Problème A565 – Solution de Jean Drabbe
PRELIMINAIRES
Soit n un naturel supérieur à 1 . Le nombre de diviseurs de n noté d(n) est le produit des exposants augmentés de 1 qui figurent dans sa décomposition en facteurs premiers.
Proposition. Le produit P(n) de tous les diviseurs de n est donné par
P(n) = n ^ (d(n) / 2) . Une démonstration est décrite dans [1] .
Conséquence immédiate. Le produit des diviseurs propres de n est n ^ (d(n) / 2 – 1) .
Définitions. L'empan de n , noté e(n) est l'exposant d(n) / 2 – 1 de n qui apparaît dans le produit des diviseurs propres de n .
Notons qu'un empan peut ne pas être entier. Ainsi e(25) = 1 / 2 .
L'ensemble E est donc l'ensemble des entiers naturels ≤ 2013 dont l'empan est un entier supérieur à 1 .
Un naturel n supérieur à 1 est dit hautement composé lorsque pour tout m < n d(m) < d(n) .
Une première étude des naturels hautement composés est due à Ramanujan [2] .
SOLUTION DU PROBLEME
Un programme informatique permet de vérifier facilement que :
● Le plus grand empan dans E est 19 et 1680 est le seul élément de E dont l'empan a cette valeur (ceci résulte aussi du fait que 1680 et 2520 sont deux entiers hautement composés consécutifs). (*)
● Les seuls éléments de E supérieurs à 1680 dont l'empan est atteint une et une seule fois sont 1728 et 1872 .
(*) Les valeurs 1680 et 2520 pourraient être obtenues à la main mais, l'informatisation me paraît nécessaire pour l'obtention des valeurs 1728 et 1872 ci-après.
Seules six progressions arithmétiques doivent donc être examinées pour la détermination de la solution. Ce sont :
1680 1696 1712 1728 1656 1680 1704 1728 1584 1632 1680 1728 1680 1744 1808 1872 1584 1680 1776 1872 1296 1488 1680 1872
Les empans des nombres de couleur orange sont tous impairs (et ne peuvent donc être retenus pour A et C).
Comme e(144) = 4 = e(1808) , la solution du problème est
A = 1808 , B = 1680 , C = 1744 , D = 1872 .
[1] BORNSZTEIN, P., Cours d'arithmétique, Première partie.
Il s'agit d'un cours d'arithmétique écrit pour les élèves préparant les olympiades internationales de mathématiques.
Site : http://perso.univ-rennes1.fr/xavier.caruso/articles/arith.pdf
[2] RAMANUJAN, S., Highly Composite Numbers in Collected Papers, edited by G.H. Hardy and others, Chelsea Publishing Company, New York 1962 .
