Le problème porte sur l’étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme

MATHÉMATIQUES I

Les calculatrices sont autorisées.

Le problème porte sur l’étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme

.

Les parties I et II traitent d’un exemple. Les parties III, IV et V, indépendantes des deux premières, ont pour objet l’étude de propriétés de la somme d’une série factorielle convergente sur l’intervalle .

Partie I - Préliminaires

I.A - Pour tout entier naturel non nul, on pose : ,

I.A.1) Montrer que la série est convergente.

I.A.2) On pose :

Calculer .

I.A.3) Pour , et pour quelconque dans ,

exprimer en fonction de et .

I.A.4) En déduire la valeur de en fonction de , pour . I.B - Soient un entier et un entier naturel .

Donner une majoration du reste

en le comparant à une intégrale.

a

n!

x x ( + 1 ) ( x + 2 )… ( x n + ) ---

n

∑

]0 +∞ , [

p n

∀ ∈ IN ∗ u n p ( , ) 1 n n ( + 1 )… ( n + p ) ---

= u n p ( , )

n

∑

σ ( ) p u n p ( , )

n=1 +∞

∑

=

σ ( ) 1

p ≥ 2 n IN∗

u n p ( , – 1 ) – u n ( + 1 , p – 1 ) np u n p ( , )

σ ( ) p p p ≥ 2

q ≥ 2 N ≥ 1

R N q ( , ) 1 n

---

n=N+1 +∞

∑

=

Filière PC

Partie II - Un exemple d’accélération de la convergence

II.A -

II.A.1) Montrer par récurrence l’existence de trois suites , et d’entiers naturels définies pour telles que, pour tout réel strictement positif et pour tout entier on ait :

II.A.2) Exprimer , et à l’aide de , et . II.A.3) Montrer que : , .

II.A.4) Calculer , , pour et .

II.B - On désire calculer une valeur décimale approchée de

avec une erreur inférieure ou égale à .

II.B.1) En utilisant I.B, déterminer un entier naturel suffisant pour que soit inférieur à .

II.B.2) Donner un majorant simple de :

et montrer, à l’aide de tout ce qui précède, comment calculer pour la même valeur de avec une valeur de moins grande que celle trouvée à la question II.B.1.

II.B.3) Donner une valeur décimale approchée à près (par défaut) de en utilisant ce qui précède.

a

( ) ( b

) ( c

)

p ≥ 2 x

p 1 x

--- a

x x ( + 1 )… ( x k + )

--- b

x c +

x

( x + 1 ) ( x + 2 )… ( x + p ) --- +

k=2 p

∑

=

a

b

c

p b

c

p

∀ ≥ 2 b

≥ c

≥ 0 a

b

c

p = 2 3 , 4

ζ ( ) 3 1 n

---

n=1 +∞

∑

=

ε = 5 10 ⋅

N 1

n

---

n=N+1 +∞

∑ ^ε

b

n c +

n

( n + 1 )… ( n + 4 ) ---

n=N+1 +∞

∑

ζ ( ) 3

ε N

ε ζ ( ) 3

Partie III - Séries factorielles

III.A -

III.A.1) Pour tout entier naturel et pour tout réel strictement positif, on pose :

, , .

Montrer que la série de terme général

, définie pour , est convergente.

III.A.2) En déduire qu’il existe (dépendant de et strictement positif) tel que :

.

III.B - Soit une suite de complexes et un réel strictement positif.

Montrer que la série est absolument convergente (en abrégé AC) si et seulement si la série est AC.

III.C - On désigne désormais par l’ensemble des suites indexées par telles que la série soit AC pour tout réel strictement positif.

Soit un élément de , montrer que : III.C.1) la fonction définie par :

est continue sur l’intervalle . III.C.2) la fonction tend vers en . III.D -

III.D.1) Donner un exemple d’un élément de avec non nul pour tout entier .

III.D.2) Donner un exemple d’une suite qui ne soit pas un élément de .

n x

u

( ) x n!

x x ( + 1 )… ( x n + ) ---

= v

( ) x 1

n + 1

( )

---

= w

( ) x u

( ) x v

( ) x ---

=

ln w

( ) x w

( ) x ---

⎝ ⎠

⎛ ⎞ n ≥ 1

l x ( ) x

u

( ) x v

( ) x ---

n→+∞

lim = l x ( ) a

( )

x

a

u

( ) x

n

∑

a

v

( ) x

n

∑

A ^{( a}

⁾

IN a

u

( ) x

n

∑

^x

a = ( a

)

A

f

x f

( ) x a

u

( ) x

n=0 +∞

∑

= a

]0 +∞ , [

f

0 +∞

a A ^a

n

a

( )

A

III.E - Soit un élément de .

III.E.1) Montrer que, pour tout entier la fonction est de classe sur l’intervalle et que :

,

III.E.2) En déduire que la fonction est de classe sur l’intervalle . N.B. On dira alors que la fonction est développable en série factorielle (sous- entendu ici sur et en abrégé DSFA) et on admettra qu’un tel développe- ment est unique.

Partie IV - Représentation intégrale

IV.A -

IV.A.1) Soit un entier naturel. On pose :

, .

Montrer que les polynômes forment une base de l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à .

IV.A.2) En déduire qu’il existe des rationnels indépendants de notés tels que :

, . Exprimer en fonction de et .

IV.B - Montrer, pour et entier naturel, l’existence de l’intégrale :

et calculer sa valeur en fonction de et . IV.C - Montrer que :

, , .

En déduire que, pour tout élément de , on a :

, .

a A

n x a u

( ) x C

]0 + , ∞ [ x

∀ > 0 u′

( ) x u

( ) x 1

--- x ln 1 n

--- x

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

⎝ + ⎠

⎛ ⎞

≤

f

C

]0 +∞ , [

f

]0 +∞ , [

n

k

∀ = 0… n P

( X + i )

i=0,i k≠ n

∏

=

P

IR

[ ] X

n

x α

, α

, …α

∀ x > 0 n!

x x ( + 1 ) ( x + 2 )… ( x n + )

--- α

x k + ---

k=0 n

∑

=

α

k n

x > 0 k

1 – y

( )

d y

0 1

∫

k x

x

∀ > 0 ∀ n ∈ IN ( 1 – y )

y

d y

0 1

∫ = x x --- ( + 1 )… ^n! ( x n + )

a A

∀ x > 0 f

( ) x a

( 1 – y )

y

d y

0 1 n=0

∫

+∞

∑

=

IV.D - Soit un élément de .

IV.D.1) Montrer que la série entière a un rayon de convergence supé- rieur ou égal à .

On note la fonction définie sur par : .

IV.D.2) Montrer que la fonction est définie sur , DSFA sur ce même intervalle et égale à .

Partie V - Dérivabilité d’une série factorielle

V.A - On reprend les notations des parties III et IV.

V.A.1) Montrer que la fonction est dérivable sur l’intervalle et que :

, .

V.A.2) Montrer que la fonction : est développable en série entière sur l’intervalle .

V.A.3) On pose :

, . Vérifier que et que :

, . V.B - Soient et . Montrer :

. V.C - Montrer que, pour tout entier tel que , on a :

.

a A

a

y

n

∑

1

φ

[ 0 1 , [

φ

( ) y a

y

n=0 +∞

∑

=

x ( 1 – y )

φ

( ) y d y

0 1

a ∫ ]0 +∞ , [

f

x a f

( ) x ]0 +∞ , [

x

∀ > 0 f ′

( ) x ( 1 – y )

φ

( )ln 1 y ( – y ) d y

0 1

= ∫

ψ

y a φ

( )ln 1 y ( – y )

]—1 1 , [

n

∀ ∈ IN b

ψ

( ) 0 --- n!

=

b

= 0

n

∀ ∈ IN

b

a

n – p ---

p=0 n–1

∑

–

=

x > 0 N ≥ 1 b

n + 1

( )

---

n=1 N

∑ ^a

_{k k} ¹ _{p 1}

+ +

( )

---

k=1 N–p

⎝ ∑ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

p=0 N–1

∑

≤

p 0 ≤ p ≤ N – 1 1

k k ( + p + 1 )

---

k=1 N–p

∑ _p ¹

+ 1

( )

--- d t

t t ( + p + 1 )

---

1

∫

+

≤

V.D - Montrer que :

.

V.E - En déduire que la série de terme général est AC pour . V.F - Montrer enfin que la fonction est DSFA sur l’intervalle et que :

, . V.G - Exemple

Montrer que la fonction est DSFA sur et calculer les coeffi- cients notés et pour les fonctions et pour .

Vérifier qu’on retrouve ainsi les calculs faits en seconde partie.

••• FIN •••

1 k k ( + p + 1 )

---

k=1 N–p

∑ ^ln _p ^{( p + 1 )}

+ 1

( )

--- 1 1 x ---

⎝ + ⎠

⎛ ⎞ 1

p + 1

( )

--- +

≤

b

n + 1

( )

--- x > 0

f ′

]0 +∞ , [

x

∀ > 0 f ′

( ) x b

u

( ) x

n=0 +∞

∑

=

x f x ( ) 1 x ---

=

a ]0 +∞ , [

a′

a″

f ′ f ″ n = 0 1 2 3 4 , , , ,