A565 Qui sommes nous ?
On considère l’ensemble E des entiers naturels n≤ 2013 tels que le produit des diviseurs propres*
de n est égal à une puissance entière k > 0 de n. Par convention,on dit que l’empan de n est égal à k. Par exemple l’entier 12 appartient à E avec ses diviseurs propres 1,2,3,4 et 6 qui ont pour produit 144 = 122 et son empan est égal à 2. A l’inverse le carré parfait 25 dont le produit des diviseurs propres est égal à 5 et le nombre premier 13 dont le seul diviseur propre est 1 ne font pas partie de E.
Quatre entiers A,B,C et D pas nécessairement pris dans cet ordre et appartenant à E forment une progression arithmétique.
A : « Mon empan est pair. »
B : « J’ai sans conteste le plus grand empan dans E . »
C : « Je suis plus petit que A mais j’ai le même empan que lui. »
D : « Parmi les entiers de E supérieurs à B comme moi, tous ont un empan différent du mien. » Qui sommes-nous ?
*Nota : diviseur propre ou diviseur aliquote : tout entier naturel qui divise exactement un entier autre que lui-même .
Après avoir décomposé un nombre N en produit de facteurs premiers, on calcule le produit P des nombres obtenus en ajoutant 1 à chacun des exposants.
Si P est impair, c'est à dire si N est un carré, N n'appartient pas à E.
Si P est pair, N appartient à E, et son empan est P/2 – 1 .
L'empan maximum, celui de B semble être 19, correspondant à P = 40 .
40 = 5*2*2*2 N = a4bcd, ou bien 40 = 5*4*2 N = a4b3c, ou bien 40 = 8*5 N = a7b4, N = 24.3.5.7 = 1680, 34.2.5.7 = 5670 > 2013 trop grand, de même que N = 24.3.5.11 = 2640.
a4b3c = 24335 = 2160 > 2013. a7b4 = 2734 = 10368 > 2013.
La recherche d'un nombre N ≤ 2013 dont l'empan serait 20 ou 21 ne donne pas de résultat.
B = 1680 est adopté.
D doit être supérieur à 1680, et parmi les entiers de E, supérieurs à 1680 et distincts de D, tous ont un empan différent de celui de D.
Testons les empans par ordre décroissant en partant de 19 : 18 ? type a18b : non.
17 ? type a²b²c.d 2²3²5.7 = 1260 < B ; 2²3²5.11 = 1980 ; 2²3².7.11 = 2772 trop grand.
type a8b.c 283.5 = 3840 trop grand.
On est tenté par D = 1980 car c'est le seul parmi les entiers de E, supérieurs à 1680 à avoir l'empan 17 . Cela conduit à explorer trois suites arithmétiques :
(1680,1780,1880,1980) ; (1530,1680,1830,1980) ; (1080,1380,1680,1980), mais cette piste est vite abandonnée car tous ces nombres ont des empans impairs. 1980 ne convient pas.
16 ? type a16b : non.
15 ? les types a15b ou a3b3.c ne donnent rien.
14 ? type a4b².c 243².13 = 1872 , 243².7 est trop petit 243².17 est trop grand 342².5 trop petit et 342².7 trop grand.
1872 est le seul parmi les entiers de E, supérieurs à 1680 à avoir l'empan 14 . D = 1872 et B = 1680 conduisent à explorer les suites arithmétiques ci-dessous :
(1680,1744,1808,1872), (1584,1680,1776,1872), (1296,1488,1680,1872), (1680,1776,1872,1968) (B=1680, C=1744, A=1808, D=1872) convient car les empans de 1744 et 1808 sont pairs et égaux 1296 est le carré de 36 donc 1296 n'appartient pas à E. L'empan de 1776 est 9 donc impair. Aucune des trois dernières suites arithmétiques ne convient.
Les empans de B=1680, C=1744, A=1808, D=1872 sont (19, 4, 4, 14).
En conclusion, la suite arithmétique B=1680, C=1744, A=1808, D=1872 , de raison 64, est la seule solution.
