifs de 2 manières distinctes. 2 En effet l’équation 4x2y2 32N=32*20032 est telle que l’on pourra décomposer le deuxième membre sous la forme 2x+y = 4*20032 et 2x – y = 8 ou bien 2x+y = 8*2003 et 2x- y =4*2003. Il en résultera une première décomposition 20032=2006004+2006005. et la deuxième sera 2003 =2 (1002 à 3004).
Il est facile d’étendre le raisonnement à 20032003 qui est la somme d’entiers consécutifs de 2003 manières distinctes.
2x + y 32N 16N 8N 4N 2N N
2x - y 1 2 4 8 16 32
4x 32N+1 16N+2 8N+4 4N+8 2N+16 N+32
x 2N+1 N+2
y 4N-2 2N-4
