D.S. de mathématiques n°1

D.S. de mathématiques n°1

Suites TS : Préparation aux mathématiques du supérieur

Calculatrices autorisées

Un corrigé sera disponible sur le site http://lhelmeg.keepandshare.com/

Note

Exercice 1 , / 4

Exercice 2 , / 4

Exercice 3 , / 4

Exercice 4 , / 4

Exercice 5 , / 4

Note , / 20

Exercice 1 Questions de cours

2) Montrer qu'une suite convergente est nécessairement bornée.

Exercice 2

Soitu_nune suite réelle de limitel et v_nune suite réelle de limite l^'.

Montrer que la somme de ces deux suites est une suite convergente dont on précisera la limite.

Remarque: u_nest une « suite réelle » signifie que pour tout n , unest un nombre réelu_n∈ℝ.

Exercice 3

Soitu_nune suite réelle. On suppose que la suiteu_2nest convergente vers une limitel , ^{que la} suiteu_2n1est convergente vers une limite l^'et que que la suiteu_3nest convergente vers une limite l^{' '}.

Montrer que la suiteu_nest convergente.

On pourra utiliser sans le redémontrer le résultat vu en classe: Si la suite des termes d'indice pairs et la suite des termes d'indice impairs d'une suiteu_nconvergent vers la même limite alors la suiteu_n_est convergente vers cette limite commune.

Exercice 4

Un fabricant d'emballages souhaite fabriquer une boîte de conserve cylindrique de volume 1 litre en minimisant la surface de métal utilisée.

Donner les dimensions d'une telle boîte.

Exercice 5

Que peut-on dire d'une suite d'entiers qui est convergente?

Faites une conjecture et démontrez-la.

Remarque: u_nest une « suite d'entiers » signifie que pour tout n , unest un nombre entieru_n∈ℤ. NOM:

PRENOM :

Communication : − 0 + Technique : − 0 + Raisonnement : − 0 +

/4

/4

/4 /4

/4

D.S. de mathématiques n°1

Suites CORRIGÉ TS : Préparation aux mathématiques du supérieur

Exercice 2

Soitu_nune suite réelle de limitel ^{et v}nune suite réelle de limite l^'.

Montrer que la somme de ces deux suites est une suite convergente dont on précisera la limite.

Remarque: u_nest une « suite réelle » signifie que pour toutn , unest un nombre réelu_n∈ℝ. Réponse: Soit 0 .∃n₁tel que∀nn₁,∣u_n−l∣

2 et ∃n₂ tel que∀nn₂,∣v_n−l '∣ 2.

Soitn₀=max{n₁,n₂}.∀n⩾n₀, ∣u_n+v_n−l−l '∣⩽^{( Δ)}∣u_n−l∣+∣v_n−l '∣< ε 2+ ε

2=ε.

Ce résultat est valable pour tout0 , ce qui prouve que u_nv_nconverge vers ll^' 

 _Remarque: On a utilisé l'inégalité triangulaire: ∀x et y ,on a ∣xy∣∣x∣∣y∣, valable pour la valeur absolue si xetysont des réels, valable pour le module si xetysont des complexes et valable pour la norme si xetysont des vecteurs.

Exercice 3

Soitu_nune suite réelle. On suppose que la suiteu_2nest convergente vers une limite l , ^que la suiteu_2n1est convergente vers une limite l^'et que que la suiteu_3nest convergente vers une limite l^{' '.}

Montrer que la suiteu_nest convergente.

On pourra utiliser sans le redémontrer le résultat vu en classe: Si la suite des termes d'indice pairs et la suite des termes d'indice impairs d'une suiteu_nconvergent vers la même limite alors la suiteu_n_est convergente vers cette limite commune.

Réponse:

● u_6nest une suite extraite de u_3ndonc elle converge vers la même limite d'où lim

n∞

u_6n=l^{' '}. Par ailleurs, u_6nest une suite extraite de u_2ndonc elle converge vers la même limite d'où

lim

n∞

u_6n= l. On en déduit que l⁼l^{' '.}

● u_6n3est une suite extraite de u_3ndonc elle converge vers la même limite d'où lim

n∞

u_6n3 = l^{' '}.Par ailleurs, u_6n3est une suite extraite de u_2n1donc elle converge vers la même limite d'où lim_n

∞

u_6n3= l '. On en déduit que l^'=l^{' '}.

● Finalement, comme l^'=l^{' 'et} l^'=l^{' ', on a} l⁼l^'. Or on sait que si la suite des termes d'indice pairs et la suite des termes d'indice impairs d'une suiteu_nconvergent vers la même limite alors la suiteu_nest convergente vers cette limite commune. 

Exercice 5

Que peut-on dire d'une suite d'entiers qui est convergente?

Faites une conjecture et démontrez-la.

Remarque: u_nest une « suite d'entiers » signifie que pour toutn , unest un nombre entierun∈ℤ. Réponse: Une suite d'entiers qui est convergente est constante à partir d'un certain rang.

Prouvons-le: Soit u_nest une suite d'entiers qui converge vers une limite l.

Soit=1

30 . ∃n₁tel que∀nn₁,∣u_n−l^∣.

∀nn₁,∣u_n−u_n1∣∣u_n−l^l^−un1∣^{ }∣u_n−l^∣∣un1−l^{∣=2=2}₃^1.

Commeu_netu_n1sont tous deux des nombres entiers, cela veut dire que ∀nn₁,u_n=u_n1. La suite u_n est donc constante à partir du rang n₁. 

 Par l'inégalité triangulaire.

Exercice 4

Un fabricant d'emballages souhaite fabriquer une boîte de conserve cylindrique de volume 1 litre en minimisant la surface de métal utilisée.

Donner les dimensions d'une telle boîte.

Réponse:

Soit r le rayon de la boîte de conserve et h sa hauteur.

• On exprime la fonction à optimiser: On veut minimiser l’aire A=2r²2r h (Fond + couvercle +surface latérale).

• Comme toujours dans les problèmes d’optimisation, on se ramène à une fonction d'une variable pour pouvoir étudier ses variations grâce à sa dérivée.

Le volume de la boîte est égal à un litre, ce qui donne, en exprimant toutes les longueurs en décimètres, V=r²h=1 . On en déduit h= 1

r² d’où, par substitution dans A, Ar=2r²2r

r²=2r²2 r .

• On étudie les variations de la fonction à optimiser grâce à sa dérivée.

A 'r=4r−2

r²=4r³−2

r² qui est du signe de 2r³−1 . Or 2r³1 ssi r³ 1

2ssi r 1

2 ^1/3= 1



r 0 1

3



A'(r) – 0 +

A(r)

L'aire est donc minimale pour r= 1

2^1/3= 1



r²= 1







2 ^2/3

 =2^2/3

^1/3 =2^2/3⋅2^1/3

^1/3⋅2^1/3 = 2

^1/3⋅2^1/3= 2

2^1/3=2r.

• Conclusion:La surface de métal utilisée pour construire une boîte de conserve cylindrique de volume 1 litre est donc minimale pour r= 1



2



Remarque: Exprimerrethen dm plutôt qu'en cm permet d' avoir des formules plus simples.