Si une fonctionf est dérivable sur un intervalle I alors elle est continue sur I.
Théorème 1 (Dérivabilité entraîne continuité)
Preuve:
La démonstration de ce théorème est hors-programme.
⌊2⌋Globalement, il suffit de linéariser.
fest dérivable en
asi et seulement si il existe une quantité
f′(a)
telle que :
f′(a) = f(a+h)−f(a)
h +ε(h)
où
h→0limε(h) = 0f(a+h) = f(a) +hf′(a) +hε(h)
Il est alors clair que
h→0limf(a+h) =f(a). La fonction
fest donc continue en
a.
Ce théorème explique simplement que la notion de dérivabilité est plus forte que celle de conti-nuité comme l’était déjà la notion de conticonti-nuité par rapport à celle de définition. On pourra donc trouver des fonctions continues sans qu’elles soient dérivable mais pas l’inverse.
ATTENTION
La réciproque de ce théorème est fausse. Pour s’en rendre compte, on peut s’appuyer sur les représentations graphiques du chapitre précédent :— Si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation graphique est en un seul morceau.
— Si la fonction est dérivable sur un intervalle, sa représentation graphique admet une tangente en chacun de ses points.
0 1 2 3 4
1 2 3
x7−→√ x.
0 1 2
−1
−2 1 2 3
x7−→ |x|.
Comme explicité précédemment, les premiers exemples à avoir en tête sont la fonction valeur absolue et la racine carrée et globalement, l’image à avoir en tête est celle de la fonction ci-dessous :
a
bA
La fonction est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau.
Par contre, la fonction n’est pas dérivable en a, car la représentation admet au pointAdeux demi-tangentes.
On dit que la courbe admet un point angu-leux en a.
Exercice 3 : Soitf définie surRparf(x) =
2−x2 six <1;
1
x six>1
Montrer quef est continue mais n’est pas dérivable en 1. Donner une interprétation géométrique.
Un peu de cinématique : On considère un objet en mouvement sur un axe. On note t la durée en secondes de son parcours, et x(t) la distance en mètres, parcourue après t secondes.
On note t0 et t1 = t0 +h deux instants : le quotient x(t1)−x(t0)
h est la vitesse moyenne de l’objet entre les instants t0 ett1 =t0+h.
Dans les conditions précédentes, la limite quand h se rapproche de 0 de la vitesse moyenne⌊3⌋est appelée vitesse instantanée de l’objet à l’instant t0.
V(t0) = lim
t1→t0
x(t1)−x(t0)
t1−t0 = lim
h→0
x(t0+h)−x(t0)
h (IV.2)
Définition 2
Deux manières de voir ce résultat :
— La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne lorsque l’écart entre les deux points de mesure tend vers 0.
— La vitesse instantanée est la dérivée première de la position.⌊4⌋
Exemple 2 :
On lâche un objet en chute libre. On note
x(t)la distance parcourue (en m) après
tsecondes. On admet que la distance parcourue s’exprime en fonction du temps de parcours par
x(t) = 4,9t2.
Calculer la vitesse instantanée de l’objet après une chute de
tsecondes.
Première méthode :
On exprime la vitesse moyenne de l’objet entre les instants
tet
t+h:
v = x(t+h)−x(t)
h = 4,9(t+h)2−4,9t2 h
⌊3⌋. c’est à dire le nombre dérivé de xent0
⌊4⌋. C’est quoi la dérivée seconde ?
En développant, réduisant et simplifiant, on obtient :
v = 4,9(t2+ 2th+h2)−4,9t2
h = 9,8th+ 4,9h2
h = 9,8t+ 4,9h
Lorsque
htend vers 0, ce quotient se rapproche de
9,8t:
limh→0(9,8t+ 4,9t) = 9,8t. Donc la vitesse instantanée de l’objet en chute libre est donnée par l’expression
v(t) =x′(t) = 9,8t.
Deuxième méthode :
On calcule la dérivée de la position :
v(t) =x′(t) = dx(t)
dt = 4,9×2t= 9,8t.
Après 5 secondes de chute libre, la vitesse est de
9,8×5 = 49m/s. (soit 179,4 km/h).
Remarque :Les physiciens expriment volontiers une variation à l’aide du symbole ∆. Ils notent ainsi ∆t=t1−t0 et ∆x=x1−x0.
Pour une variation très petite, reprenant une notation introduite par Isaac Newton, on note alors dtet dx. On obtient ainsi la notation différentielle de la dérivée :
x′(t) = dx(t) dt .
L’avantage de cette notation est de rendre bien visible la variable par rapport à laquelle on dérive. Ici, la position x(t) est dérivée par rapport au temps.
En mathématiques, et temps que l’on ne considérera que des fonctions d’une seule variable, on note plus simplement df(x)
dx =f′(x).
Une fonctionf :I 7−→R est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I.
On appelle fonction dérivée de f sur I, que l’on note f′ ou df dx
!
, la fonction qui à tout x deI associe le nombre dérivé de f en x :
f′ : I R
x f′(x).
Définition 3(Fonction dérivée)
Un peu d’histoire:
— La notion de dérivée tire son origine dans l’étude des tangentes, et en particulier de la pente des tangentes. Pierre de Fermat le premier (en 1636) constate que très souvent, la pente s’obtient en écrivant f(a+e)−f(a)
e , en « prenant » e = 0 (il ne dispose pas encore de la notion de limite). Il appelle e un « infiniment petit ».
— Newton, en 1669, introduit la notation ( ˙x, y,˙ z), pour les dérivées des coordonnées d’un˙ point, qu’il appelle « fluxions » des « fluentes » (x, y, z), qu’il définit comme les vitesses dont les fluentes sont augmentées graduellement et indéfiniment.
Sa notation est encore utilisée actuellement en physique.
— En 1674, Leibniz introduit la notation dx; pour désigner une variation infinitésimale sur l’abscisse, et dy pour désigner une variation infinitésimale sur l’ordonnée. Siy dépend de x, dx
dy désigne donc la variation infinitésimale de la fonction y rapportée à la variation infinitésimale dexqui l’a provoquée : il s’agit bel et bien de la définition de Fermat, et rien de plus : pas de nouvelle théorie, juste une nouvelle notation, encore largement utilisée aujourd’hui, notamment sous la forme non quotientée (pensez aux intégrales !)
— À la fin du 18ème siècle, Joseph-Louis Lagrange introduit la terminologie « dérivée » et la notation f′.
— La formalisation rigoureuse est due à Karl Weierstrass dans la deuxième moitié du 19ème siècle, s’appuyant sur une définition rigoureuse de la notion de limite et de continuité (dont il donne également pour la première fois une définition rigoureuse et précise)