PROBLÈME ; ÉCHANGES DE LIMITES ET D’INTÉGRALES

SESSION 2007

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE

EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

EXERCICE

a. f est continue sur le compact [0, 1]² en tant que quotient de fonctions continues sur [0, 1]² dont le dénominateur ne s’annule pas sur[0, 1]², à valeurs dansR. On sait alors quefadmet un maximum sur ce compact.

b. f est de classe C¹ sur l’ouvert]0, 1[². On sait alors que sif admet un maximum en un point(x₀, y₀) de cet ouvert, (x0, y0)est un point critique de f. Or, pour(x, y)∈]0, 1[²

∂f

∂x(x, y) = 1

1+y²×(1+x²) −2x(x+y)

(1+x²)² = 1−x²−2xy (1+y²)(1+x²)², puis en échangeant les rôles dexety

∂f

∂y(x, y) = 1−y²−2xy (1+x²)(1+y²)². Par suite, pour(x, y)∈]0, 1[²,









∂f

∂x(x, y) =0

∂f

∂y(x, y) =0

⇔

1−x²−2xy=0 1−y²−2xy=0 ⇔

y²=x²

1−x²−2xy=0 ⇔

y=x 1−3x²=0

⇔x=y= 1

√3.

Ainsi, sifadmet un maximum dans]0, 1[², ce maximum est f

1

√3, 1

√3

= 2/√ 3

1+1 3

2 = 2

√3 × 9 16= 3√

3 8 .

c.SoientA= (0, 0), B= (1, 0), C= (0, 1)etD= (1, 1).

• Pourx∈[0, 1],f(x, 0) = x

1+x². Or d dx

x 1+x²

= 1−x²

(1+x²)². Par suite, la fonctionx7→f(x, 0)est croissante sur[0, 1]et admet donc un maximum en1égal àf(0, 1)c’est-à-dire 1

2. Doncfadmet un maximum sur[AB]égal à 1 2.

• Pourx∈[0, 1],f(x, 1) = x+1

2(1+x²). Or d dx

x+1 2(1+x²)

(x) = (1+x²) −2x(x+1)

2(1+x²)² = 1−2x−x²

2(1+x²)². Par suite, la fonctionx7→f(x, 1)est croissante sur[0,√

2−1], décroissante sur[√

2−1, 1]et admet donc un maximum en

√2−1(∈[0, 1])égal àf(√

2−1, 1)avec f(√

2−1, 1) =

√2 2(1+ (√

2−1)²) =

√2 2(4−2√

2)= 1

4(√

2−1) =

√2+1

4 =0, 6 . . . > 1 2. Ainsi,fadmet sur[AB]∪[CD]un maximum égal à Max{1

2,

√2+1

4 }ou encore

√2+1

4 . Par symétrie des rôles de xety, fadmet un maximum sur[AC]∪[BD] égal à

√2+1

4 et finalement

http ://www.maths-france.fr 1 ^c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.

le maximum def sur la frontière deFest égal à

√2+1 4 .

On a 3√ 3

8 =0, 64 . . .et

√2+1

4 =0, 60 . . .. Donc 3√ 3 8 >

√2+1

4 ce qui montre que M= 3√

3 8 .

PROBLÈME ; ÉCHANGES DE LIMITES ET D’INTÉGRALES

PARTIE PRÉLIMINAIRE 1. Fonction Gamma d’Euler

a.Soitx∈]0,+∞[. La fonctiont7→e^−tt^x−1est continue (et donc localement intégrable sur]0,+∞[.

• Quandttend vers0par valeurs supérieures,0 < e^−tt^x−1∼t^x−1. Or, puisquex−1 >−1, la fonctiont7→t^x−1est intégrable sur un voisinage de0et on en déduit que la fonctiont7→e^−tt^x−1est intégrable sur un voisinage de0.

• Quandttend vers+∞,e^−tt^x−1=o 1

t²

d’après les théorèmes de croissances comparées. On en déduit que la fonctiont7→e^−tt^x−1est intégrable sur un voisinage de+∞.

Finalement

∀x∈]0,+∞[, la fonctiont7→e^−tt^x−1est intégrable sur]0,+∞[.

b.Soitx > 0. Soientε et Adeux réels tels que0 < ε < A. Les deux fonctions t7→t^x ett7→−e^−t sont de classeC¹sur [ε, A]. On peut donc effectuer une intégration par parties qui fournit

ZA

ε

t^xe^−tdt=

−t^xe^−tA ε +x

ZA

ε

t^x−1e^−tdt= −A^xe^−A+ε^xe^−ε. Puisquex > 0, quandε tend vers0etAtend vers+∞on obtient

Γ(x+1) = Z+∞

0

t^xe^−tdt=x Z+∞

0

t^x−1e^−tdt=xΓ(x).

∀x > 0, Γ(x+1) =xΓ(x).

EnsuiteΓ(1) = Z+∞

0

e^−tdt=

−e^−t+∞

0 =1 et puisque pourn∈N^∗,Γ(n+1) =nΓ(n), par récurrence on obtient

∀n∈N^∗, Γ(n) = (n−1)!.

2. Fonction zêta de Riemann

a.Soientn∈N^∗ etx∈]1,+∞[. Par décroissance de la fonctiont7→ 1

t^x sur]0,+∞[on a Rn(x) =

+∞

X

k=n+1

1 k^x ≤

+∞

X

k=n+1

Zk

k−1

1 t^x dt=

Z+∞

n

1 t^x dt=

−1 (x−1)t^x−1

+∞

n

= 1

(x−1)n^x−1 (carx−1 > 0).

∀n∈N^∗, ∀x∈]1,+∞[, Rn(x)≤ 1 (x−1)n^x−1. b. Soientpun entier supérieur ou égal à2et ε > 0. Pourn∈N^∗

Xn

k=1

1

k^p −ζ(p)

=

+∞X

k=n+1

1

k^p =R_n(p)≤ 1 (p−1)n^p−1.

Mais alors

Xn

k=1

1

k^p −ζ(p)

≤ε⇐ 1

(p−1)n^p−1 ≤ε⇔n^p−1≥ 1

(p−1)ε ⇐n≥ ^p−1 r 1

(p−1)ε ⇐n≥E

p−1

r 1 (p−1)ε

+1.

Pour n≥E

p−1

r 1 (p−1)ε

+1,

Xn

k=1

1

k^p −ζ(p)

≤ε.

c.Si nest un entier non nul donné tel que

Xn

k=1

1

k⁷−ζ(7)

≤10⁻⁶

2 , une valeur approchée de Xn

k=1

1

k⁷ à 10⁻⁶

2 (c’est-à-dire arrondie à la sixième décimale la plus proche) est une valeur approchée deζ(7)à 10⁻⁶près. Or pour ε= 10⁻⁶

2 etp=7 E

p−1

r 1 (p−1)ε

+1=E ⁶ r10⁶

3

!

+1=9.

La machine fournit X9

k=1

1

k⁷ =1,008 349 0 . . .ou encore1,008 349arrondi à la sixième décimale la plus proche. Donc ζ(7) =1,008 349à 10⁻⁶près.

PREMIÈRE PARTIE : SUITE DE FONCTIONS

3 Théorème de convergence uniforme pour les suites de fonctions. Pour chaque n, le fonctionfn est continue sur le segment[a, b] et donc la suite

Zb

a

fn(x)dx

!

est définie. Puisque la suite de fonctions continues (fn) converge uniformément vers f sur [a, b], la fonction f est continue sur le segment [a, b] et donc

Zb

a

f(x) dx existe. Pour n ∈ N, posonsM_n =sup|fn−f|

[a,b]

. Puisque chaque fonction f_n−f est continue sur le segment[a, b] la suite , la suite (M_n) est définie et puisque la suite de fonctions (f_n)converge uniformément versf sur [a, b], la suite(M_n) tend vers0quand n tend vers+∞. Or pourn∈N,

Zb

a

fn(x)dx− Zb

a

f(x)dx

=

Zb

a

(fn(x) −f(x))dx

≤ Zb

a

|fn(x) −f(x)|dx≤Mn(b−a).

CommeM_n(b−a)tend vers0 quandn tend vers+∞, on en déduit que la suite de réels Zb

a

f_n(x)dx

!

converge vers le réel

Zb

a

f(x)dx.

4. Exemples et contre-exemples. a.Soit n ∈ N\ {0, 1}. Soit fn la fonction définie et continue sur [0, 1], nulle sur [2

n, 1], affine sur[0,1

n] et sur[1 n,2

n]telle quef(0) =0,f(1

n) =n,f(2

n) =0. Pourx∈[0, 1], on a précisément

f_n(x) =













n²xsix∈[0,1 n]

−n²(x− 2

n)six∈[1 n, 2

n] 0six∈[2

n, 1]

.

• Z1

0

fn(x) dx est l’aire du triangle joignant les points (0, 0), (1

n, n) et (2

n, 0). Cette aire vaut (2/n)×n

2 c’est-à-dire 1.

Donc lim

n→+∞

Z1

0

f_n(x)dx=1.

• Pour n≥2, fn(0) =0 et donc la suite(f_n(0))converge vers0. D’autre part, si x∈]0, 1], dès quen≥ 2

x, on a 2 n ≤x et doncfn(x) =0. La suite(f_n(x))est nulle à partir d’un certain rang et en particulier converge vers0. Ainsi, pour tout réelxde [0, 1], la suite (f_n(x))converge vers0 ou encore la suite de fonctions(f_n) converge simplement vers la fonction nulle sur[0, 1].

•fest ici la fonction nulle et donc Z1

0

f(x)dx=06= lim

n→+∞

Z1

0

fn(x)dx.

1/n 2/n n

y=

nf (x )

1 aire=1

b.Pour x∈[0, 1] etn∈N^∗, posonsf_n(x) =xⁿ. Puisque Z1

0

xⁿdx= 1

n+1, on a lim

n→+∞

Z1

0

f_n(x)dx=0. D’autre part, la suite de fonctions(f_n)converge simplement vers la fonctionf définie par :∀x∈[0, 1], f(x) =

0six∈[0, 1[

1six=1 . Puisque fest continue par morceaux sur[0, 1],

Z1

0

f(x)dxexiste et de plus Z1

0

0 dx=0(intégrale d’une fonction en escaliers). Par suite ici

n→lim+∞

Z1

0

f_n(x)dx= Z1

0

f(x)dx.

Enfin, la suite de fonctionsf_n)ne peut converger uniformément versf sur[0, 1]car chaque fonction f_n est continue sur [0, 1] alors quef ne l’est pas.

5. Cas d’un intervalle quelconque. a. • Chaque fonction f_n est continue sur [0,+∞[ et négligeable devant 1 x² en +∞. Donc chaque fonction f_n est intégrable sur[0,+∞[. De plus, d’après la question 1.b., pourn∈Non a

Z+∞

0

f_n(x)dx= 1 n!

Z+∞

0

xⁿe^−xdx= 1

n! ×Γ(n+1) =1.

Ainsi la suite Z+∞

0

fn(x)dx

converge et lim

n→+∞

Z+∞

0

fn(x)dx=1.

•D’autre part sixest un réel positif donné, la suite numérique(f_n(x))converge et lim

n→+∞f_n(x) =0d’après les théorèmes de croissances comparées (xⁿ =

n→+∞ o(n!)).

Ainsi, la suite de fonctions(f_n)converge simplement sur[0,+∞[vers la fonction nulle. Mais alors ici Z+∞

0

f(x)dx=06= lim

n→+∞

Z+∞

0

fn(x)dx.

•Vérifions enfin que la suite de fonctions(f_n)converge uniformément vers la fonction nulle sur[0,+∞[.

Soitn∈N^∗. Pour x≥0,

f_n^′(x) = 1

n!(nxⁿ⁻¹−xⁿ)e^−x= (n−x)xⁿ⁻¹e^−x n! .

La fonctionf_n est donc croissante sur[0, n]et décroissante sur[n,+∞[. On en déduit que pour x≥0 0≤fn(x)≤fn(n) = nⁿe⁻ⁿ

n! . Ainsi∀n∈N^∗, kf_nk∞ = nⁿe⁻ⁿ

n! . Enfin d’après la formule deStirling nⁿe⁻ⁿ

n! ∼

n→+∞

nⁿe⁻ⁿ

n e

n√

2πn = 1

√2πn, et donc lim

n→+∞kfnk∞ =0 ce qui montre que la suite de fonctions(f_n) converge uniformément vers la fonction nulle sur [0,+∞[.

LeTH 1est donc faux quand l’intervalleIn’est pas borné.

b. De nouveau, la fonction f est continue sur l’intervalle I en tant que limite uniforme sur I d’une suite de fonctions continues surI.

i. Puisque la suite de fonctions (f_n) converge uniformément vers la fonction f sur l’intervalle I, la suite numérique (kf_n−fk∞)est définie à partir d’un certain rang et tend vers0 quandntend vers+∞. Par suite, il existe un entierptel quekf_p−fk∞ ≤1.

Soit alorsx∈[0,+∞[.

|f(x)|≤|f(x) −fp(x)|+|fp(x)|≤ kfp−fk∞+|fp(x)|≤1+|fp(x)|.

De nouveau, la fonctionfest continue sur l’intervalleIen tant que limite uniforme surId’une suite de fonctions continues surI. De plus la fonction|f|est majorée surIpar la fonction1+|fp|qui est intégrable surIen tant que somme de fonctions intégrables surI(la fonctionx7→1 est intégrable surIcar bornée surIborné).

Finalementfest intégrable surI.

ii.Pour nsuffisamment grand,kfn−fk∞ existe et

Z

I

fn(x)dx− Z

I

f(x)dx

= Z

I

(f_n(x) −f(x))dx ≤

Z

I

|f_n(x) −f(x)|dx≤ Z

I

kfn−fk∞ dx=ℓ(I)× kfn−fk∞ _n→−→_+∞ 0,

et leTH 1reste vrai dans le cas où l’intervalleIest borné.

6. Théorème de convergence dominée pour les suites de fonctions.

a.Chaque fonctionfn est continue par morceaux sur l’intervalleIet est majorée en valeur absolue par la fonction ϕqui est intégrable surI. On en déduit que chaque fonctionfn est intégrable surI.

Soitx∈I. Pour tout entiern, on a|fn(x)|≤ϕ(x)et quand ntend+∞on obtient|f(x)|≤ϕ(x). Ainsi la fonctionf est par hypothèse continue par morceaux surIet majorée en valeur absolue sur Ipar la fonctionϕ qui est intégrable surI.

On en déduit quefest aussi intégrable surI.

b. i.Pour x∈ [0,π

2] =I et n ∈N, posonsfn(x) =sinⁿx. La suite de fonctions(f_n)converge simplement sur I vers la fonctionf définie par∀x∈I, f(x) =





0six∈[0,π 2[ 1six= π

2

. Chaque fonction f_n est continue par morceaux surIet majorée en valeur absolue par la fonctionϕ : x7→1 qui est intégrable sur l’intervalle I. De plus la fonctionf est continue par morceaux surI. D’après leTH 2,

n→lim+∞

Zπ/2

0

sinⁿx dx= Zπ/2

0

f(x)dx=0.

On sait que ce résultat classique sur les intégrales deWallisest plus pénible à obtenir directement.

ii.Chaque fonction f_n est continue par morceaux sur[0,+∞[. La suite de fonctionsf_n converge simplement sur[0,+∞[ vers la fonctionf : x7→ 1

1+x² qui est continue par morceaux sur[0,+∞[. De plus chaque fonction est majorée en valeur absolue surIpar la fonctionϕ : x7→ e

1+x² qui est continue et intégrable sur[0,+∞[. D’après leTH 2

n→lim+∞

Z+∞

0

e^sin(nx) 1+x² dx=

Z+∞

0

1

1+x² dx= [Arctanx]⁺₀^∞ = π 2. DEUXIÈME PARTIE : SÉRIE DE FONCTIONS

7. Théorème de convergence uniforme pour les séries de fonctions. Pour n∈N, on poseSn = Xn

k=0

fk. Chaque fonctionSn est continue sur[a, b]et par linéarité de l’intégrale, pourN∈Non a

XN

n=0

Zb

a

f_k(x)dx= Zb

a

XN

k=0

f_n(x)

! dx=

Zb

a

S_N(x)dx.

Par hypothèse, la suite de fonctions(S_N)converge uniformément sur[a, b]vers la fonctionf : x7→

+∞X

n=0

f_n(x). La fonction

fest alors continue sur le segment[a, b]et de plus d’après leTH 1, la suite(SN)N∈N= XN

n=0

Zb

a

fn(x)dx

!

N∈N

converge vers

Zb

a

f(x)dxou encore la série de terme général Zb

a

fn(x)dxconverge et

+∞X

n=0

Zb

a

f_n(x)dx= Zb

a +∞X

n=0

f_n(x)

! dx.

8. Application : séries trigonométriques et séries de Fourier.

a.Le théorème deParsevaldit que sif est une fonction continue par morceaux surRà valeurs dansR,2π-périodique, alors la série de terme générala²_n+b²_n converge et

a²₀ 2 +

+∞X

n=1

(a²_n+b²_n) = 1 π

Z2π

0

f²(x)dx.

Ici,a²_n+b²_n =0²+ 1

√n 2

= 1

n et donc la série de terme générala²_n+b²_n diverge. La série trigonométrique de l’énoncé n’est donc pas la série deFourierd’une fonction fonction continue par morceaux surRet 2π-périodique.

b.Pourx∈R, posonsf(x) = a0

2 +

+∞X

n=1

(a_ncos(nx) +bnsin(nx)).fest continue sur Ren tant que limite uniforme sur Rd’une suite de fonctions continues surR. De plusf est2π-périodique. Calculons alors les coefficients deFourierdef.

Soitn∈N^∗. D’après leTH 3, on peut intégrer terme à terme sur le segment[a, b]et on obtient

1 π

Z2π

0

f(x)cos(nx)dx= a0

2π Z2π

0

cos(nx)dx+ 1 π

+∞

X

p=1

ap

Z2π

0

cos(nx)cos(px)dx+bp

Z2π

0

cos(nx)sin(px)dx

!

=0+ 1

π×πan=an,

Pourn=0, on a également 1 π

Z2π

0

f(x)cos(0x)dx= a0

2π Z2π

0

dx+0=a₀. De même pourn∈N^∗,

1 π

Z2π

0

f(x)sin(nx)dx= a0

2π Z2π

0

sin(nx)dx+ 1 π

+∞

X

p=1

ap

Z2π

0

sin(nx)cos(px)dx+bp

Z2π

0

sin(nx)sin(px)dx

!

=0+ 1

π×πbn=bn.

Finalement, une série trigonométrique uniformément convergente sur R est continue sur R et est sa propre série de Fourier.

9. Intégration terme à terme d’une série de fonctions.

a. Soit x ∈ R. Puisque la série de terme général an converge, an tend vers 0 quand n tend vers +∞. Mais alors anxⁿ

n! =

n→+∞ o xⁿ

n!

. On sait que la série de terme général xⁿ

n! converge et on en déduit que la série de terme général anxⁿ

n! converge ou encore que la série de fonctions de terme généralfn : x7→ anxⁿ

n! converge simplement surRvers la fonctionf : x7→

+∞

X

n=0

anxⁿ n! .

Mais alorsfest la somme surRd’une série entière de rayon infini et on sait quefest continue surR.

b.Pour n∈N, notonsgn la fonctiongn : x7→fn(x)e^−x. Chaque fonction gn est continue sur[0,+∞[. De plus Z+∞

0

|g_n(x)|dx= |a_n| n!

Z+∞

0

xⁿe^−xdx= |a_n|Γ(n+1)

n! =|a_n|<+∞,

ce qui montre quegn est intégrable sur[0,+∞[. Ensuite la série de fonctions de terme généralgn converge simplement sur[0,+∞[vers la fonction g : x7→f(x)e^−x qui est continue surRpuisquef l’est et de plus

+∞X

n=0

Z+∞

0

|g_n(x)|dx=

X+∞

n=0

|a_n|<+∞.

D’après le TH 4, la fonction x 7→ f(x)e^−x est intégrable sur [0,+∞[ et de plus on peut intégrer terme à terme pour obtenir :

Z+∞

0

f(x)e^−xdx=

+∞X

n=0

a_n n!

Z+∞

0

xⁿe^−xdx=

+∞X

n=0

a_n. Z+∞

0

X+∞

n=0

a_nxⁿ n!

!

e^−xdx= X+∞

n=0

a_n.

10. Cas où les TH 3 et TH 4 ne s’appliquent pas.

a.Pourn∈N, lim

x→1(−1)ⁿxⁿ= (−1)ⁿ. Mais alors la série de terme général lim

x→1(−1)ⁿxⁿ diverge (grossièrement) et d’après le théorème d’interversion des limites, la série de fonctions de terme généralx7→(−1)ⁿxⁿ ne converge pas uniformément sur[0, 1[.

b.

+∞X

n=0

Z1

0

|(−1)ⁿxⁿ| dx=

X+∞

n=0

Z1

0

xⁿ dx=

+∞X

n=0

1 n+1 =

+∞X

n=1

1

n = +∞. Les hypothèses du TH 4 ne sont donc pas toutes vérifiées.

c.

Z1

0 +∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ

! dx=

Z1

0

dx

1+x =ln(2). D’autre part, pourN∈N, XN

n=0

Z1

0

(−1)ⁿxⁿ dx= Z1

0

XN

n=0

(−1)ⁿxⁿdx= Z1

0

1− (−1)^N+1x^N+1

1+x dx=ln2− (−1)^N+1 Z1

0

x^N+1 1+x dx.

Or

(−1)^N+1 Z1

0

x^N+1 1+x dx

= Z1

0

x^N+1 1+x dx≤

Z1

0

x^N+1dx= 1 N+2.

Comme 1

N+2 tend vers0quandNtend vers+∞,(−1)^N+1 Z1

0

x^N+1

1+x dxtend vers0quandNtend vers+∞et finalement XN

n=0

Z1

0

(−1)ⁿxⁿdxtend vers ln2quandN tend vers+∞.

X+∞

n=0

Z1

0

(−1)ⁿxⁿdx=ln2= Z1

0

X+∞

n=0

(−1)ⁿxⁿdx.

11. Théorème de convergence monotone. Chaque fonctionSn est continue par morceaux sur Iet intégrable surI en tant que somme de fonctions continues par morceaux et intégrables surI. La suite(Sn)converge simplement surIvers la fonctionfqui est continue par morceaux surI. De plus, puisque les fonctionsfk sont positives surI, pour chaquenon a

|S_n|= Xn

k=0

f_k≤ X+∞

k=0

f_k=f,

oùfest continue par morceaux et intégrable surI. Ainsi la suite(S_n)vérifie les hypothèses du théorème de convergence dominée et donc la série X

n≥0

Z

I

fn(x)dxconverge et

+∞

X

n=0

Z

I

fn(x)dx= Z

I +∞

X

n=0

fn(x)

! dx.

12. Application à la physique.

a.Pourt∈]0,+∞[, puisquee^−t< 1, on a t³

e^t−1 =t³e^−t× 1

1−e^−t =t³e^−t

+∞

X

n=0

e^−nt=

+∞

X

n=0

t³e^−(n+1)t.

Pourn∈Nett∈]0,+∞[, posonsfn(t) =t³e^−(n+1)t. Chaque fonctionfn est continue sur]0,+∞[, intégrable sur]0,+∞[ car prolongeable par continuité en0et négligeable devant 1

t² en+∞. Les fonctionsfnsont toutes positives sur]0,+∞[et la série de fonctions de terme généralf_n converge simplement sur]0,+∞[vers la fonctionf : t7→ t³

e^t−1 qui est continue et intégrable sur]0,+∞[pour les mêmes raisons que lesfn ( t³

e^t−1 ∼

t→0t²).

D’après le théorème de convergence monotone Z+∞

0

t³ e^t−1 dt=

+∞

X

n=0

Z+∞

0

t³e^−(n+1)tdt.

En posantu= (n+1)t, on a Z+∞

0

t³e^−(n+1)tdt= 1 (n+1)⁴

Z+∞

0

u³e^−u du= Γ(4)

(n+1)⁴ = 6

(n+1)⁴ et donc Z+∞

0

t³ e^t−1 dt=

X+∞

n=0

6

(n+1)⁴ =6 X+∞

n=1

1

n⁴ =6ζ(4) =6×π⁴ 90 = π⁴

15. Z+∞

0

t³

e^t−1 dt= π⁴ 15.

b.Posonst= hc

k₈λT et doncλ= hc

k₈tT et aussidλ= − hc k₈λ²T dt.

M= c 4

Z+∞

0

8πhc λ⁵

1 exp

hc k8λT

−1 dλ=

Z0

+∞

2πhc²×k⁵₈t⁵T⁵ h⁵c⁵

1

e^t−1 ×−hc dt k8t²T

= 2πk⁴₈T⁴ h³c²

Z+∞

0

t³

e^t−1× dt= 2πk⁴₈T⁴ h³c² ×π⁴

15 = 2π⁵k⁴₈ 15h³c²T⁴.

M=σT⁴oùσ= 2π³k⁴₈ 15h³c². 13. Généralisation.

a.Soitx > 1. Pourt > 0 on a t^x−1

e^t−1 =t^x−1e^−t× 1

1−e^−t =t^x−1e^−t X+∞

n=0

e^−nt = X+∞

n=0

t^x−1e^−(n+1)t. Pourx > 1,n∈Net t > 0, posonsfn(t) =t^x−1e^−(n+1)t.

•Chaque fonctionfn est continue et positive sur]0,+∞[, intégrable sur]0,+∞[car équivalente en0àt^x−1avecx−1 >

0 >−1 et négligeable en+∞devant 1 t².

•La série de fonction de terme généralfn converge simplement sur]0,+∞[vers la fonctiont7→ t^x−1

e^t−1 qui est continue par morceaux et intégrable sur]0,+∞[car équivalente en0à t^x−2avecx−2 >−1 et négligeable en+∞devant 1

t². D’après le théorème de convergence monotone, pourx > 1on a

Z+∞

0

t^x−1 e^t−1 dt=

+∞X

n=0

Z+∞

0

t^x−1e^−(n+1)tdt

=

+∞

X

n=0

Z+∞

0

u n+1

x−1

e^−u du n+1 =

+∞

X

n=0

1 (n+1)^x

Z+∞

0

u^x−1e^−udu=Γ(x)

+∞

X

n=1

1 n^x

=Γ(x)×ζ(x).

∀x > 1, Z+∞

0

t^x−1

e^t−1 dt=Γ(x)×ζ(x).

b.Pour x=2, on obtient Z+∞

0

t

e^t−1 dt=Γ(2)×ζ(2) =1×π² 6 = π²

6 . Z+∞

0

t

e^t−1 dt= π² 6 .

Pourx=7, on obtient Z+∞

0

t⁶

e^t−1 dt=Γ(7)×ζ(7) =720ζ(7). On a vu à la question 2.c. que|ζ(7) −1, 008349| < 10⁻⁶ et donc

|720ζ(7) −720×1, 008349|< 720×10⁻⁶< 10⁻³.

Une valeur approchée de Z+∞

0

t⁶

e^t−1 dtà 10⁻³près est donc720×1, 008349=726, 01128.

Z+∞

0

t⁶

e^t−1 dt=726, 01128à10⁻³ près.