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Responsable: S. De Bi` evre

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Academic year: 2021

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M48 Outils math´ ematiques pour les sciences S4 – 2013-2014 Universit´ e Lille 1, UFR de Math´ ematiques

Responsable: S. De Bi` evre

Interrogation ´ Ecrite I, 12 f´ evrier 2014 Dur´ ee 45 minutes

Les documents, calculettes et t´ el´ ephones portables ne sont pas autoris´ es.

R´ epondre dans les espaces pr´ evus ` a cet effet.

Le barˆ eme est donn´ e ` a titre indicatif.

Exercice 1. (5 pts.) Calculer R 2π

0 cos 2 x dx. Indication: On pensera ` a exprimer cos 2 x en termes de cos 2x.

Exercice 2. (5 pts.)Calculer R +∞

0 x exp(−x) dx.

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Exercice 3. (6 points) Donner les deux premiers termes du d´ eveloppement limit´ e de cos x et de ln(1 + x) autour de x = 0. Utiliser ces r´ esultats pour calculer la limite quand n → ∞ de (cos n 1 ) n et de (cos 1 n ) n

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.

Exercice 4. (2 pts.) Calculer la d´ eriv´ ee de la fonction f(x) = (cosh x)(arcsin x).

Exercice 5. (2 pts.) ´ Enoncer le th´ eor` eme des suites monotones.

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