Pour le mardi 2 décembre 2014 BCPST 951 - 952 - 953
Devoir 07 à la maison
On eectue une succession innie de lancers indépendants d'une pièce donnant pile avec la probabilitép∈]0 ; 1[et face avec la probabilitéq= 1−p.
On s'intéresse dans ce problème aux successions de lancers amenant un même côté.
On dit que la première série est de longueurn(avecn∈N∗) si lesnpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le(n+ 1)-ième l'autre côté.
De même, la deuxième série commence au lancer suivant la n de la première série et se termine (si elle se termine) au lancer précédant un changement de côté. On dénit de même les séries suivantes.
Pour toutkde N∗, on notePk (resp.Fk) l'événement : lek-ième lancer amène pile (resp. face) .
PARTIE I - Étude des longueurs de séries
On noteL1 (resp.L2) la variable aléatoire égale à la longueur de la première (resp. deuxième) série.
1. a. Exprimer, pour toutnde N∗, l'événement(L1=n)à l'aide des événementsPk et Fk pourk∈[[1 ;n+ 1]]. b. En déduire : ∀n∈N∗, P(L1=n) =pnq+qnp.
c. Vérier (par le calcul) :
+∞
X
n=1
P(L1=n) = 1.
d. Montrer que la variable aléatoireL1 admet une espérance et la calculer.
2. a. Exprimer, pour tous n, k de N∗, l'événement (L1 = n)∩(L2 = k) à l'aide des événements Pk et Fk pour k∈[[1 ;n+k+ 1]].
b. En déduire la loi du couple(L1, L2).
3. a. Montrer : ∀k∈N∗, P(L2=k) =p2qk−1+q2pk−1.
b. Montrer que la variable aléatoireL2 admet une espérance et queE(L2) = 2. 4. a. Les variables aléatoiresL1 et L2sont-elles indépendantes ?
b. Calculer la covariance du couple(L1, L2). 5. Simulation informatique -
a. Écrire une fonction simule_L(p) qui, étant donné un réelpde]0 ; 1[, simule un certain nombre de lancers et qui renvoie les valeurs deL1 etL2 obtenues.
b. Écrire une fonction estime(p) qui simule 1000 fois l'expérience et qui renvoie une estimation deE(L1), deE(L2) et deCov(L1, L2). Comparer les résultats obtenus avec les résultats théoriques.
PARTIE II - Étude du nombre de séries lors des npremiers lancers On considère dans toute cette partie que la pièce est équilibrée ; ainsip=q= 1
2.
Pour toutnde N∗, on noteNn la variable aléatoire égale au nombre de séries obtenus lors des npremiers lancers.
Par exemple, si les lancers successifs donnent : F F P P P P F F P P P . . .(F désignant face et P désignant pile), on a pour une telle succession :
N1=N2= 1, N3=· · ·=N6= 2, N7=N8= 3, N9=· · ·=N11= 4, les données précédentes ne permettant évidemment pas de déterminerN12.
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6. Déterminer les lois des variables aléatoiresN1,N2 etN3 et donner leurs espérances.
7. Soitn∈N∗.
a. Déterminer l'ensemble des valeurs prises parNn. b. Calculer les probabilitésP(Nn = 1)etP(Nn=n).
8. Simulation informatique - Écrire une fonction simule_N(n,p) qui, étant donnés un entier nde N∗ et un réel p de]0 ; 1[, simule nlancers de la pièce et renvoie la valeur deNn obtenue.
9. Fonction génératrice de Nn - On pose, pour toutnde N∗ et pour toutsde[0 ; 1], Gn(s) =
n
X
k=1
P(Nn=k)sk. a. Calculer, pour toutnde N∗,Gn(0),Gn(1)et G0n(1).
b. Montrer : ∀n∈N∗, ∀k∈[[1 ;n+ 1]], P(Nn+1=k) = 1
2P(Nn=k) +1
2P(Nn=k−1). c. En déduire : ∀n∈N∗, ∀s∈[0 ; 1], Gn+1(s) =1 +s
2 Gn(s).
d. En déduire, pour toutnde N∗ et pour toutsde[0 ; 1], une expression simple deGn(s). e. Déterminer, pour toutnde N∗, le nombre moyen de séries dans lesnpremiers lancers.
PARTIE III - Probabilité d’avoir une infinité de fois deux piles consécutifs
10. Montrer : ∀x∈R, 1−x6e−x.
11. On considère dans cette question une suite d'événements (Ai)i∈N∗ indépendants. On suppose que la série de terme généralP(Ai)diverge.
Soitk∈N∗ xé. Pour toutn>k, on noteCn=
n
[
i=k
Ai=Ak∪ · · · ∪An.
a. Justier : lim
n→+∞
n
X
i=k
P(Ai) = +∞.
b. Soitn>k. Montrer : P(Cn) = 1−
n
Y
i=k
P(Ai), puis, en utilisant 10. : P(Cn)>1−exp −
n
X
i=k
P(Ai). En déduire : lim
n→+∞P(Cn) = 1. c. Justier : ∀n>k, P(Cn)6P
+∞
[
i=k
Ai
61. En déduire : P
+∞
[
i=k
Ai
= 1.
12. En considérant, pour toutnde N∗, les événementsAn : on obtient pile au(2n)-ième et au(2n+ 1)-ième lancers , montrer que la probabilité d'avoir deux piles consécutifs, après n'importe quel lancer, est égale à1.
• FIN •
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