A565. Qui sommes-nous?
On considère l’ensemble E des entiers naturels n≤ 2013 tels que le produit des diviseurs propres* de n est égal à une puissance entière k > 0 de n. Par convention, on dit que l’empan de n est égal à k. Par exemple l’entier 12 appartient à E avec ses diviseurs propres 1, 2, 3, 4 et 6 qui ont pour produit 144 = 122 et son empan est égal à 2.
A l’inverse le carré parfait 25 dont le produit des diviseurs propres est égal à 5 et le nombre premier 13 dont le seul diviseur propre est 1 ne font pas partie de E.
Quatre entiers A, B, C et D pas nécessairement pris dans cet ordre et appartenant à E forment une progression arithmétique.
A : « Mon empan est pair. »
B : « J’ai sans conteste le plus grand empan dans E. »
C : « Je suis plus petit que A mais j’ai le même empan que lui. »
D : « Parmi les entiers de E supérieurs à B comme moi, tous ont un empan différent du mien. » Qui sommes-nous ?
*Nota : diviseur propre ou diviseur aliquote : tout entier naturel qui divise exactement un entier autre que lui- même.
Solution proposée par Paul Voyer
http://oeis.org/A007956 ne donne les produits des diviseurs propres que jusqu'à n=1000.
Mais on y trouve la formule générale P=n^(A000005/n-1) et la table A000005 est donnée en http://oeis.org/A000005/b000005.txt.
B=1680, empan=19
D=1872, empan=14 ou 1728, empan=13
Parmi les 6 progressions arithmétiques possibles, une seule répond aux conditions de l'énoncé (2 empans pairs égaux pour A et C).
empan empan
1824 11
>2013 1776 9
14 1872 1728 13
19 1680 1680 19
9 1488 1632 11
12.5 1296 1584 14
9 1968 1752 7
14 1872 1728 13
9 1776 1704 7
19 1680 1680 19
14 1584 1656 11
14 1872 1728 13
4 1808 1712 4
4 1744 1696 5
19 1680 1680 19
La réponse est donc :
A=1808 B=1680 C=1744 D=1872
