Partie : Étude des longueurs de séries

Corrigé D07M

BCPST2 2/12/2014

On eectue une succession innie de lancers indépendants d'une pièce donnant pile avec la probabilité p ∈]0 ; 1[et face avec la probabilitéq= 1−p.

On s'intéresse dans ce problème aux successions de lancers amenant un même côté.

On dit que la première série est de longueur n(avecn∈ N^∗) si lesnpremiers lancers ont amené le même côté de la pièce et le (n+ 1)-ième l'autre côté.

De même, la deuxième série commence au lancer suivant la n de la première série et se termine (si elle se termine) au lancer précédant un changement de côté. On dénit de même les séries suivantes.

Pour toutkdeN^∗, on notePk(resp.Fk) l'événement : lek-ième lancer amène pile (resp. face) .

1

Partie : Étude des longueurs de séries

On noteL1(resp.L2) la variable aléatoire égale à la longueur de la première (resp. deuxième) série.

1^◦) a. Exprimer, pour toutndeN^∗, l'événement(L1=n)à l'aide des événementsPketFkpourk∈J1 ;n+ 1K.

Soit n ∈N^∗. On a : (L₁ =n) =

P₁∩P₂∩. . .∩P_n∩F_n+1

∪

F₁∩F₂∩...∩F_n∩P_n+1

b. En déduire : ∀n∈N^∗, P(L1=n) =pⁿq+qⁿp.

Les événements

P₁∩P₂∩. . .∩P_n∩F_n+1 et

F₁∩F₂∩. . .∩F_n∩P_n+1

sont incompatibles.

Ainsi :

P(L₁ =n) =P

P₁∩P₂∩. . .∩P_n∩F_n+1 +P

F₁∩F₂∩. . .∩F_n∩P_n+1 . De plus, les lancers sont indépendants, donc les événements P₁, P₂, . . . , P_n, F_n+1 sont mu- tuellement indépendants ; de même, les événements F1, F2, . . . , Fn, Pn+1 sont mutuellement indépendants. Ainsi :

P(L1 =n) =P(P1)P(P2). . .P(Pn)P(Fn+1) +P(F1)P(F2). . .P(Fn)P(Pn+1) = pⁿq+qⁿp

c. Vérier (par le calcul) :

+∞

X

n=1

P(L1=n) = 1.

On a : ∀N >1,

N

X

n=1

P(L₁ =n) =

N

X

n=1

(pⁿq+qⁿp) =

N

X

n=1

pⁿq+

N

X

n=1

qⁿp.

Les deux sommes partielles convergent car il s'agit de sommes partielles associées à des séries géométriques de raison p et q et|p|<1,|q|<1; de plus, on a :

N

X

n=1

P(L₁ =n) −→

N→+∞pq× 1

1−p +pq× 1

1−q =p+q= 1

Ainsi :

+∞

X

n=1

P(L1 =n) = 1.

d. Montrer que la variable aléatoireL1admet une espérance et la calculer.

La variable aléatoire L₁ admet une espérance si et seulement si la série X

n>1

nP(L₁ =n)

converge absolument c'est-à-dire si et seulement si la série X

n>1

nP(L₁ = n) converge (car tous les termes sont positifs).

On a : ∀N >1,

N

X

n=1

nP(L₁ =n) =

N

X

n=1

n(pⁿq+qⁿp) = pqX^N

n=1

npⁿ⁻¹+

N

X

n=1

nqⁿ⁻¹ . D'après le cours, les deux sommes partielles convergent car |p|<1,|q|<1, et on a :

N

X

n=1

nP(L₁ =n) −→

N→+∞pq 1

(1−p)² + 1 (1−q)²

= p q + q

p = p²+q² pq . On conclut : L₁ admet une espérance et E(L₁) = p²+q²

pq .

2^◦) a. Exprimer, pour tousn, kdeN^∗, l'événement(L1=n)∩(L2=k)à l'aide des événementsPketFkpourk∈J1 ;n+k+ 1K.

Soient n, k ∈N^∗. On a :

(L₁ =n)∩(L₂ =k) =

P₁∩. . .∩P_n∩F_n+1∩. . . F_n+k∩P_n+k+1

∪

F₁∩. . .∩F_n∩P_n+1∩. . . P_n+k∩F_n+k+1

b. En déduire la loi du couple(L1, L2).

Les variables aléatoires L₁ etL₂ prennent toutes les deux leurs valeurs dansN^∗.

D'après la question précédente et pour les mêmes raison qu'à la question 1.b, on obtient :

∀n, k ∈N^∗, P

(L1 =n)∩(L2 =k)

=pⁿq^kp+qⁿp^kq=pⁿ⁺¹q^k+qⁿ⁺¹p^k

3^◦) a. Montrer : ∀k∈N^∗, P(L2=k) =p²q^k−1+q²p^k−1.

La famille d'événements n

(L₁ = n) ;n ∈ N^∗

o est un système complet d'événements. Donc d'après la formule des probabilités totales, on a pour tout k∈N^∗ :

P(L₂ =k) =

+∞

X

n=1

P

(L₁ =n)∩(L₂ =k)

=

+∞

X

n=1

(pⁿ⁺¹q^k+qⁿ⁺¹p^k) =p²q^k× 1

1−p+q²p^k× 1 1−q

= p²q^k−1+q²p^k−1

Remarque :

∀K >1,

K

X

k=1

P(L₂ =k) =

K

X

k=1

p²q^k−1+

K

X

k=1

q²p^k−1 −→

K→+∞p² 1

1−q +q² 1

1−p =p+q = 1. Ainsi, on a bien :

+∞

XP(L₂ =k) = 1.

b. Montrer que la variable aléatoireL2admet une espérance et queE(L2) = 2.

La variable aléatoire L₂ admet une espérance si et seulement si la série X

k>1

kP(L₂ =k)

converge absolument c'est-à-direla série X

k>1

kP(L₂ =k) converge (car tous les termes sont positifs).

On a pour tout K >1,

K

X

k=1

kP(L₂ =k) =

N

X

k=1

k(p²q^k−1+q²p^k−1)

=p²X^K

k=1

kq^k−1+X

q= 1Kkp^k−1

−→

K→+∞

p²× 1

(1−q)² +q²× 1

(1−p)² = 1 + 1 = 2

On conclut : L₂ admet une espérance et E(L₂) = 2.

4^◦) a. Les variables aléatoiresL1 etL2 sont-elles indépendantes ?

D'après les questions précédentes, on a : â P

(L₁ = 1)∩(L₂ = 1)

=p²q+q²p=pq(p+q) =pq et P(L₁ = 1)P(L₂ = 1) = (2pq)(p² +q²).

Or :

pq = (2pq)(p²+q²) ⇐⇒ 1 = 2(p²+q²) (car pq6= 0)

⇐⇒ 2(p²+ (1−p)²)−1 = 4p²−4p+ 1

⇐⇒ (2p−1)² = 0

⇐⇒ p= 1 2

â Si p 6= 1

2, alors P

(L₁ = 1)∩(L₂ = 1)

6= P(L₁ = 1)P(L₂ = 1); ainsi, L₁ et L₂ ne sont pas indépendantes.

â Regardons ce qu'il en est lorsque p= 1

2. Dans ce cas, on a : ∀n, k ∈N^∗, P

(L₁ =n)∩(L₂ =k)

= 1

2^n+k+1 + 1

2^n+k+1 = 1

2^n+k et P(L₁ = n)P(L₂ = k) = 1

2ⁿ × 1 2^k ;

ainsi : ∀n, k ∈N^∗, P

(L₁ =n)∩(L₂ =k)

=P(L₁ =n)P(L₂ =k); donc L₁ etL₂ sont indépendantes.

On conclut : les variables aléatoires L₁ etL₂ sont indépendantes si et seulement si p= 1 2.

b. Calculer la covariance du couple(L1, L2).

Commençons par montrer l'existence et calculer l'espérance de L₁L₂. D'après le théorème de transfert :

L1L2 admet une espérance si et seulement si la série double X

n,k>1

n kP (L1 =n)∩(L2 =k) converge.

â Soit n ∈N^∗. On a :

K

X

k=1

n kP (L₁ =n)∩(L₂ =k)

=

K

X

k=1

n k(pⁿ⁺¹q^k+qⁿ⁺¹p^k)

=npⁿ⁺¹q

K

X

k=1

kq^k−1+nqⁿ⁺¹p

K

X

k=1

kp^k−1

−→

K→+∞

npⁿ⁺¹q× 1

(1−q)² +nqⁿ⁺¹p× 1

(1−p)² = nqpⁿ⁻¹+npqⁿ⁻¹ Ainsi :

+∞

X

k=1

n kP (L₁ =n)∪(L₂ =k)

=nqpⁿ⁻¹+npqⁿ⁻¹.

â De plus :

N

X

n=1

(nqpⁿ⁻¹+npqⁿ⁻¹) −→

N→+∞q× 1

(1−p)²+p× 1

(1−q)² = 1 q+1

p = p+q pq = 1

pq. On en déduit : L₁L₂ admet une espérance et E(L₁L₂) = 1

pq. Ainsi, (L₁, L₂) admet une covariance et

Cov(L₁, L₂) = E(L₁L₂)−E(L₁)E(L₂) = 1

pq − 2(p²+q²)

pq = 1−2(p² +q²)

pq = −(2p−1)² pq

Remarques :

â Lorsque p= 1

2, on trouve bien Cov(L₁, L₂) = 0.

â La covariance est négative, ce que est cohérent puisque les deux variables ont tendance à évoluer en sens contraire.

5^◦) Simulation informatique -

a. Écrire une fonction simule_L(p) qui, étant donné un réelpde]0 ; 1[, simule un certain nombre de lancers et qui renvoie les valeurs deL1 etL2 obtenues.

from random import random def lancer ( p ) :

i f random ( )<p : return(1) e l s e:

return(0) def simule_L ( p ) :

x=lancer ( p )

l1=1while lancer ( p )==x :

l1 += 1 l2=1while lancer ( p ) !=x :

l2+=1 return( l1 , l2 )

b. Écrire une fonction estime(p) qui simule 1000 fois l'expérience et qui renvoie une estimation deE(L1), deE(L2)et deCov(L1, L2). Comparer les résultats obtenus avec les résultats théoriques.

def estime ( p ) :

E1 , E2 , E12 =0 ,0 ,0 N=1000

f o r k in range( N ) : a , b=simule_L ( p ) E1 += a/N

E2 += b/N E12 += a∗b/N Cov=E12−E1∗E2

p r i n t( E1 , ' e s t une valeur approch é e de E(L1)=' , ( p/(1−p )+(1−p ) /p ) , ' ( valeur th é orique ) ')

p r i n t( E2 , ' e s t une valeur approch é e de E(L2)=',2 , ' ( valeur th é orique ) ')

p r i n t( Cov , ' e s t une valeur approch é e de Cov(L1 , L2)=',−(2∗p−1)

∗ ∗2/( p∗(1−p ) ) ,' ( valeur th é orique ) ') return( E1 , E2 , Cov )

Exemple d'exécution : In [ 1 ] : estime ( 0 . 7 )

2.7759999999999496 est une valeur approch ée de E ( L1 )=

2.761904761904762 ( valeur th é orique )

2.0789999999999607 est une valeur approch ée de E ( L2 )= 2 ( valeur th é orique )

−0.8063039999998329 est une valeur approch ée de Cov ( L1 , L2 )=

−0.7619047619047614 ( valeur th é orique )

Out [ 1 ] : (2.7759999999999496 , 2.0789999999999607 , −0.8063039999998329)

2

Partie : Étude du nombre de séries lors des n premiers lancers

On considère dans toute cette partie que la pièce est équilibrée ; ainsip=q=1 2.

Pour toutndeN^∗, on noteNnla variable aléatoire égale au nombre de séries obtenus lors desnpremiers lancers.

Par exemple, si les lancers successifs donnent : F F P P P P F F P P P . . .(F désignant face et P désignant pile), on a pour une telle succession :

N1=N2= 1, N3=· · ·=N6= 2, N7=N8= 3, N9=· · ·=N11= 4 les données précédentes ne permettant évidemment pas de déterminerN12.

1^◦) Déterminer les lois des variables aléatoiresN1,N2etN3 et donner leurs espérances.

â N₁(Ω) ={1} et P(N₁ = 1) = 1. Donc E(N₁) = 1. â N₂(Ω) ={1,2}.

De plus : (N2 = 1) = P1∩P2

∪ F1∩F2

; doncP(N2 = 1) = 1 4+ 1

4 = 1 2

Ainsi : P(N₂ = 2) = 1−P(N₂ = 1) = 1 2. Enn : E(N₂) = 1×1

2 + 2× 1 2 = 3

2. â N3(Ω) ={1,2,3}.

De plus : (N₃ = 1) = P₁∩P₂∩P₃

∪ F₁∩F₂∩F₃

; donc P(N₃ = 1) = 1 8 +1

8 = 1 4. Puis : (N₃ = 3) = P₁∩F₂∩P₃

∪ F₁ ∩P₂∩F₃

; donc P(N₃ = 3) = 1 8+ 1

8 = 1 4. Ainsi : P(N₃ = 2) = 1−P(N₃ = 1)−P(N₃ = 3) = 1− 1

4 −1 4 = 1

2. Enn : E(N₃) = 1×1

4 + 2× 1

2 + 3× 1 4 = 2.

2^◦) Soitn∈N^∗.

a. Déterminer l'ensemble des valeurs prises parNn.

La variable N_n vaut au minimum 1 (lorsqu'il n'y a pas de changement de côté) lors des n lancers et au maximum n (lorsqu'il y a un changement de côté à chaque lancer). De plus, toutes les valeurs entre 1 etn sont des valeurs possibles pour N_n.

On conclut : N_n(Ω) =J1 ;nK.

b. Calculer les probabilitésP(Nn= 1)etP(Nn=n).

â On a : (N_n = 1) = P₁∩P₂∩...∩P_n

∪ F₁∩F₂∩...∩F_n . Ainsi, pour les mêmes raisons que dans la question 1., on obtient :

P(N_n= 1) = 1 2ⁿ + 1

2ⁿ = 1 2ⁿ⁻¹

â De plus : (Nn=n) = P1∩F2 ∩P3∩...

∪ F1∩P2∩F3∩...

. Toujours pour les mêmes raisons : P(N_n=n) = 1

2ⁿ + 1

2ⁿ = 1 2ⁿ⁻¹.

3^◦) Simulation informatique -

Écrire une fonction simule_N(n,p) qui, étant donnés un entierndeN^∗et un réelpde]0 ; 1[, simulenlancers de la pièce et renvoie la valeur deNnobtenue.

def simule_N ( n , p ) :

R=[lancer ( p ) f o r k in range( n ) ] N=0f o r k in range(1 , n ) :

i f R [ k 1]!=R [ k ] :

N += 1 return( N )

4^◦) Fonction génératrice deNn -

On pose, pour toutndeN^∗et pour toutsde[0 ; 1],

Gn(s) =

n

X

k=1

P(Nn=k)s^k

a. Calculer, pour toutndeN^∗,Gn(0),Gn(1)etG⁰_n(1).

â G_n(0) =

n

X

k=1

P(N_n =k) 0^k = 0

â De plus : G_n(1) =

n

X

k=1

P(N_n=k) 1^k =

n

X

k=1

P(N_n=k) = 1, car N_n(Ω) =J1 ;nK.

â Enn, G_n est une fonction polynôme donc est dérivable sur [0 ; 1] et on a

∀s∈[0 ; 1], G⁰_n(s) =

n

X

k=1

P(N_n=k)ks^k−1

Ainsi : G⁰_n(1) =

n

X

k=1

kP(N_n=k) = E(N_n)

b. Montrer : ∀n∈N^∗, ∀k∈J1 ;n+ 1K, P(Nn+1=k) = 1

2P(Nn=k) +1

2P(Nn=k−1).

Soient n ∈N^∗ etk ∈J1 ;n+ 1K.

Notons E_n+1 l'événement : on obtient au (n+ 1)-ième lancer le même côté qu'au n-ième lancer .

Alors on a : P(E_n+1) = 1

2 et P(E_n+1) = 1 2.

De plus, l'événement (N_n+1 =k) peut se décomposer de la façon suivante : (N_n+1 =k) = (N_n=k)∩E_n+1

∪ (N_n =k−1)∩E_n+1 . On obtient alors :

P(N_n+1 =k) =P (N_n =k)∩E_n+1

+P (N_n =k−1)∩E_n+1

par union disjointe

=P(N_n =k)P(E_n+1) +P(N_n =k−1)P(E_n+1) par indépendance des lancers.

On en déduit : P(N_n+1 =k) = 1

2P(N_n =k) + 1

2P(N_n =k−1).

c. En déduire : ∀n∈N^∗, ∀s∈[0 ; 1], Gn+1(s) = 1 +s 2 Gn(s).

Soit s ∈[0 ; 1]. On a :

Gn+1(s) =

n+1

X

k=1

P(Nn+1 =k)s^k

=

n+1

X

k=1

1

2P(N_n =k) + 1

2P(N_n=k−1) s^k

= 1 2

n+1

X

k=1

P(N_n=k)s^k+ 1 2

n+1

X

k=1

P(N_n=k−1)s^k

Or,

n+1

X

k=1

P(Nn=k)s^k = Xⁿ

k=1

P(Nn =k)s^k

+ 0 =Gn(s). Et,

n+1

X

k=1

P(N_n =k−1)s^k =

n

X

`=0

P(N_n=`)s<sup>`+1</sup> = 0 +s

n

X

`=1

P(N_n =`)s<sup>`</sup> =s G_n(s). Ainsi :

G_n+1(s) = 1

2G_n(s) + s

2G_n(s) = 1 +s 2 G_n(s)

d. En déduire, pour toutndeN^∗et pour toutsde[0 ; 1], une expression simple deGn(s).

On a : ∀s ∈[0 ; 1], G₁(s) = P(N₁ = 1)s¹ =s.

Ainsi, on obtient directement : ∀n ∈N^∗, ∀s ∈[0 ; 1], G_n(s) =1 +s 2

n−1

s.

e. Déterminer, pour toutndeN^∗, le nombre moyen de séries dans lesnpremiers lancers.

Le nombre moyen de séries obtenues dans les n premiers lancers est donné par E(N_n) =G⁰_n(1)

On a : ∀s ∈[0 ; 1], G⁰_n(s) =1 +s 2

n−1

+s(n−1) 2

1 +s 2

n−2

. Ainsi : E(N_n) =G⁰_n(1) = 1 + n−1

2 = n+ 1 2 .

3

Partie : Probabilité d'avoir une innité de fois deux piles consécutifs

1^◦) Montrer : ∀x∈R, 1−x6e^−x.

On montre que la fonction f : x 7→ e^−x−1 +x est décroissante sur R⁻ et croissante sur R⁺. Puisque f(0) = 0, on en déduit quef est positive ou nulle surR.

On conclut alors : ∀x∈R, 1−x6e^−x.

2^◦) On considère dans cette question une suite d'événements(Ai)i∈N^∗indépendants.

On suppose que la série de terme généralP(Ai)diverge.

Soitk∈N^∗xé. Pour toutn>k, on noteCn=Sn

i=kAi=Ak∪ · · · ∪An. a. Justier : lim

n→+∞

n

X

i=k

P(Ai) = +∞.

â On a : P(C_n) =P

A_k∪. . .∪A_n

= 1−P

A_k∪. . .∪A_n

= 1−P

A_k∩. . .∩A_n

= 1−

n

Y

i=k

P(A_i) car lesA_i sont indépendants.

â En utilisant la question précédente, on a :

∀i∈N^∗, 06P(Ai) = 1−P(Ai)6exp −P(Ai) En multipliant ces inégalités pour i allant de k à n, on obtient :

n

Y

i=k

P(Ai)6

n

Y

i=k

exp

−P(Ai)

= exp

−

n

X

i=k

P(Ai) .

Ainsi : P(Cn)>1−exp

−

n

X

i=k

P(Ai) .

â On a alors : ∀n >k, 1−exp

−

n

X

i=k

P(Ai)

6P(Cn)61. Or, 1−exp −

n

X

i=k

P(A_i)

−→

N→+∞

1−0 = 1.

Donc par le théorème des gendarmes, on obtient : lim

n→+∞P(Cn) = 1.

b. Justier : ∀n>k, P(Cn)6P

+∞

[

i=k

Ai

!

61. En déduire : P

+∞

[

i=k

Ai

!

= 1.

â Soit n >k. On a les inclusions d'ensembles suivants : C_n ⊂

+∞

[

i=k

A_i ⊂ Ω. Puis, par croissance de l'application P, on obtient : P(Cn)6P

+∞

[

i=k

Ai

! 61. â L'inégalité précédente étant vraie pour tout n>k, elle reste vraie lorsque n tend vers

+∞. On obtient donc, par passage à la limite : 16P

+∞

[

i=k

A_i

!

61

On conclut : P

+∞

[

i=k

A_i

!

= 1.

3^◦) En considérant, pour toutndeN^∗, les événementsAn: on obtient pile au(2n)-ième et au(2n+1)-ième , montrer que la probabilité d'avoir deux piles consécutifs, après n'importe quel lancer, est égale à1.

Soit k ∈ N^∗ xé. Notons F_k l'événement : on obtient deux piles consécutifs après le k-ième lancer .

L'événement F_k s'écrit : F_k=

+∞

[

i=k

A_i.

La suite d'événements (A_i)i∈N^∗ vérie les hypothèses de la question précédente. En eet : les événements A_i, pour i>1, sont indépendants (car les lancers le sont)

pour touti>1, P(A_i) =P(P_2i ∩P_2i+1) = p²; ainsi, la série X

i>1

P(A_i)diverge.

On en déduit : P(Fk) = P ^+∞[

i=k

Ai

= 1.

Autrement dit, on est presque sûr d'obtenir au moins deux piles consécutifs après n'importe quel lancer.