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MAP 361 - Al´eatoire

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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MAP361

MAP 361 - Al´ eatoire

Josselin Garnier et Nizar Touzi

2019-2020

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Quelques infos: tout est sur le moodle

Il y a une unique page moodle pour le cours et les PCs.

9 blocs (cours + PC).

Suivez le rythme du cours pour ne pas accumuler du retard...

Cours en vid´eo d’1h30 (stream´ee ou t´el´echarg´ee), `a voir de pr´ef´erence avant ou pendant le cr´eneau d’amphi pr´evu dans l’emploi du temps (vendredi matin, parfois jeudi); transparents en pdf t´el´echargeables.

PC par zoom, lundis apr`es-midis, 1 heure par sous-groupe;

1er sous-groupe = 1`ere moiti´e des ´el`eves sur la liste du groupe;

2nd sous-groupe = 2`eme moiti´e.

I Feuille d’exercices disponible `a la fin du cours pr´ec´edent la PC (ou avant), contient :

1) quelques exercices types corrig´es;

2) des exercices (avec indications) `a pr´eparer pour la PC;

3) des exercices suppl´ementaires.

I Chaque ´el`eve doit r´ediger un exercice toutes les deux semaines `a rendre

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MAP361

Quelques infos: projets de simulation

Formation Python :

I Cours en vid´eo d’1h30 (stream´ee ou t´el´echarg´ee), `a voir de pr´ef´erence avant ou pendant le cr´eneau d’amphi pr´evu dans l’emploi du temps (lundi 27 avril matin); transparents t´el´echargeables.

I TP (2 heures), avec notebook jupyter fourni et zoom.

I Responsable : Arvind Singh, arvind.singh@math.u-psud.fr.

I Voir moodle MAP361P.

Projet de simulation en python et en binˆome :

I Les inscriptions obligatoires et par binˆome ouvriront le 4 mai et se clˆotureront le 15 mai `a minuit (former les binˆomes le plus tˆot possible).

I Numerus clausus : 13 binˆomes par projet (faire une liste de choix).

I On recommande fortement de remettre le projet sous forme de notebook jupyter.

I Date de remise des projets : 3 juillet.

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Quelques infos: tutorat

Soutien tutorat : s´eances zoom (les vendredis `a 18h).

I Destin´e aux ´el`eves qui n’ont (quasiment) pas fait de probabilit´es.

Test pour les ´el`eves : le premier amphi contient essentiellement des choses que vous ˆetes cens´ees connaˆıtre (`a part Borel-Cantelli). Si vous n’y comprenez rien, le tutorat est fait pour vous.

I Responsable tutorat MAP 361 : Luca Ganassali, luca.ganassali@inria.fr.

I Inscription aupr`es de la responsable du tutorat : Lucile Angl`es, lucile.angles@polytechnique.edu.

I Voir moodle MAP361T.

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MAP361

Quelques infos: ´ evaluation

Note de module :

I 10% QCM hebdomadaires.

I 15% QCM final.

I 35% projet.

I 40% exercices de PC.

QCM hebdomadaires : sur le moodle du cours, ouvert de la fin de l’amphi au mercredi suivant `a minuit.

QCM final : sur le moodle du cours, ouvert le jour du contrˆole de 3:00 `a 22:00.

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Plan du cours: 3/4 probabilit´ es + 1/4 statistique

Le¸con 1 : Exemples de mod`eles discrets

probabilit´e discr`ete, loi uniforme et calcul combinatoire

probabilit´e conditionnelle, probabilit´es totales, formule de Bayes

´

ev´enements ind´ependants lemme de Borel-Cantelli

lois discr`etes, esp´erance, fonctions g´en´eratrices loi et esp´erance conditionnelle pour des lois discr`etes Le¸con 2 : Probabilit´es et variables al´eatoires r´eelles

tribu, tribu bor´elienne, probabilit´e, espace de probabilit´e variable al´eatoire r´eelle

fonction de r´epartition

variable al´eatoire r´eelle `a densit´e lois uniforme, exponentielle, normale

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MAP361

Le¸con 3 : Variables al´eatoires r´eelles et vecteurs al´eatoires esp´erance (int´egrale de Lebesgue), variance

calcul de la loi d’une v.a. r´eelle par la m´ethode de la fonction muette (changement de variable)

in´egalit´es: Markov, Jensen, Bienaym´e-Chebyshev vecteur al´eatoire, loi jointe, lois marginales, Fubini vecteur al´eatoire `a densit´e

Le¸con 4 : Vecteurs al´eatoires - Lois conditionnelles esp´erance, covariance, Cauchy-Schwarz

loi et esp´erance conditionnelle pour des vecteurs `a densit´e r´egression lin´eaire

variables ind´ependantes

m´ethode de simulation par rejet

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Le¸con 5 : Calcul de lois - Vecteurs gaussiens

somme de variables al´eatoires ind´ependantes : variance, produit de convolution

loi gamma, loi chi2

calcul de la loi par la m´ethode de la fonction muette en dimension n (changement de variable)

algorithme de Box-Muller vecteur gaussien

Le¸con 6 : Convergences - Loi des grands nombres

convergence d’une suite de v.a. : en probabilit´e, en moyenne (L1), presque sure

th´eor`eme de convergence monotone et Fatou th´eor`eme de convergence domin´ee

lois des grands nombres : faible, forte

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MAP361

Le¸con 7 : Convergence en loi - Th´eor`eme de la limite centrale m´ethode de Monte Carlo

convergence en loi : fonction de r´epartition, th´eor`eme de Slutsky fonction caract´eristique, cas d’une somme de v.a. ind´ependantes, th´eor`eme de L´evy

th´eor`eme de la limite centrale pour des v.a. r´eelles

Le¸con 8 : Applications du th´eor`eme de la limite centrale:

Estimation statistique

th´eor`eme de la limite centrale pour des vecteurs al´eatoires m´ethode delta

estimation statistique :

I estimateurs empiriques

I ethode des moments

I estimateur du maximum de vraisemblance

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Le¸con 9 : Statistique: Intervalle de confiance - Sondages intervalles exacts pour le mod`ele gaussien

r´esultats asymptotiques

applications aux sondages et Monte Carlo

Références

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