A519 La grande famille de Diophante [** à la main]
Solution
Considérons l’ensemble S des entiers naturels 100 qui ne sont pas divisibles par les nombres 4,9,25,49 qui sont les carrés des nombres premiers 2,3,5 et 7. Sont donc exclus les nombres ci-après :
- 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100
- 9, 18, 27, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 - 25, 50, 75
- 49, 98
soit au total 39 termes.
Il y a donc 61 termes qui ne sont divisibles ni par 4 ni par 9 ni par 25 ni par 49.
Soit deux éléments distincts de S. Leur produit ne peut pas être un carré parfait. Si c’était le cas, les deux nombres auraient les mêmes facteurs et seraient identiques. D’où contradiction.
La famille F de Diophante a donc au moins la taille de S, c’est à dire 61 membres. Peut-elle en avoir plus ?
Non car si l’un des membres de F a un âge égal à kp avec k nombre entier non multiple 2 d’un carré et p nombre premier égal à 2,3,5 ou 7, alors la personne d’âge k est exclue car le produit des âges est égal à k2p2qui est un carré parfait.
