A565. Qui sommes-nous?
On considère l’ensemble E des entiers naturels n≤ 2013 tels que le produit des diviseurs propres* de n est égal à une puissance entière k > 0 de n. Par convention, on dit que l’empan de n est égal à k. Par exemple l’entier 12 appartient à E avec ses diviseurs propres 1,2,3,4 et 6 qui ont pour produit 144 = 122 et son empan est égal à 2. A l’inverse le carré parfait 25 dont le produit des diviseurs propres est égal à 5 et le nombre premier 13 dont le seul diviseur propre est 1 ne font pas partie de E.
Quatre entiers A,B,C et D pas nécessairement pris dans cet ordre et appartenant à E forment une progression arithmétique.
A : « Mon empan est pair. »
B : « J’ai sans conteste le plus grand empan dans E. »
C : « Je suis plus petit que A mais j’ai le même empan que lui. »
D : « Parmi les entiers de E supérieurs à B comme moi, tous ont un empan différent du mien. » Qui sommes-nous ?
*Nota : diviseur propre ou diviseur aliquote : tout entier naturel qui divise exactement un entier autre que lui- même
Soit et sa décomposition en facteurs premiers
=
Le nombre de diviseurs de et leur produit sont :
= (+ 1) = √= Le nombre de diviseurs propres de et leur produit sont :
= −1 + (+ 1) = =√ =
=
L'empan vaut donc
, et sont donc éléments de E les entiers ≤ 2013 dont le nombre de diviseurs est pair.
qui permet à la calculatrice de construire, sans problème et rapidement, la fonction empan() pour entier variant de 0 à 2013:
On trouve de suite dans E, le plus grand empan qui est unique: empan(1680)=19.
Puis pour , (1680 < ≤ 2013), seuls = 1728 (empan(1728) = 13) et = 1872 (empan(1872) = 14) ont un empan présent une fois et une seule.
facteurs premiers empan
" 1680 2#3.5.7 5.2.2.2 = 40 40 − 2 2 = 19
' 1728 2(3) 7.4 = 28 28 − 2
2 = 13 ' 1872 2#3. 13 5.3.2 = 30 30 − 2
2 = 14 B et D faisant partie d'une progression arithmétique, la raison de cette progression est
*= '− " = 1728 − 1680 = 48 , ou *= '− " = 1872 − 1680 = 192, ou un sous-multiple de ces valeurs.
Il ne reste plus qu'à trouver une progression, de raison *,+ , contenant " et ', avec deux termes supplémentaires (- et .), de même empan pair.
• ' = 1728
-, ", . ' empan de -, ", . '
' − " + raison /) / / / = " /0 /0 /0) /) / / / = " /0 /0 /0)
48 1 48 1536 1584 1632 1680 1728 1776 1824 9 14 11 19 13 9 11 48 2 24 1608 1632 1656 1680 1704 1728 1752 7 11 11 19 7 13 7 48 3 16 1632 1648 1664 1680 1696 1712 1728 11 4 7 19 5 4 13
… … progressions ne contenant plus 1680 ET 1728
pas de solution
• ' = 1872
-, ", . ' empan de -, ", . '
' − " + raison /) / / /= " /0 /0 /0) /) / / / = " /0 /0 /0)
192 1 192 1104 1296 1488 1680 1872 2064 2256 9 0 9 19 14
192 2 96 1392 1488 1584 1680 1776 1872 1968 9 9 14 19 9 14 9 192 3 64 1488 1552 1616 1680 1744 1808 1872 9 4 4 19 4 4 14
… … progressions ne contenant plus 1680 ET 1872
L'unique solution est : 1680, 1744, 1808, 1872 nombres dont les empans sont respectivement 19, 4, 4, 14.
D'où la progression de raison = 64 : " = 1680, . = 1744, - = 1808, ' = 1872
