Point d’inflexion

Soit f une fonction dérivable sur un intervalleI.

On dit que x₀ est un point d’inflexion de f si la courbe de f traverse sa tangente en x₀. Définition 8

Exemple 7 :

La fonction cube

^x 7−→ x³

admet un point d’inflexion en

⁰

.

En ce point, la courbe représentative de la fonction traverse sa tangente.

0 1 2 3

−1

−2

0

−2

−4

−6 2 4 6

Soient f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et x0 un point intérieur de I.

Les quatre propositions sont équivalentes : 1. x₀ est un point d’inflexion de f. 2. f change sa convexité en x₀.

3. f^′′ s’annule et change de signe en x₀. Proposition 8

Preuve:

Tout découle du

^{théorème (6)}

:

Si

^x0

est un point d’inflexion alors

^Cf

traverse sa tangente en

^x0

passant de dessus à dessous ou inversement ce qui est équivalent à dire que

^Cf

passe de convexe à concave ou inversement.

Elle change donc sa convexité.

De même, si

^Cf

traverse sa tangente en

^x0

, il est équivalent de dire que

^f′′

passe de positive à négative ou inversement. Donc, elle s’annule en changeant de signe.

Considérant une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I.

D’après la proposition (8) , il suffit de chercher les points de I où f^′′ s’annule en changeant de signe. C’est exactement comme trouver les extrema d’une fonction f où l’on cherche les points où la dérivée, première cette fois, s’annule en changeant de signe.

1. On calcule f^′′ sur I.

2. On dresse un tableau de signes de f^′′.

3. Les points x∈I où f^′′(x) s’annule en changeant de signe sont les points d’inflexion def.

Méthode 1 (Trouver un point d’inflexion)

ATTENTION

Si la dérivée seconde s’annule en a sans changer de signe, ce n’est pas un point d’in-flexion !

Par exemple, la fonction f : x 7−→x⁴ dont la dérivée seconde f^′′(x) = 12x² s’annule en 0 n’admet pas de point d’inflexion en ce point. C’est une sorte de parabole plus rapide donc toujours convexe.

Exercice 22 : Soitf la fonction définie surRparf(x) =x+ 1 +xe^−x. On noteC_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé(O; −→ı ; −→ ).

1 ① Déterminerf^′, la dérivée def etf^′′sa dérivée seconde.

② Étudier le sens de variations def^′.

③ En déduire que, pour tout réelx,f^′(x)>0.

④ Dresser le tableau de variations def surR.

⑤ Donner une équation deT0), la tangente àC_f au point d’abscisse0.

⑥ En déduire que, pour toutx62,f(x)62x+ 1.

2 On admet que l’équationf(x) = 2admet une unique solutionα.

① Prouver que, surR, résoudre l’équationf(x) = 2équivaut à résoudre e^x

e^x+ 1 =x.

② Dresser le tableau de variations de la fonctionhdéfinie sur[0 ; 1 ]parh(x) = e^x e^x+ 1.

③ En déduire que, sixappartient à[0 ; 1 ], alors : 06h(x)61.

III Plan d’étude d’une fonction

Nous terminons en résumant les différentes étapes pour l’étude d’une fonction f :

1. On commence par déterminer le domaine de définition def c.-à-d. on ne travaille pas sur quelque chose qui n’existe pas !

2. On restreint l’intervalle d’étude par parité ou périodicité si c’est le cas c.-à-d. on ne travaille pas pour rien.

3. On détermine les limites def au extrémités du domaine d’étude avant de les étendre au domaine de définition tout entier par symétrie ou translation.

4. Avant de dériver, on justifie que f est continue et dérivable sur l’intervalle d’étude c.-à-d. On n’effectue aucune opération sans en avoir le droit.^⌊7⌋

5. On calcule et on factorisef^′.

On détermine également les points d’annulation de la dérivée afin d’avoir les lieux des tangentes « horizontales ».

6. On étudie la convexité de f en cherchant les points où la dérivée seconde est positive, s’annule et change de signe afin de repérer les éventuels points d’inflexion.

7. On dresse le tableau de variation def en y reportant toutes les informations obtenues et, selon les cas, ses extrema, points d’inflexion, des valeurs remarquables, . . .

8. On trace la courbe représentative def, en suivant la méthode (2) ci dessous.

Pour tracer une jolie courbe représentative :

1. On trace les asymptotes à la courbe si elle existe.

2. On place les extrema locaux avec leur tangente « horizontale » et les demies-tangentes

« verticales » s’il y en a.

3. On place les points d’inflexion afin d’avoir une idée de quand change la concavité.

4. On place quelques points essentiels : ni trop, ni trop peu et suffisamment pour donner une idée de la courbe.

5. Le coude dans la concavité, on trace une jolie courbe, sans lever le crayon si la courbe est continue ni repasser et en s’appliquant bien à rendre la courbe tangente aux extrema locaux ainsi qu’aux points d’inflexion où l’on traversera la tangente et changera la concavité.

Méthode 2 (Pour tracer l’allure d’une courbe représentative)

⌊7⌋. Il est parfois inutile de dériver, je le rappelle.

Exercice 23 : Soitf la fonction définie surRpar : f(x) = 1

8(x²−x−2)³, représentée par la courbeC_f ci-dessous.

0 1 2 3

−1

−2 0

−1 1

C_f

1 Conjecturer les variations def. 2 Calculerf^′(x)et étudier son signe.

3 Dresser le tableau de variation def surR.

4 Déterminer l’équation de la tangente àC_f au point d’abscisse 1.

5 Calculerf^′′et montrer que,∀x∈R: f^′′(x) = 1

4(x²−x−2)(5x²−5x−1).

6 En déduire les points d’inflexion def surR.

Exercice 24 : Soit la fonctionf définie par :

f(x) = (ax+ 1)(2x²+x+ 1)².

Dans le repère(O ; I ; J)ci-dessous, on a représenté la courbeC_f représentative de la fonctionf et la droite qui passe parJ etB(1 ; 4).

0 1

−1 0

−1

−2 1 2 3 4

C_f

O I

J

B

1 ① Justifier que la courbeC_f passe par le pointJ.

② Déterminer le coefficient directeur de(JB).

③ Démontrer que, pour tout réel x:

f^′(x) = ^h10ax²+ (3a+ 8)x+a+ 2)ⁱ(2x²+x+ 1).

④ On admet que(JB)est tangente àC_f au pointJ.

Déterminer alors la valeur dea.

2 Montrer quef^′(x) = (10x²+ 11x+ 3)(2x²+x+ 1).

3 Déterminer les variations defsurR.

Exercice 25 : Soit la fonctionf définie surRpar : f(x) = cosx−sinx.

1 Calculersin

x+π 4

. 2 Calculerf^′(x).

3 En déduire les variations def sur[0 ; 2π].

4 Calculerf^′′(x)et étudier la concavité def.

Exercice 26 : Soitf la fonction définie par :

f(x) = cosx 1 + sinx. 1 Déterminer le domaine de définition def.

2 Montrer quef est périodique.

3 Montrer quef n’est ni paire ni impaire.

4 Calculerf^′(x)et en déduire le sens de variation def sur−π 2 ; 3π

2

.

IV Carte Mentale

• C_f admet une tangente horizontale enx₀,

• C_f conserve sa convexité.

• x0 est un point d’inflexion de f,

• C_f traverse sa tangente en x₀,

• C_f change sa convexité.

f est convexe

• C_f est au-dessus de ses tangentes,

• C_f est au-dessous de ses sécantes

f^′ est croissante f^′′(x)>0 f est dérivable

f^′ est dérivable

Cinématique, 5 Concavité, 24 Convexité, 16 Dérivée

n-ième,16

des fonctions usuelles, 3 d’une composée,9

des fonctions de référence,7 opérations algébriques,9 seconde, 16

Extremum, 14 CNS d’,15 Fonction

constante, 13 convexe,16,17

Courbe représentative,24 dérivée, 6

usuelle,3 variations, 13 Graphe, 1

Limite

du taux de variation,2 Méthode

Tracer une courbe représentative,24 Nombre

dérivé, 2 Point

anguleux,5 critique,14 d’inflexion,22 Tangente

demi-,5

équation de la,2 verticale, 3 Théorème

des accroissements finis,21 Vitesse

instantanée,5

Dans le document à l aide des propriétés de continuité et de dérivabilité. (Page 22-29)