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(9 pts.) Calculer, pour a &gt

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Academic year: 2021

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M48 Outils math´ematiques pour les sciences.

S4 Licence P et PC – 2014-2015 Universit´e Lille 1, UFR de Math´ematiques

Responsable: S. De Bi`evre

Interrogation ´Ecrite I, 11 f´evrier 2015 Dur´ee 45 minutes

Les documents, calculettes et t´el´ephones portables ne sont pas autoris´es.

R´epondre dans les espaces pr´evus `a cet effet.

Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif.

NOM: Pr´enom:

LICENCE: P ou PC (souligner ou encadrer la mention utile) Exercice 1. (9 pts.) Calculer, pour a > 1, Rπ

0 1

a+cos(x) dx. Indication: On pensera `a utiliser le changement de variables u = tan(x2) pour se ramener au calcul de R+∞

0

du

1+(a−1a+1)u2. Puis on conclura.

(2)

Exercice 2. (6 pts.) Calculer, pour tout n ∈ Z∗, In = R2π

0 xexp(inx) dx. Que vaut limn→+∞In?

Exercice 3. (5 pts.) Calculer la d´eriv´ee de la fonction f(x) = (sinhx)(arctanx).

Montrer qu’elle a un minimum global enx= 0 et tracer qualitativement son graphe.

Références

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