Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2014/2015
L3 Alg`ebre Maria Chlouveraki
Extensions de corps - TD 6
SiF est un corps, nous ´ecrirons|F|pour la cardinalit´e deF. 1. Soit E/F eta∈E. Montrer que
F(a) = f(a)
g(a) |f(x), g(x)∈F[x], g(a)6= 0
.
2. Soit E/F eta∈E. Montrer que Frac(F[a]) =F(a).
3. Montrer que Frac(Z[i]) ={a+bi|a, b∈Q}=Q[i] =Q(i).
4. SiE/F, alorsE est unF-espace vectoriel.
5. Soit E/F. Nous avons [E:F] = 1⇔E =F.
6. Soient F1 ⊆F2⊆ · · · ⊆Fn des corps, avecn≥3. Montrer que [Fn:F1] =
n−1
Y
i=1
[Fi+1 :Fi].
7. SoientF ⊆E⊆K des corps tels que [K :F] =p, o`up est un nombre premier. Dans ce cas, soitK =E soitE =F. De plus,K est une extension simple deF.
8. SiF est un corps fini, alors il existe n∈Ntel que|F|=pn, o`up= carF. 9. Sin∈N, alors√
nest alg´ebrique sur Q.
10. Siq ∈Q≥0, alors√
q est alg´ebrique sur Q.
11. Siz∈Cest une racine de l’unit´e, alors z est alg´ebrique surQ. 12. Montrer queQ(i) est une extension alg´ebrique deQ.
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