à l aide des propriétés de continuité et de dérivabilité.

IV

Étude de fonctions

Dérivabilité et Convexité

U

^nefonction peut être plus ou moins « régulière ». La régularité d’une fonction se mesure à l’aide des propriétés de continuité et de dérivabilité.

Plus on peut dériver une fonction, plus celle-ci sera régulière. Intuitivement, plus une fonction est régulière, plus son graphe est lisse.

D

^ansce paragraphe et sauf mention contraire, les fonctions étudiées seront systématique- ment des fonctions définies sur un intervalle ouvert de Ret à valeurs réelles.

Sommaire

I Dérivation . . . . 2

I.1 Nombre dérivé (Rappels) . . . 2

I.2 Continuité et Dérivabilité . . . 4

I.3 Calculs de dérivées . . . 7

Fonctions de référence . . . . 7

Dérivation et opérations algébriques . . . . 9

Dérivée d’une composée . . . . 9

I.4 Dérivée et variations . . . 13

Sens de variation d’une fonction . . . . 13

Extremum local. . . . 14

II Convexité . . . . 16

II.1 Dérivée seconde . . . 16

II.2 Fonctions convexes . . . 16

II.3 Point d’inflexion . . . 22

III Plan d’étude d’une fonction . . . . 24

IV Carte Mentale . . . . 27

I Dérivation

I.1 Nombre dérivé (Rappels)

Soit f :I 7−→Rune fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant le nombre a.

Si le taux de variation f(a+h)−f(a)

h tend vers une valeur finie lorsque h tend vers 0 alors on dit que f est dérivable ena et on note :

f^′(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h . (IV.1)

Dans ce cas, le nombre f^′(a) est appelé le nombre dérivé de f en a. C’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a dont l’équation est :

y = f

^′

(a)(x − a) + f (a).

À retenir Définition 1

bcA

bc

bc

bc

M_h

bc

bcbc

a

f(a)

a+h

f(a+h)

(Ta) C_f

Par définition

, le nombre dérivé en a, s’il existe, est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d’abscisse a et, par extension, une fonction f est dérivable en a si, et seulement si sa courbe représentative admet une tangente au point d’abscisse a.^⌊1⌋

Si, pour tout x de I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I et la fonction f^′ : x7−→f^′(x) est appelée la fonction dérivée def sur I.

⌊1⌋. si on peut la tracer !

Preuve:

Soit

^(Ta)

la tangente à la courbe au point

^{A(a; f(a))}

. Son coefficient directeur est, par définition,

^f′(a)

donc l’équation réduite de

^(Ta)

est de la forme :

y=f^′(a)x+b.

A(a; f(a))∈(Ta)

donc

^{f(a) =f′(a)a+b =}⇒ b =f(a)−af^′(a)

.

L’équation de

^(Ta)

est donc

^{y=f′(a)x+f(a)}−af^′(a)

soit, en factorisant un peu :

y=f^′(a)(x−a) +f(a).

Exercice 1 (Dérivées usuelles) : Retrouver les nombres dérivés des fonctions usuelles à partir de la définition (1) .

1 La fonction carrée définie parf₁(x) =x² ena₁ = 3.

2 La fonction affine définie parf₂(x) = 3x−5enx₂ = 1.

3 La fonction constante définie parf₃(x) = 3ena₃ = 1.

4 La fonction cubique définie parf₄(x) =x³ ena₄ = 2.

5 La fonction racine définie parf₅(x) =√

xena₅ = 1.

Exercice 2 : À partir de l’exercice précédent, donner l’équation de la tangente à la courbe repré- sentative defi au point d’abscisseai.

Remarque :Lorsque le taux d’accroissement tend vers±∞, la courbe admet une demi-tangente verticale en A.

Exemple 1 :

Considérons le taux d’accroissement en

⁰

de la fonction racine pour

^{h >0}

. On a :

√0 +h−√ 0

h =

√h h

= 1

√h.

Comme

_h→0^{lim √1}

h = +∞

, la courbe de la ra- cine carrée admet une demi-tangente verticale en

⁰

.

0 1 2 3 4 5 6 7

−1 0

−1 1 2 3 4

x f(x)

x7−→√ x.

I.2 Continuité et Dérivabilité

Si une fonctionf est dérivable sur un intervalle I alors elle est continue sur I.

Théorème 1 (Dérivabilité entraîne continuité)

Preuve:

La démonstration de ce théorème est hors-programme.

^⌊2⌋

Globalement, il suffit de linéariser.

^f

est dérivable en

^a

si et seulement si il existe une quantité

f^′(a)

telle que :

f^′(a) = f(a+h)−f(a)

h +ε(h)

où

_h→0^{limε(h) = 0}

f(a+h) = f(a) +hf^′(a) +hε(h)

Il est alors clair que

_h→0^{limf(a+h) =f(a)}

. La fonction

^f

est donc continue en

^a

.

Ce théorème explique simplement que la notion de dérivabilité est plus forte que celle de conti- nuité comme l’était déjà la notion de continuité par rapport à celle de définition. On pourra donc trouver des fonctions continues sans qu’elles soient dérivable mais pas l’inverse.

ATTENTION

La réciproque de ce théorème est fausse. Pour s’en rendre compte, on peut s’appuyer sur les représentations graphiques du chapitre précédent :

— Si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau.

— Si la fonction est dérivable sur un intervalle, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points.

0 1 2 3 4

1 2 3

x7−→√ x.

0 1 2

−1

−2 1 2 3

x7−→ |x|.

Comme explicité précédemment, les premiers exemples à avoir en tête sont la fonction valeur absolue et la racine carrée et globalement, l’image à avoir en tête est celle de la fonction ci- dessous :

a

bA

La fonction est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau.

Par contre, la fonction n’est pas dérivable en a, car la représentation admet au pointAdeux demi-tangentes.

On dit que la courbe admet un point angu- leux en a.

Exercice 3 : Soitf définie surRparf(x) =







2−x² six <1;

1

x six>1

Montrer quef est continue mais n’est pas dérivable en 1. Donner une interprétation géométrique.

Un peu de cinématique : On considère un objet en mouvement sur un axe. On note t la durée en secondes de son parcours, et x(t) la distance en mètres, parcourue après t secondes.

On note t0 et t1 = t0 +h deux instants : le quotient x(t1)−x(t0)

h est la vitesse moyenne de l’objet entre les instants t0 ett1 =t0+h.

Dans les conditions précédentes, la limite quand h se rapproche de 0 de la vitesse moyenne^⌊3⌋est appelée vitesse instantanée de l’objet à l’instant t0.

V(t0) = lim

t1→t0

x(t1)−x(t0)

t1−t0 = lim

h→0

x(t0+h)−x(t0)

h (IV.2)

Définition 2

Deux manières de voir ce résultat :

— La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne lorsque l’écart entre les deux points de mesure tend vers 0.

— La vitesse instantanée est la dérivée première de la position.^⌊4⌋

Exemple 2 :

On lâche un objet en chute libre. On note

^x(t)

la distance parcourue (en m) après

^t

secondes. On admet que la distance parcourue s’exprime en fonction du temps de parcours par

x(t) = 4,9t².

Calculer la vitesse instantanée de l’objet après une chute de

^t

secondes.

Première méthode :

On exprime la vitesse moyenne de l’objet entre les instants

^t

et

^t+h

:

v = x(t+h)−x(t)

h = 4,9(t+h)²−4,9t² h

⌊3⌋. c’est à dire le nombre dérivé de xent0

⌊4⌋. C’est quoi la dérivée seconde ?

En développant, réduisant et simplifiant, on obtient :

v = 4,9(t²+ 2th+h²)−4,9t²

h = 9,8th+ 4,9h²

h = 9,8t+ 4,9h

Lorsque

^h

tend vers 0, ce quotient se rapproche de

^9,8t

:

^lim_h→0^{(9,8t+ 4,9t) = 9,8t}

. Donc la vitesse instantanée de l’objet en chute libre est donnée par l’expression

v(t) =x^′(t) = 9,8t.

Deuxième méthode :

On calcule la dérivée de la position :

v(t) =x^′(t) = dx(t)

dt = 4,9×2t= 9,8t.

Après 5 secondes de chute libre, la vitesse est de

^9,8×5 = 49

m/s. (soit 179,4 km/h).

Remarque :Les physiciens expriment volontiers une variation à l’aide du symbole ∆. Ils notent ainsi ∆t=t1−t0 et ∆x=x1−x0.

Pour une variation très petite, reprenant une notation introduite par Isaac Newton, on note alors dtet dx. On obtient ainsi la notation différentielle de la dérivée :

x^′(t) = dx(t) dt .

L’avantage de cette notation est de rendre bien visible la variable par rapport à laquelle on dérive. Ici, la position x(t) est dérivée par rapport au temps.

En mathématiques, et temps que l’on ne considérera que des fonctions d’une seule variable, on note plus simplement df(x)

dx =f^′(x).

Une fonctionf :I 7−→R est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I.

On appelle fonction dérivée de f sur I, que l’on note f^′ ou df dx

!

, la fonction qui à tout x deI associe le nombre dérivé de f en x :

f^′ : I R

x f^′(x).

Définition 3(Fonction dérivée)

Un peu d’histoire:

— La notion de dérivée tire son origine dans l’étude des tangentes, et en particulier de la pente des tangentes. Pierre de Fermat le premier (en 1636) constate que très souvent, la pente s’obtient en écrivant f(a+e)−f(a)

e , en « prenant » e = 0 (il ne dispose pas encore de la notion de limite). Il appelle e un « infiniment petit ».

— Newton, en 1669, introduit la notation ( ˙x, y,˙ z), pour les dérivées des coordonnées d’un˙ point, qu’il appelle « fluxions » des « fluentes » (x, y, z), qu’il définit comme les vitesses dont les fluentes sont augmentées graduellement et indéfiniment.

Sa notation est encore utilisée actuellement en physique.

— En 1674, Leibniz introduit la notation dx; pour désigner une variation infinitésimale sur l’abscisse, et dy pour désigner une variation infinitésimale sur l’ordonnée. Siy dépend de x, dx

dy désigne donc la variation infinitésimale de la fonction y rapportée à la variation infinitésimale dexqui l’a provoquée : il s’agit bel et bien de la définition de Fermat, et rien de plus : pas de nouvelle théorie, juste une nouvelle notation, encore largement utilisée aujourd’hui, notamment sous la forme non quotientée (pensez aux intégrales !)

— À la fin du 18^ème siècle, Joseph-Louis Lagrange introduit la terminologie « dérivée » et la notation f^′.

— La formalisation rigoureuse est due à Karl Weierstrass dans la deuxième moitié du 19^ème siècle, s’appuyant sur une définition rigoureuse de la notion de limite et de continuité (dont il donne également pour la première fois une définition rigoureuse et précise)

I.3 Calculs de dérivées

Fonctions de référence

Fonctionf Fonction f^′ Ensemble de définition de f

Ensemble de définition de f^′

x 7−→a x 7−→0 R

x 7−→ax+b x 7−→a R

x 7−→xⁿ(n∈N^∗) x 7−→nxⁿ⁻¹ R

x 7−→ 1

x x 7−→ −1

x² R^∗

x 7−→ 1

xⁿ (n∈N^∗) x 7−→ − n xⁿ⁺¹

R^∗

x 7−→√

x x 7−→ 1

2√

x [0; +∞[ ]0; +∞[

x 7−→e^x x 7−→e^x R

x 7−→lnx x 7−→ 1

x ]0 ; +∞[

x 7−→sin(x) x 7−→cos(x) R

x 7−→cos(x) x 7−→ −sin(x) R

Exercice 4 : Calculer l’équation de la tangente à la courbe de la fonction x 7−→ e^x au point d’abscisse0.

Exercice 5 : Soit Hl’hyperbole d’équationy = 1

x etMo un point appartenant à H, d’abscisse xoquelconque.

1 Déterminer l’équation réduite de la tangenteToàHau pointMo.

2 Déterminer en fonction dexo, les coordonnées des points Po etQo d’intersection deTo res- pectivement avec l’axe des abscisses et avec l’axe des ordonnées.

3 Démontrer queMo est le milieu du segment[P Q].

Exercice 6 : La fonction f est définie sur R par f(x) = x² et on note C_f sa représentation graphique dans un repère orthogonal.

Les pointsAetBde la courbeC_f ont pour abscisses respectivesaetbaveca6=b.

On noteTAetTB les tangentes à la courbeC_f respectivement aux pointsAetB.

1 Donner l’équation réduite deTAen fonction deapuis celle deTB en fonction deb.

2 Déterminer l’abscisse du point d’intersectionCdeTAetTB. 3 Calculer les coordonnées du milieuJ de[AB].

4 On noteI le point de la courbeC_f ayant la même abscisse queC.

Montrer que la tangente àC_f au pointI est parallèle à la droite(AB).

5 En déduire une méthode pour construire la tangente à la courbe en un point quelconque deC_f sans calculer la dérivée.

6 Tracer alors avec cette méthode, les tangentes àC_f aux points I d’abscisse 2 et au point I^′ d’abscisse−3dans un repère orthogonal.

Exercice 7 : On considère la fonctionf définie surRpar :

f(x) =







sinx

x six6= 0 1 six= 0.

1 Étudier la continuité def surR.

2 Que dire de sa dérivabilité ? Correction :

— Toute valeur de

^R

possède une image donc la fonction

^f

est bien définie sur

^R

.

— Comme quotient de de deux fonctions continues

^x 7−→ sinx

et

^x 7−→x

de dénominateur non nul sur

^{]0 ; +}∞[

, la fonction

^f

est bien continue sur

^{]0 ; +}∞[

.

— Reste à savoir ce qu’il se passe pour

^{x= 0}

. Deux cas de figure se présentent : 1 Soit

_x→0^{limf(x) = lim}_x→0^sin_x^{x = 1 =f(0)}

et

la fonction est continue en

⁰

. 2 Soit

_x→0^{limf(x) = lim}_x→0^sin_x^x 6= 1 =f(0)

et la fonction est discontinue en

⁰

.

Or, on sait depuis le chapitre précédent que

_x→0^{lim sin}_x^{x = 1}

.

Donc la fonction

^f

est continue en

⁰

et sur

^R

tout entier par extension.

Dérivation et opérations algébriques

En abrégé, on noteu^′ et v^′ respectivement à la place de u^′(x) et v^′(x) et on suppose toutes les fonctions définies et dérivables pour simplifier les notations :

Fonctionf Dérivée f^′

Produit par une

constante λu, λ∈R ku^′

Somme u+v u^′+v^′

Produit u×v u^′v+uv^′

Quotient u

v

u^′v−uv^′ v²

ATTENTION

Le quotient u

v de deux fonctions dérivables n’est dérivable que si l’on précise bien que le dénominateur est non nul.

Dérivée d’une composée D’une manière générale :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle J et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x deI, u(x)∈J.

La fonctionf ◦u est dérivable et, pour tout réel x deI : fu(x)^′ =u^′(x)×f^′u(x) Théorème 2

Preuve:

Soit un réel

^a∈I

et un réel

^{h >0}

tel que

^a+h

soit dans

^I

. On calcule le taux d’accroissement de

^f(u)

entre

^a

et

^a+h

.

fu(a+h)−fu(a)

h = u(a+h)−u(a)

h ×fu(a+h)−fu(a) u(a+h)−u(a)

Or, la fonction

^u

est dérivable sur

^I

donc

_h→0^{lim u(a+h)}_h^{−u(a) =u′(a)}

. De plus :

— La fonction

^u

est continue sur

^I

donc en

^a

et on a :

h→0limu(a+h) =u(a) ⇐⇒ lim

h→0u(a+h)−u(a) = 0.

— La fonction

^f

étant dérivable sur

^J

, elle est dérivable en

^u(a)∈J

:

h→0lim

fu(a+h)−fu(a)

u(a+h)−u(a) =

H=u(a+h)−u(a) lim

H→0

fu(a) +H−fu(a)

H =f^′u(a).

— Enfin, la fonction

^u

est dérivable en

^a

donc :

h→0lim

u(a+h)−u(a)

h =u^′(a).

En conclusion, d’après les théorèmes sur les limites de produits :

h→0lim

fu(a+h)−fu(a)

h =u^′(a)×f^′u(a).

La fonction

^f(u)

est donc dérivable en

^a∈I

quelconque donc sur

^I

tout entier.

Soi u une fonction dérivable sur un intervalle I vérifiant les conditions du tableau.

Fonction f Dérivée f^′ Conditions sur u

√u u^′

2√u

u prend des valeurs strictement positives.

1

u −u^′

u² u ne s’annule pas.

uⁿ, n∈Z\ {−1} nu^′×uⁿ⁻¹ Sin < 0 alorsu ne s’annule pas.

e^u u^′e^u

lnu u^′

u

u prend des valeurs strictement positives.

f(ax+b) a×f^′(ax+b)

cosu −u^′×sinu

et cos(ax+b) −a×sin(ax+b)

sinu u^′×cosu

et sin(ax+b) a×cos(ax+b) Théorème 3

Preuve:

Les démonstrations ci-dessous ne sont qu’une application du

^{théorème (2)}

. On en donne quelques unes de manière directe pour s’entraîner.

1. Soit un réel

^a∈I

et un réel

^{h >0}

tel que

^a+h

soit dans

^I

. On calcule le taux d’accroissement de

^√u

entre

^a

et

^a+h

.

qu(a+h)−^qu(a)

h = u(a+h)−u(a)

h^qu(a+h) +^qu(a) = u(a+h)−u(a)

h × 1

qu(a+h) +^qu(a)

Or, la fonction

^u

est dérivable sur

^I

donc

_h→0^{lim u(a+h)}_h^{−u(a) =u′(a)}

. De plus,

_h→0^{lim q 1}

u(a+h) +^qu(a) = 1 2^qu(a)

.

D’où, d’après les théorèmes sur les produits de limites

limh→0

qu(a+h)−^qu(a)

h =u^′(a)× 1

2^qu(a) = u^′(a) 2^qu(a).

2. Le raisonnement est identique en formant le taux d’accroissement :

1

u(a+h)− 1 u(a)

h = u(a)−u(a+h)

hu(a+h)u(a) =−u(a+h)−u(a)

h × 1

u(a+h)u(a)

D’après les théorèmes sur les produits de limites

_h→0^lim _u(a+¹_h)u(a) ⁼ _u2¹_(a)

puis

h→0lim 1

u(a+h) − 1 u(a)

h =−u^′(a) u²(a).

3. On démontre par récurrence sur

ⁿ ∈N

.

On a

^{u1′ =u′ = 1}×u^′u¹⁻¹

. La proposition est donc initialisée au rang 1.

Supposons qu’il existe un entier

^k∈N^∗

tel que la propriété «

^{uk′ =ku′uk−1}

» soit vraie.

Alors

^{uk+1′ =uku′ =uk′u+uku′ =ku′uk−1u+uku′ = (k+ 1)u′uk}

. La propriété est donc héréditaire.

Étant initialisée, elle est donc vraie pour tout

ⁿ∈N

.

4. Soit

^u

dérivable sur

^I

et deux réels

^a

et

^b

tels que

^x∈I ⇒(ax+b)∈I

.

— Si

^{a= 0}

, alors

^{f :x}7→u(b)

est constante et on a bien

^f′(x) = 0 = 0×u^′(b)

.

— Prenons

^a6= 0

. La fonction

^u

est dérivable sur

^I

donc :

pour tous

^X ∈I

et

^H

réel tels que

^(X+H)∈I

:

_H^lim_→0^u(X+H)_H^{−u(X) =u′(X)}

. Posons

^{X =ax+b}

et

^{H =ah}

. Alors,

^H

tend vers 0 vu que

^h

tend vers 0 et que

^a6= 0

. Ainsi :

h→0lim

u(ax+b+ah)−u(ax+b)

ah =u^′(ax+b).

D’où

_h→0^{lim u}

a(x+h) +b−u(ax+b)

h =au^′(ax+b)

.

Exercice 8 : Calculer la dérivée des fonctions et préciser leur domaine de dérivabilité avec : f1(x) = (x−4)²

f2(x) = √

4x−5.

f₃(x) = √

x² −x−2 f₄(x) = (5x−3)². f₅(x) = 1

√x−1. f6(x) = (x²+ 2x−9)³. f7(x) =

x+ 1 x+ 2

3

. f8(x) = √

x² + 1.

f₉(x) = x³ −3 + 3√ x f₁₀(x) = 4x³+ 2x−1⁴

f11(x) = √ 1−x² f₁₂(x) =

1− 1 x

3

f₁₃(x) = cos (5x−2) f14(x) = (sin 5x)² f15(x) = √

cosx.

f16(x) = cos((x²−3)³).

f₁₇(x) = cos√

2 + sinx. f₁₈(x) = 5

3 (x−2)⁴ f19(x) = x²

(x+ 1)³

f₂₀(x) =

x+ 2 x−2

2

.

f₂₁(x) = (x−2)³+ 1 (2x−1)³. f₂₂(x) = 1−x²²

f23(x) = 1−3x²³ f₂₄(x) = x² +x+ 1² f₂₅(x) = sin²x

f₂₆(x) = cos 2x f₂₇(x) = sin

2x+ π 6

Exercice 9 : Déterminer la dérivée des fonctions suivantes sans se préoccuper du domaine de dérivabilité.

f₁(x) = e^4x+1 f2(x) = e^x+x²+ 1 f₃(x) = 5e^x+ 5xe^x f4(x) = e^xsinx f₅(x) = 3x+ 1−e^x

e^x f6(x) = e^−x+x⁻¹

f7(x) = 1 e^x

f₈(x) = (e^x)²+e^−x f9(x) = e^3x2+5x−3

e^x+ 1 f10(x) = e^5x3+7x+4 f₁₁(x) = (x+ 1)e^−x+1 f12(x) = e

2x+3x−2

f₁₃(x) = xe^x1 f₁₄(x) = e^2x

x+ 2 f15(x) = 2e^x−3e^−x

e^x+e^−x f₁₆(x) = x² −4e^x−2 f17(x) = e

2x−14

Exercice 10 : Soit la fonctionf définie pour toutx∈Rpar : f(x) = 4e^x

e^x+ 7. On noteC la courbe représentative de la fonctionf.

1 Vérifier que, pour tout réelx,f(x) = 4 1 + 7e^−x.

2 ① Démontrer que la courbeC admet deux asymptotes dont on précisera les équations.

② Démontrer quef est strictement croissante surR.

③ Démontrer que pour tout réelx,0< f(x)<4.

Exercice 11 : Écrire une équation de la tangente à la courbe représentative defau point d’abscisse x₀.

1 f(x) = 2x−3

x+ 4 x0 = 1 2 f(x) = x

√x+ 1 x₀ =−1 2

3 f(x) = 4x²

(x+ 1)³ x0 = 2

Exercice 12 : Déterminer la dérivée des fonctions suivantes : f₁(x) = sin

3x− π 4

f₂(x) = x²+ cosx f3(x) = sin 2x f₄(x) = cosxsinx f₅(x) = sin²x f₆(x) = x²cosx

f₇(x) = cos²x f8(x) = sinx+ cosx f9(x) = 2 cosx+ 3

2 cosx−3 f₁₀(x) = sinx(1 + cosx) f₁₁(x) = sin(x²)

f12(x) = cosx sinx

f₁₃(x) = (5x−3)³cosx f₁₄(x) = cos(πx−1)

cos(x−π) f₁₅(x) = 2xsin (3x+ 1) f16(x) = 3x²−2sin²x f₁₇(x) = 2 cos 2x

3−sin (1−x) Exercice 13 : Soitfiune fonction définie surD_f

i. Calculerf_i^′(x).

f1(x) = sinx

cosx surR\ {π

2 +kπoùk ∈R}. f2(x) = 3

2 cosx surR\

π

2 +kπoùk∈Z

.

f₃(x) = cosx

3x+ sinx surR^∗. f₄(x) = cosx+ 2

sin²x+ 2 surR.

Exercice 14 : Soitf une fonction définie et dérivable enx₀ de courbe représentativeC. Calculerf(x0)etf^′(x0), puis donner une équation de la tangente àC au point d’abscissex0.

1 f(x) = x²+ 4x+ 7

x²+ 1 x₀ = 1

2 f(x) = (2x−1)¹¹ x₀ = 0

3 f(x) = 3x−2√

−x−5

x x₀ =−1 4 f(x) =√

5−2x x₀ = 2

5 f(x) = cos 2x x₀ = π 4 Correction :

1

^{f(x0) = 6}

;

^{f′(x0) =}−3

;

y=−3x+ 9

.

2

^{f(x0) =}−1

;

^{f′(x0) = 22}

;

y= 22x−1

.

3

^{f(x0) = 0}

;

^{f′(x0) = 9}

;

y= 9x+ 9

.

4

^{f(x0) = 1}

;

^{f′(x0) =}−1

;

y=−x+ 3

.

I.4 Dérivée et variations

Sens de variation d’une fonction

Soit f une fonction dérivable sur un intervalleI ouvert.

— f est croissante sur I si, et seulement si ∀x ∈ I, f^′(x) > 0 (sauf en quelques points isolés de I où elle s’annule).

— f est constante sur I si, et seulement si ∀x∈I, f^′(x) = 0.

— f est décroissante surI si, et seulement si∀x∈I, f^′(x)60 (sauf en quelques points isolés de I où elle s’annule).

Rappels 1

Ce théorème ramène donc l’étude des variations d’une fonction à celle du signe de sa dérivée.

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalleI.

On dit que x₀ est un point critique de f sif^′(x0) = 0.

Définition 4

Graphiquement, cela signifie que la courbe de f admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

Exemple 3 :

La fonction cube

^{f : x}7−→x³

admet un point critique en en

⁰

.

En effet,

^f

est dérivable sur

^R

de dérivée

f^′(x) = 3x²

qui s’annule en

^{x0 = 0}

.

En ce point, la courbe représentative de la fonction admet l’axe des abscisses comme tan- gente.

0 1 2 3

−1

−2

0

−2

−4

−6 2 4 6

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et x0 un point intérieur àI.

si f admet un extremum en x₀ alorsx₀ est un point critique.

Lemme 4(Admis)

Preuve:

Ce lemme est admis en terminale car il manque encore quelques notions d’analyse réelle. On va tout de même donner une idée de la démonstration.

Supposons par exemple que

^x0

soit un maximum local de

^f

c.-à-d. pour tout

^x

« pas trop loin » de

^x0

, on a :

f(x0)>f(x) ⇐⇒ f(x0)−f(x)>0.

Le signe du taux d’accroissement

^f(x)_x⁻₋^f(x_x ⁰⁾

0

est donc toujours du signe de

^x−x0

. Or,

x x−x₀

−∞ x0 +∞

− 0 +

Le nombre dérivé de

^f

en

^x0

sera donc à la fois positif lorsque

^x→x⁺₀

et négatif quand

^x→x⁻₀

. Il est nécessairement nul.

Donc

^{f′(x0) = 0}

.

ATTENTION

^L’ exemple (3) montre que c’est bien une condition seulement nécessaire.

La dérivée peut très bien s’annuler, par exemple en 0 pour la cubique, sans que ce ne soit nécessairement un extremum.

Soit f une fonction dérivable sur un intervalleI ouvert et x₀ ∈I.

f(x0) est un extremum local de f si et seulement si f^′ s’annule en changeant de signe en x₀.

Théorème 5 (CNS d’extremum)

Exercice 15 : Soit la fonctionf définie surRpar :

f :x7→ x²+ 2x+ 5

√x²+ 1 . 1 Établir quef est dérivable surRet que :

f^′(x) = (x−1)(x²+x−2) (x²+ 1)√

x²+ 1 . 2 Dresser le tableau de variation def.

Exercice 16 : Soit la fonctionf définie par :

f :x7→ x²+ 2x+ 1

√x+ 3 .

1 Déterminer les ensembles de définition et de dérivabilité def.

2 Montrer que, là oùf est dérivable :

f^′(x) = (x+ 1)(3x+ 11) 2(x+ 3)√

x+ 3 . 3 Dresser le tableau de variation def.

4 Montrer quef admet un minimum sur son ensemble de définition.

Exercice 17 : Soit la fonctionf définie sur[0 ; +∞[par : f(x) = 2x−√x

2 +√x . 1 Montrer quef est dérivable sur]0 ; +∞[et que :

f^′(x) = x+ 4√x−1

√x(2 +√ x)².

2 Résoudre l’équationX²+ 4X−1 = 0et en déduire le signe def^′(x).

3 Dresser le tableau de variation def.

Exercice 18 : Étudier la fonctionf, définie surRpar : f(x) = 1

2cos(2x)−cos(x).

Aide:

(i) fest2π-périodique.

(ii) fest paire.

(iii) Le domaine d’étude est[0 ;π].

(iv) f^′(x) = sin(x) 1−2 cos(x)

II Convexité

II.1 Dérivée seconde

Soit f une fonction dérivable sur un intervalleI. On note f^′ sa fonction dérivée.

Lorsque f^′ est dérivable sur I, on note f^′′ sa dérivée, appelée la dérivée seconde de f sur I et que l’on lit «f seconde ».

Définition 5

Remarque : On peut également calculer des dérivées d’ordre 3, 4, 5, . . . , n∈ N que l’on note respectivement f⁽³⁾,f⁽⁴⁾, f⁽⁵⁾,. . . , f⁽ⁿ⁾.

Exemple 4 :

Soit

^f

la fonction polynôme définie sur

^R

par

^{f(x) = 4x3 + 2x2+ 13x+ 9}

.

—

^f

est dérivable sur

^R

et, pour tout réel

^x

, on a

^{f′(x) = 12x2+ 4x+ 13}

.

—

^f′

est un polynôme qui est donc dérivable sur

^R

et, pour tout réel

^x

, on a

^f′′(x) = 24x+4

. Ainsi, la dérivée seconde de la fonction

^f

est la fonction

^f′′

définie sur

^R

par

^f′′(x) = 24x+4

.

— Comme

^f′′

est encore un polynôme,

^f′′

est dérivable sur

^R

et, pour tout réel

^x

, on a

f⁽³⁾(x) = 24

.

— Enfin,

^f(3)

étant encore dérivable sur

^R

, on a

^{f(4)(x) = 0}

.

Remarque :

C’est un fait général que la dérivée

^{(n+ 1)}

-ième d’un polynôme

^f

de degré

n

soit nulle :

^{f(n)(x) = 0}

.

II.2 Fonctions convexes

Soient f une fonction définie sur un intervalle I.

On dit quef est convexe sur I lorsque sa courbe représentative est au-dessous de chacune de ses sécantes entre les deux points d’intersection.

On dit que f est concave si −f est convexe.

Définition 6

|

a

|

b A

B

f(a) f(b)

λ f(a) + (1−λ)f(b)

f λ a+ (1−λ)b

λ a+ (1−λ)b

y=f(b)−f(a) b−a

x+bf(a)−af(b) b−a

C_f

Traduisons la phrase « la courbe représentative est située au-dessous de ses sécantes » : Soit c=λa+ (1−λ)b avec λ∈[0 ; 1 ] un point entre a etb.

La fonctionf est convexe si, et seulement si le point d’abscisse cde la courbeC_f est au-dessous de celui de la sécante [AB] c.-à-d. l’ordonnée du point de la courbe est inférieure à celle du point de la sécante :

f(c)6 f(b)−f(a)

b−a c+ bf(a)−af(b) b−a fλ a+ (1−λ)b6 b−c

b−af(a) + c−a b−af(b) Or, c=λa+ (1−λ)b =⇒ λ= c−b

a−b = b−c

b−a et 1−λ= a−c

a−b = c−a b−a. Donc,f(c)6λf(a) + (1−λ)f(b).

On pourrait alors donner une autre définition d’une fonction convexe :

Soient f une fonction définie sur un intervalle I.

On dit quef est convexe sur I si, et seulement si pour tout réelsxetydeI tels que x < y on a :

∀λ∈[0 ; 1 ], fλx+ (1−λ)y6λf(x) + (1−λ)f(y).^⌊5⌋

Définition 7

⌊5⌋. L’image d’une enveloppe convexe est inférieure à l’enveloppe convexe des images.

Exemples 5 :

— Les fonctions

^x7−→x²

,

^x7−→ |x|

et

^x7−→e^x

sont convexes.

0 1 2 3

−1

−2 1 2 3 4

x7−^→x2.

0 1 2 3

−1

−2

−3

1 2 3

x7−^{→ |x|.}

0 1

−1

−2 1 2 3 4

x7−^→ex.

— Les fonction

^x7−→√

x

et

^x7−→lnx

sont concaves.

0 1 2 3 4 5 6

1 2

x7−^→√x.

0 1 2 3 4

0

−1

−2 1

x7−^→lnx.

0 1 2

−1

−2 0

−1 1 2

x7−^{→ 1}₂^{x+ 1.}

— Les seules fonctions à la fois convexes et concaves sont les fonctions affines.

— Toute combinaison linéaire à coefficients positifs de fonctions convexes est convexe.

Soitf une fonction deux fois dérivable sur un intervalleI. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :

1. f^′′ est positive sur I.

2. f^′ est croissante sur I.

3. La courbe représentative de f est au-dessus de ses tangentes sur I 4. f est convexe sur I.

Théorème 6

Preuve:

(1) ⇐⇒ (2) :

C’est la partie facile en remarquant que

^f′′

est la dérivée de

^f′

.

(2) ⇐⇒ (3) :

Soit

^x0

un point quelconque de

^I

, l’équation de la tangente

^(Tx0

à la courbe de

f

en

^x0

s’écrit :

y=f^′(x0)(x−x0) +f(x0).

Considérons la fonctions

^ϕ

définie par :

′

Le signe de

^ϕ

donne donc la position de

^Cf

par rapport à la tangente

^(Tx0

. Montrer que

⁽²⁾ ⇐⇒ (3)

revient à montrer que :

f^′

est croissante sur

^I

si, et seulement si

^∀x∈I

,

^ϕ(x)>0

.

La fonction

^ϕ

étant dérivable comme somme de fonctions dérivables sur

^I

, on a :

ϕ^′(x) =f^′(x)−f^′(x₀).

x < x₀ : f^′

croissante

⇐⇒ f^′(x)6f^′(x0) ⇐⇒ ϕ^′(x)60

⇐⇒ ϕ

est décroissante avec

^{ϕ(x0) = 0}

⇐⇒ ∀x∈I, ϕ(x)>0

⇐⇒ C_f

est au-dessus de ses tangentes sur

^I

x₀ < x :

Le raisonnement est identique :

f^′

croissante

⇐⇒ f^′(x0)6f^′(x) ⇐⇒ ϕ^′(x)>0

⇐⇒ ϕ

est croissante avec

^{ϕ(x0) = 0}

⇐⇒ ∀x∈I, ϕ(x)>0

⇐⇒ C_f

est au-dessus de ses tangentes sur

^I

(2) ⇐⇒ (4) :

Démontrons cette équivalence par double implication.

(4) =⇒ (2) :

Supposons

^f

convexe sur

^I

et soient

^{x < z}

deux points quelconques de

^I

. Il suffit donc de montrer que

^{f′(x)6f′(z)}

.

Pour tout

^λ ∈]0 ; 1 [

,

^{y = λx+ (1}−λ)z

est tel que

x < y < z

et réciproquement.

Remarquons aussi pour plus tard que :

x= 1 λy+

1− 1 λ

z. (IV.3)

Comme

^f

est convexe,

f(y)6λf(x) + (1−λ)f(z) (IV.4)

ou encore, en isolant

^f(x)

,

^λ

étant non nul :

f(x)> 1

λf(y) +

1− 1 λ

f(z) (IV.5)

Comme

¹−λ6= 0

, d’après

^(IV.4)

:

f(y)−f(x)

y−x 6 λf(x) + (1−λ)f(z)−f(x)

λx+ (1−λ)z−x =^✘✘✘

(1−λ)✘f(z)−f(x)

✘✘✘✘

(1−λ)(z−x) = f(z)−f(x) z−x .

(IV.6)

De même, en utilisant

^(IV.5)

et

^(IV.3)

:

f(z)−f(x) z−x 6

f(z)− 1

λf(y)−

1− 1 λ

f(z) z− 1

λy−

1− 1 λ

z

= ^✄

✄✄

1 λ

f(z)−f(y)

✄1✄✄

λ(z−y)

= f(z)−f(y) z−y .

(IV.7)

En rassemblant

^(IV.6)

et

^(IV.7)

, pour tout

x < y < z

de

^I

avec

^f

convexe, on a :

f(x)−f(y)

x−y 6 f(z)−f(x)

z−x 6 f(z)−f(y)

z−y . (IV.8)

La fonction

^f

étant dérivable sur

^I

donc en

^x

et

^z

,

y→xlim

f(x)−f(y)

x−y =f^′(x)

et

_y→z^{lim f(z)}_z⁻₋^f_y^{(y) =f′(z).}

À partir des inéquations

^(IV.8)

, en passant à la limite en

^y

séparément, on obtient successivement :

f^′(x)6 f(z)−f(x)

z−x 6f^′(z)

puis

^{f′(x)6f′(z)}

. La fonction

^f′

est donc croissante sur

^I

et

⁽²⁾

est démontré sous l’hypothèse

⁽⁴⁾

.

Remarque :

Revenons sur les inégalités de

^(IV.8)

: Si l’on note

^{X x, f(x)}

,

^{Y y, f(y)}

et

Z z, f(z)

, alors

^(IV.8)

traduit le fait que la pente de la droite

^(XY)

est inférieure à celle de

^(XZ)

, elle-même inférieure à celle de

(Y Z)

, comme le montre clairement l’illustra- tion ci-contre.

X

Y

Z

x y z

f(x) f(y) f(z)

C_f

(2) =⇒ (4) :

C’est le point délicat et hors-programme à cause d’un théorème que vous ne possédez pas encore. On va l’admettre un peu comme vous quand vous ne savez pas faire une question et que vous passez à la suivante. C’est ce qu’il faut faire!

Supposons donc

^f′

croissante sur

^I

et considérons deux points

^{x < y}

distincts de

^I

. Il nous suffit de montrer que, pour tout

^λ∈[0 ; 1 ]

,

fλx+ (1−λ)y6λf(x) + (1−λ)f(z).

Posons

^{y = λx+ (1}−λ)z

et appliquons le théorème des accroissements finis

^⌊6⌋

aux intervalles

^[x;y]

et

^[y;z]

.

Il existe donc deux réels

^y1 ∈]x;y[

et

^y2 ∈]y;z[

tels que :

f^′(y₁) = f(y)−f(x)

y−x

et

^{f′(y2) = f(z)}_z⁻₋^f(y)_y ^.

Comme

^{y1 < y2}

, par croissance de

^f′

sur

^I

on a :

f^′(y₁)6f^′(y₂) f(y)−f(x)

y−x 6 f(z)−f(y) z−y

(z−y)f(y)−f(x)6(y−x)f(z)−f(y) y−x >0

et

^z−y >0 (z−x)f(y)6(y−x)f(z)−(y−z)f(x)

f(y)6 y−x

z−xf(z) +y−z x−zf(x)

Or,

^{y=λx+ (1}−λ)z =⇒ λ= y−z

x−z

et

¹−λ= x−y

x−z = y−x z−x

. Donc,

^{f(y)6λf(x) + (1}−λ)f(z).

En conclusion,

^f

est convexe sur

^I

et on a prouvé que

^{(4) =⇒ (2)}

.