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(1)

Tex

te en fili gran e

Mr.Dhaouadi Ameur Bac Math-Sc

Liste d’exercices n˚1 Limites et continuit´ e

Exercice 1 :

Soit la fonction f d´ efinie par



 



 



f (x) = x + 1 − cos(πx)

x si x < 0 f (x) = √

x ² + x + 1 − x si x > 0 1. Calculer lim x→+∞ f(x) .

2. Montrer que : pour tout x ∈ ]−∞, 0[ on a : x + 2

x 6 f(x) 6 1 et en d´ eduire lim

x→−∞ f(x).

3. Monter que f est continue sur R .

4. a) Montrer que l’´ equation f (x) = 0 admet au mois une solution dans −1

2 , 0

. b) En d´ eduire que sin(πα) = − √

−α ² − 2α .

Exercice 2 :

la courbe ζ f repr´ esent´ ee ci-contre est la courbe repr´ esentative d’une fonction f d´ efinie et conti- nue sur R {−1} . On sait que :

8 La droite ∆ : y = x − 1 est une asymptote ` a ζ _f au voisinage de +∞ .

8 La droite ∆ ⁰ : y = −1 est asymptote ` a ζ _f au voisinage de −∞ .

8 La droite d’´ equation x = −1 est une asymp- tote ` a ζ _f .

1. A l’aide du graphique et des renseignements fournis d´ eterminer : a) lim _x→+∞ f(x) , lim

x→−∞ f (x) et lim

x→+∞ (f(x) − x + 1) . b) lim

x→−1 f (x) . En d´ eduire lim _x→−∞ f( −x + 1 x + 1 ) . c) lim

x→+∞

f(x)

x . En d´ eduire lim

x→+∞

f (x ² + 1)

x .

2. Soit la fonction g : x 7→ 1 p f(x) .

a) D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition de g .

b) Montrer que la fonction g est prolongeable par continuit´ e en −1 . 3. a) D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition de f ◦ f .

b) D´ eterminer lim

x→+∞ f ◦ f (x) , lim

x→+∞ f ◦ f (x) et lim

x→−1

f ◦ f (x) f (x) .

A.S 2015/2016 1 Tel: 22 851 296

(2)

Tex

te en fili gran e

Exercice 3 :

Le plan est rapport´ e au rep` ere orthonorm´ e (o, − →

i , − →

j ) . La courbe (C) est celle d’ une fonc- tion f d´ efinie sur R {1} .

La droite d’´ equation : y = 1

2 x−1 est une asymp- tote oblique ` a (C) au voisinage de −∞.

La droite d’´ equation : x = 1 est asymptote ver- ticale.

(C) repr´ esente une branche parabolique de di- rection y = x au voisinage de +∞.

1. D´ eterminer les limites suivantes : 8 lim

x→−∞ f(x) , lim

x→−∞

1 f(x) et lim

x→−∞

1 f (x) − x + 2 . 8 lim

x→+∞

x

f(x) et lim

x→2

⁺

x − 1 f (x) − 1 . 2. D´ eterminer : f (]−∞, 1[) et f(]1, 2]) .

3. Soit la fonction g d´ efinie par



 



 



g(x) = x + 1 − cos(πx)

x si x < 0 g(x) = √

x ² + x + 1 − x si x > 0 a) Calculer lim

x→+∞ f(x) et lim

x→−∞ f(x) . b) Prouver queg est continue en 0 . 4. D´ eterminer lim

x→1

⁻

g ◦ f(x) et lim

x→0

⁻

g ◦ 1 f(x) . Exercice 4 :

Soit la fonction f d´ efinie sur R {1} par : f(x) =



 



 



√ xsin( π x )

x − 1 si x ∈ R ^∗ + {1}

√ x ² − 2x + x si x 6 0 1. a) Encadrer f(x) pour tout x ∈ ]0, 1[ .

b) Montrer alors que f est continue en 0 . c) Calculer lim

x→+∞ f(x) , lim

x→+∞

√ xf (x) et lim

x→−∞ f (x) . 2. On pose u(x) = π(x − 1)

x ; v(x) = sinx

x et w(x) = π

√ x pour tout x ∈ R ^∗ + {1}

a) V´ erifier que f(x) = w(x).v ◦ u(x) pour tout x ∈ R ^∗ + {1} . b) En d´ eduire que f admet un prolongement par continuit´ e en 1 . c) Montrer que l’´ equation sin( π

x ) = 3( √

x − 1

√ x ) admet dans ]1, 2[ une solution α .

2

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r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r j r r r r r r u r r r ⎛ ⎞ j u u ∧ ∧ E c E c B t B t B t E t 0 div B B B B B B E E E E E E = = = = = B B − E f f = gradV ( ( cos( z 0 y e )cos( )cos( k z ) t e t − − kz kz ) ) u u u r r k ∧

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Exercice 1 :

Soit la fonction f d´ efinie par



 

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f (x) = x + 1 − cos(πx)

x si x < 0 f (x) = √

x 2 + x + 1 − x si x > 0 1. Calculer lim x→+∞ f(x) .

2. Montrer que : pour tout x ∈ ]−∞, 0[ on a : x + 2

x 6 f(x) 6 1 et en d´ eduire lim

x→−∞ f(x).

3. Monter que f est continue sur R .

4. a) Montrer que l’´ equation f (x) = 0 admet au mois une solution dans −1

2 , 0

. b) En d´ eduire que sin(πα) = − √

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Exercice 2 :

la courbe ζ f repr´ esent´ ee ci-contre est la courbe repr´ esentative d’une fonction f d´ efinie et conti- nue sur R {−1} . On sait que :

8 La droite ∆ : y = x − 1 est une asymptote ` a ζ f au voisinage de +∞ .

8 La droite ∆ 0 : y = −1 est asymptote ` a ζ f au voisinage de −∞ .

8 La droite d’´ equation x = −1 est une asymp- tote ` a ζ f .

1. A l’aide du graphique et des renseignements fournis d´ eterminer : a) lim x→+∞ f(x) , lim

x→−∞ f (x) et lim

x→+∞ (f(x) − x + 1) . b) lim

x→−1 f (x) . En d´ eduire lim x→−∞ f( −x + 1 x + 1 ) . c) lim

x→+∞

f(x)

x . En d´ eduire lim

x→+∞

f (x 2 + 1)

x .

2. Soit la fonction g : x 7→ 1 p f(x) .

a) D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition de g .

b) Montrer que la fonction g est prolongeable par continuit´ e en −1 . 3. a) D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition de f ◦ f .

b) D´ eterminer lim

x→+∞ f ◦ f (x) , lim

x→+∞ f ◦ f (x) et lim

x→−1

f ◦ f (x) f (x) .

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Exercice 3 :

Le plan est rapport´ e au rep` ere orthonorm´ e (o, − →

i , − →

j ) . La courbe (C) est celle d’ une fonc- tion f d´ efinie sur R {1} .

La droite d’´ equation : y = 1

2 x−1 est une asymp- tote oblique ` a (C) au voisinage de −∞.

La droite d’´ equation : x = 1 est asymptote ver- ticale.

(C) repr´ esente une branche parabolique de di- rection y = x au voisinage de +∞.

1. D´ eterminer les limites suivantes : 8 lim

x→−∞ f(x) , lim

x→−∞

1

f(x) et lim

x→−∞

1

f (x) − x + 2 . 8 lim

x→+∞

x

f(x) et lim

x→2

x − 1 f (x) − 1 . 2. D´ eterminer : f (]−∞, 1[) et f(]1, 2]) .

3. Soit la fonction g d´ efinie par



 



 



g(x) = x + 1 − cos(πx)

x si x < 0 g(x) = √

x 2 + x + 1 − x si x > 0 a) Calculer lim

x→+∞ f(x) et lim

x ² + x + 1 − x si x > 0 1. Calculer lim x→+∞ f(x) .

−α ² − 2α .

8 La droite ∆ : y = x − 1 est une asymptote ` a ζ _f au voisinage de +∞ .

8 La droite ∆ ⁰ : y = −1 est asymptote ` a ζ _f au voisinage de −∞ .

8 La droite d’´ equation x = −1 est une asymp- tote ` a ζ _f .

1. A l’aide du graphique et des renseignements fournis d´ eterminer : a) lim _x→+∞ f(x) , lim

x→−1 f (x) . En d´ eduire lim _x→−∞ f( −x + 1 x + 1 ) . c) lim

f (x ² + 1)

x ² + x + 1 − x si x > 0 a) Calculer lim

x − 1 si x ∈ R ^∗ + {1}

√ x ² − 2x + x si x 6 0 1. a) Encadrer f(x) pour tout x ∈ ]0, 1[ .

√ x pour tout x ∈ R ^∗ + {1}

a) V´ erifier que f(x) = w(x).v ◦ u(x) pour tout x ∈ R ^∗ + {1} . b) En d´ eduire que f admet un prolongement par continuit´ e en 1 . c) Montrer que l’´ equation sin( π