GuyM´etivier INT´EGRALESSINGULI`ERES

Guy M´ etivier

INT´ EGRALES SINGULI` ERES

INT´ EGRALES SINGULI` ERES

Guy M´ etivier

TABLE DES MATI` ERES

Preface. . . 5

1. Le th´eor`eme de Marcinkiewicz. . . 7

1.1. Op´erateurs de type (p, q) et ´enonc´e du th´eor`eme. . . 7

1.2. Preuve du th´eor`eme. . . 8

2. Int´egrales faiblement singuli`eres. . . 13

2.1. In´egalit´e de Young. . . 13

2.2. Noyaux faiblement singuliers . . . 14

3. Int´egrales singuli`eres de Calderon–Zygmund (th´eorieL²). . . 17

3.1. ´Enonc´e du th´eor`eme. . . 17

3.2. Le Lemme de Cotlar-Stein. . . 18

3.3. Preuve du th´eor`eme 3.1.3. . . 19

4. Distributions de type 0. . . 23

4.1. Parties finies. . . 23

4.2. Distributions de type 0. . . 24

4.3. Convolution et transformation de Fourier. . . 26

4.4. Distributions r´eguli`eres de type 0. . . 27

5. Int´egrales singuli`eres. Th´eorie L^p. . . 33

5.1. D´ecomposition de Calderon-Zygmund d’une fonction. . . 33

5.2. Les int´egrales singuli`eres deL¹ dansL¹ faible. . . 36

5.3. Les int´egrales singuli`eres dansL^p. . . 39

6. Int´egrales singuli`eres dans les espaces de H¨older. . . 43

6.1. ´Enonc´e du r´esultat. . . 43

6.2. Preuve du Th´eor`eme 6.1.1. . . 44

7. Quelques applications. . . 47

7.1. Le th´eor`eme de Sobolev. . . 47

7.2. In´egalit´es de Schauder. . . 49

7.3. Noyau de Poisson. . . 51

8. Probl`emes aux limites d’ordre deux. . . 59

4 TABLE DES MATI `ERES

8.1. Espaces C^µ(Ω),C^µ(∂Ω). . . 59

8.2. In´egalit´es de Schauder. . . 63

8.3. Principe du maximum. . . 66

8.4. Probl`emes aux limites lin´eaires. . . 69

8.5. Un exemple de probl`eme non lin´eaire. . . 71

8.6. Un th´eor`eme de r´egularit´e `a l’int´erieur. . . 73

9. Op´erateurs pseudo-diff´erentiels. . . 77

9.1. Symboles. . . 77

9.2. Op´erateurs. . . 77

9.3. Noyaux distributions. . . 79

9.4. Composition. . . 81

9.5. Th´eor`eme de Calder´on–Vaillancourt. . . 85

10. Op´erateurs de type (1,1). . . 91

10.1. D´ecompostion en couronnes dyadiques. . . 91

10.2. Op´erateurs de type (1,1). . . 94

10.3. Op´erateurs paradiff´erentiels. . . 96

11. Op´erateur paradiff´erentiels. . . 99

11.1. Introduction. . . 99

11.2. Un exemple : le paraproduit. . . 100

11.3. Paralin´earisation. . . 105

11.4. Composition des op´erateurs paradiff´erentiels. . . 108

11.5. Calcul symbolique. . . 111

11.6. Application `a la r´egularit´e d’EDP non lin´eaires. . . 117

12. Microlocalisation. . . 119

12.1. D´efinitions. . . 119

12.2. Ellipticit´e microlocale. . . 122

12.3. R´egularit´e microlocale pour des EDP non lin´eaires. . . 123

Bibliographie. . . 125

PREFACE

Pr´eface de 2004.

Ces notes de cours correspondent `a un cours de DEA enseign´e `a l’Universit´e de Rennes en 1981-1982. La partie sur les int´egrales singuli`eres est tr`es classique (cf [9, 4]) et la partie sur le calcul para-diff´erentiel, alors nouvelle, a re¸cu depuis de tr`es nombreux d´eveloppements.

N´eanmoins, parce que l’exposition est auto-contenue et de niveau DEA, ces notes peuvent encore servir d’introduction et il a paru utile de les rendre disponibles. Initialement dac- tylographi´ees, elles ont ´et´e mises au format TeX par R´emi Carles, que je remercie ici tr`es chaleureusement.

Pr´eface de 1982.

Le but de ce cours ´etait d’´etudier la continuit´e L², L^p ou dans des espaces de H¨older C^µ d’op´erateurs qui interviennent dans l’´etude d´equations aux d´eriv´ees partielles, les applications

´etant l’obtention d’in´egalit´es a-priori ou la preuve de la r´egularit´e de solutions.

Dans un premier temps on s’est int´eress´e aux op´erateurs de convolution (int´egrales sin- guli`eres). Les chapitres 1 (th´eor`eme d’interpolation de Marcinkiewiecz), 2 (int´egrales faible- ment singuli`eres) et 3 (int´egrales de Calder`on-Zygmund) sont tout-`a fait classiques et essen- tiellement tir´es du livre de E.M. Stein [9] o`u on trouvera aussi les r´ef´erences “historiques”.

Au chapitre 4, on pr´esente la notion de distribution de type 0, qui permet d’englober les situations non homog`enes. En particulier, on caract´erise leur transform´ee de Fourier : pour faire simple, modulo des conditions de r´egularit´e `a preciser, ce sont les symbolesp(ξ) de degr´e 0 et de type 1. On voit alors l’´equivalence presque parfaite entre le point de vue int´egrale singuli`ere et le point de vue pseudo-diff´erentiel. Au chapitre 5 on ´etudie la th´eorieL<sup>p</sup> de ces op´erateurs, en suivant fid`element E.M.Stein [9] et des pr´esentations inspir´ees de R.Coifman et Y.Meyer [4]. Au chapitre 6 est faite la th´eorie H¨old´erienne. Les chapitres 7 et 8 pr´esentent des applications classiques. Pour les probl`emes aux limites elliptiques on renvoie `a S.Agmon- A.Douglis-L.Nirenberg [1] ou `a O.A.Ladyˇzenskya-N.M.Ural’ceva [5] (voir aussi [2]).

La deuxi`eme partie du cours commence au chapitre 9 (op´erateurs pseuo-diff´erentiels). On s’est content´e ici d’une pr´esentation tr`es succinte pour se concentrer tr`es rapidement sur le th´eor`eme de Calrer`on-Vaillancourt pour lequel on a suivi la d´emarche de Coifman-Meyer [4].

Au chapitre 10, on ´etudie les op´erateurs de type (1,1), notamment leur continuit´e dans les espaces H^s et C^µ pour s > 0 et µ > 0, puis dans L² moyennant une condition de support.

A ce point, on aurait pu, suivant les lignes du chapitre 4, “caract´` eriser” les noyaux des op´erateurs de type (1,0) et des op´erateurs paradiff´erentiels (c’est-`a-dire de type (1,1) avec

6 PREFACE

condition de support) et faire le lien avec les op´erateurs de Calder`on-Zygmund au sens de [4]

chapitre 4. Faute de temps, cette ´etude qui m`ene aux r´esultats L^p, n’a pu ˆetre faite et on a pr´ef´er´e pr´esenter aux chapitres 11 et 12 les techniques nouvelles introduites par J.M.Bony [3] concernant la para-lin´earisation d’´equations non lin´eaires et la r´egularit´e microlocale des solutions d’´equations non lin´eaires. On s’est aussi inspir´e dans ces chapitres des pr´esentations et r´esultats de Y.Meyer [6, 7, 8].

Comme il s’agit de notes de cours et non d’une r´edaction destin´ee `a publication, il n’y a (malheureusement) pas de r´ef´erences bibliographiques dans le cours du texte. L’un des buts de cette introduction est de rem´edier partiellement `a cette carence, qui s’explique aussi aussi par la classicit´e des r´esultats expos´es, `a l’exception de ceux des derniers chapitres.

CHAPITRE 1

LE TH´ EOR` EME DE MARCINKIEWICZ

1.1. Op´erateurs de type (p, q) et ´enonc´e du th´eor`eme

On se place sur Rⁿ muni de la mesure de Lebesgue. Si f est une fonction mesurable sur Rⁿ (`a valeurs dansC) on d´efinit la fonctionλ_f de [0,∞[ dans [0,∞] par :

λf(t) = mes{x∈Rⁿ / |f(x)|> t} .

La fonctiont7→λ_f(t) est d´ecroissante et continue `a droite. En outre, on a le Lemme 1.1.1. — (i) Pour 0< p <∞ on a :

Z

Rⁿ

|f(x)|^pdx=p Z ∞

0

t^p−1λ_f(t)dt ; (ii) sif ∈L^p(Rⁿ), alors pour tout t >0 :

λ_f(t)≤

kfk_Lp

t p

;

(iii) f ∈L^∞(Rⁿ) si et seulement si λf(t) = 0 pour tassez grand (t >kfk_L∞).

Preuve. — Posons ϕ(t, x) = 1 si|f(x)|> t etϕ(t, x) = 0 sinon. Par d´efinition on a : Z ∞

0

t^p−1λ_f(t) = Z ∞

0

Z

Rⁿ

ϕ(t, x)dx

t^p−1dt , et d’apr`es le th´eor`eme de Fubini cette int´egrale vaut :

Z

Rⁿ

Z |f(x)|

0

t^p−1dt

!

dx= 1 p

Z

Rⁿ

|f(x)|^pdx . Puisqueλ_f est d´ecroissante on a :

t^pλf(t)≤p Z t

0

s^p−1λf(s)ds≤ kfk^p_Lp . Enfin (iii) est trivial, au vu des d´efinitions.

D´efinition 1.1.2. — Une application T de L^p(Rⁿ) dans L^q(Rⁿ) (1≤p ≤ ∞, 1 ≤q ≤ ∞) est dite de type fort (p, q) s’il existe un r´eel C >0 tel que pour tout f ∈L^p(Rⁿ), on ait :

kT fk_Lp≤Ckfk_Lp .

8 CHAPITRE 1. LE TH ´EOR `EME DE MARCINKIEWICZ

D´efinition 1.1.3. — Pour q <∞, une application T de L^p(Rⁿ) dans l’ensemble des fonc- tions mesurables est dite de type faible(p, q) s’il existeC >0 tel que pour tout f ∈L^p(Rⁿ),

∀t >0 , λ_{T f}(t)≤

Ckfk_Lp

t p

.

Lorsque q= +∞, T sera dit de type faible (p,∞) si elle est de type fort (p,∞).

Remarque. — Au vu du lemme 1.1.1, (ii), toute application de type fort (p, q) est aussi de type faible (p, q).

Consid´erons maintenant une applicationT d´efinie deL^p0(Rⁿ)+L^p1(Rⁿ) (1≤p0 < p1 ≤ ∞) dans l’espace des fonctions mesurables sur Rⁿ. Supposons que pour tous f, g et pour tout x∈Rⁿ, on ait :

(1.1.1) |T(f+g)(x)| ≤ |T f(x)|+|T g(x)| . Soient 1≤q0 ≤q1≤ ∞tels que p0 ≤q0 etp1 ≤q1.

Th´eor`eme 1.1.4 (Marcinkiewicz). — Si T est `a la fois de type faible (p₀, q₀) et (p₁, q₁) alors pour toutp∈]p₀, p1[, T applique L^p(Rⁿ) dansL^q(Rⁿ) avec

1 q = 1

q₀ − 1

q₀ − 1 q₁

1 p₀ −1

p

p1p0

p₁−p₀ , et est de type fort(p, q).

Remarque. — Si 1 p = 1

p0

(1−θ) +θ 1 p1

, alors 1 q = 1

q0

(1−θ) +θ1 q1

, ce qui exprime que 1

p,1 q

est sur le segment deR² qui joint 1

p₀,1 q₀

` a

1 p₁,1

q₁

. En particulier si p₀=q₀, et p₁ =q₁, alorsp=q.

1.2. Preuve du th´eor`eme

Donnons d’abord une d´emonstration dans le cas o`u p0 = q0 et p1 = q1 < ∞, ce qui permettra ensuite de mieux comprendre le cas g´en´eral.

Pour α >0, on pose : f0(x) =

(f(x) si |f(x)|> α

0 si |f(x)| ≤α et f1(x) =f(x)−f0(x).

Pourp0< p < p1 etf ∈L^p(Rⁿ), on a :

(1.2.1)











kf₀k^p_L⁰p0 = Z

|f(x)>α

|f(x)|^p0dx≤α^p0−pkfk^p_Lp , kf₁k^p_L¹p1 =

Z

|f(x)<α

|f(x)|^p1dx≤α^p1−pkfk^p_Lp .

On voit donc quef0 ∈L^p0 etf1∈L^p1 (ce qui redonne au passage l’inclusionL^p ⊂L^p0+L^p1).

Si l’on suppose queT est de type faible (p_j, p_j) (j = 0,1), il existeC₀ etC₁ tels que :

(1.2.2) λT g(t)≤

C_jkgk_Lpj

t

pj

,

1.2. PREUVE DU TH ´EOR `EME 9

pour g∈L^pj(Rⁿ) (j= 0,1).

Puisque f =f0+f1, on a|T f| ≤ |T f₀|+T f1|et λ_{T f}(t)≤λ_{T f0}

t 2

+λ_{T f1}

t 2

.

Utilisant (1.2.2) pourf0 etf1 et tenant compte de (1.2.1) on obtient alors : λ_{T f}(t)≤

2C₀

t p0Z

|f(x)|≥α

|f(x)|^p0dx+

2C₁ t

p1Z

|f(x)|≤α

|f(x)|^p1dx .

Remarquons que cette in´egalit´e a lieu pour toutαet toutt. On choisit maintenant de prendre α=tet on obtient alors :

λ_{T f}(t)≤(2C0)^p0λ0(t) + (2C1)^p1λ1(t) , avec λ₀(t) =t^−p0

Z

|f(x)|≥α

|f(x)|^p0dx , λ1(t) =t^−p1

Z

|f(x)|≤α

|f(x)|^p1dx . En utilisant le th´eor`eme de Fubini il vient :

Z ∞ 0

t^p−1λ₀(t)dt≤ Z

|f(x)|^p0

Z |f(x)|

0

t^p−p0−1dt

!

dx≤ 1 p−p0

Z

|f(x)|^pdx , puisquep−p0>0. De mˆeme :

Z ∞ 0

t^p−1λ₁(t)dt≤ Z

|f(x)|^p1 Z ∞

|f(x)|

t^p−p1−1dt

!

dx≤ 1 p₁−p

Z

|f(x)|^pdx , puisquep−p₁<0. En conclusion on a montr´e que

Z ∞ 0

t^p−1λT f(t)dt≤Constante· Z

|f(x)|^pdx .

Avec le Lemme 1.1.1, ceci implique queT f ∈L^p(Rⁿ) et queT est de type fort (p, p).

Avant de donner la d´emonstration du th´eor`eme dans le cas g´en´eral, ´etablissons quelques lemmes pr´eliminaires :

Lemme 1.2.1. — Pour 0< r ≤ ∞, 0 ≤α₁ ≤α₂ ≤ ∞, il existe une constante C telle que pour toute fonctionh d´ecroissante et positive sur ]0,∞[, on a :

Z ∞ 0

t^1/rh(t)α2 dt t

1/α2

≤C Z ∞

0

t^1/rh(t)α1 dt t

1/α1

. Preuve. — Notons

A= Z ∞

0

t^1/rh(t) α1 dt

t · Puisqueh est d´ecroissante on a :

t^1/rh(t)α1

≤C₁ Z t

t/2

s^1/rh(s)α1 ds

s ≤C₁A , et l’estimation est d´emontr´ee dans le cas α₂ = +∞.

10 CHAPITRE 1. LE TH ´EOR `EME DE MARCINKIEWICZ

Si α₂ <+∞on ´ecrit : Z ∞

0

t^1/rh(t)α2 dt t ≤

sup

t≥0

t^1/rh(t)α2−α₁ Z ∞ 0

t^1/rh(t)α1 dt t , et le lemme suit.

Lemme 1.2.2. — Soit g une fonction croissante positive sur ]0,∞[. Alors : Z ∞

0

t^−1/rg(t) α2 dt

t 1/α2

≤C Z ∞

0

t^−1/rg(t) α1 dt

t 1/α1

, pour 0< r≤ ∞, 0≤α₁ ≤α₂≤ ∞.

Preuve. — Il suffit de faire le changement de variable t 7→ 1/t pour se ramener au lemme pr´ec´edent.

D´emonstration du th´eor`eme. — a) Supposons q1 <+∞; pour α >0 donn´e, on pose f0(x) =

(f(x) si |f(x)|> α , 0 si |f(x)| ≤α ,

et f₁(x) = f(x)−f₀(x). Les in´egalit´es (1.2.1) ont donc lieu. et `a la place de (1.2.2), nous avons :

λ_{T fj}(t)≤

Cjkf_jk_Lpj t

qj

, pourj= 0,1. Puisque |T F| ≤ |T f₀|+|T f₁|, on a encore

λ_{T f}(t)≤λ_{T f0} t

2

+λ_{T f1} t

2

,

et choisissant α = γt^δ (δ > 0 et γ > 0 ´etant des param`etres `a choisir ult´erieurement), on arrive `a la majoration suivante :

λ_{T f}(t)≤Const.

t^−q0ϕ₀(t)^q0/p0 +t^−q1ϕ₁(t)^q1/p1 , avec

(1.2.3) ϕ₀(t) =

Z

|f(x)|≥γt^δ

|f(x)|^p0dx ,

(1.2.4) ϕ₁(t) =

Z

|f(x)|≤γt^δ

|f(x)|^p1dx . D’apr`es le lemme 1.2.1 on a :

Z ∞ 0

t^q−q0−1(ϕ₀(t))^q0/p0dt≤C Z ∞

0

t^{(q/q0−1)p0−1}ϕ₀(t)dt q0/p0

. Avec la d´efinition (1.2.3), cette derni`ere int´egrale vaut :

Z

|f(x)|^p0

Z (|f(x)|/γ)^1/δ 0

t^{(q/q0−1)p0−1}dt

!

dx=γ^p0−p Z

|f(x)|^pdx , si δ= q−q₀

p−p0

·p₀ q0

, car alorsp0+1 δ

q q0

−1

p0 =p.

1.2. PREUVE DU TH ´EOR `EME 11

De mˆeme d’apr`es le lemme 1.2.2 on a : Z ∞

0

t^q−q1−1(ϕ₁(t))^q1/p1dt≤C Z ∞

0

t^{(q/q1−1)p1−1}ϕ₁(t)dt q1/p1

, et

Z ∞ 0

t^{(q/q1−1)p1−1}ϕ₁(t)dt= Z

|f(x)|^p1 Z ∞

(|f(x)|/γ)^1/δ

t^{(q/q1−1)p1−1}dt

! dx

=γ^p1−p Z

|f(x)|^pdx , car avec lemˆeme choix de δ on a

p₁+1 δ

q q1

−1

p₁ =p . Finalement on a la majoration :

Z

t^q−1λT f(t)dt≤Const.

γ^p0−pkfk^p_Lp

q0/p0

+ γ^p1−pkfk^p_Lp

q1/p1

≤Const.kfk^p_Lp

si l’on choisitγ =kfk^1−δ_Lp . Cette estimation se r´e´ecrit : kT fk_Lq ≤Ckfk_Lp , et le th´eor`eme est d´emontr´e dans le cas q₁ <∞.

b) Lorsque q₁ =∞, on refait le mˆeme d´ecoupagef =f₀+f₁ avec α=γt^δ, δ= q−q₀

p−p0

·p₀ q0

= p₁ p1−p , et γ `a choisir. On a :

kf₀k^p_L⁰p0 =ϕ0(t) = Z

|f(x)|≥γt^δ

|f(x)|^p0dx , kf₁k_L^p1 ≤

γt^δ1−_p^p

1 kfk^p/p_Lp¹ =tγ⁰ . De plus par hypoth`ese on a :

λ_{T f0} t

2

≤

C₀kf₀k_Lp0

t

q0

, kT f₁k_L∞ ≤C1kf₁k_L^p1 .

On a doncλ_{T f1}(t/2) = 0 sit/2> C₁kf₁k_L^p1, ce qui sera toujours vrai si 1>2C₁γ⁰, c’est-`a-dire si γ

kfk_Lp

est assez petit. Dans ce cas, on a : λ_{T f}(t)≤λ_{T f0}

t 2

, et comme plus haut on conclut que

Z ∞ 0

t^q−1λT f0

t 2

dt <∞, et le th´eor`eme est d´emontr´e.

CHAPITRE 2

INT´ EGRALES FAIBLEMENT SINGULI` ERES

2.1. In´egalit´e de Young

Th´eor`eme 2.1.1. — Soient p, q, r dans [1,∞] tels que 1/p+ 1/q = 1 + 1/r. Alors pour f ∈L^p(Rⁿ) et g∈L^q(Rⁿ), l’int´egrale

h(x) = Z

Rⁿ

f(x−y)g(y)dy converge pour presque toutx, eth∈L^r(Rⁿ). De plus,

khk_Lr ≤ kfk_Lpkgk_Lq .

Preuve. — 1) Traitons d’abord le cas o`u r = ∞; on a alors 1/p + 1/q = 1. Mais alors l’int´egrale h(x) converge pour tout x puisque f(x− ·) ∈ L<sup>p</sup> et g ∈L<sup>q</sup>, et d’apr`es l’in´egalit´e de H¨older :

|h(x)| ≤ kf(x− ·)k_Lpkgk_Lq =kfk_Lpkgk_Lq .

2) Traitons maintenant le cas o`ur = 1. On a alorsr =p=q= 1. L’int´egrale double ZZ

|f(x−y)| |g(y)|dxdy=kfk_L1kgk_L1

converge d’apr`es le th´eor`eme de Fubini.

Par cons´equent l’int´egrale Z

|f(x−y)| |g(y)|dy converge pour presque tout x. Par suite l’int´egrale d´efinissanth converge absolument pour presque tout xet

|h(x)| ≤ Z

|f(x−y)| |g(y)|dy Z

|h(x)|dx≤ ZZ

|f(x−y)| |g(y)|dxdykfk_L1kgk_L1 .

3) Nous supposons maintenant 1< r <∞, et alors petq sont aussi finis. On ´ecrit :

|f(x−y)g(y)|=ϕx(y)·ψx(y) , avec ϕ_x(y) =|f(x−y)|^p/r|g(y)|^q/r ,

ψx(y) =|f(x−y)|^1−p/r|g(y)|^1−q/r . (On remarquera quep≤r etq≤r.)

14 CHAPITRE 2. INT ´EGRALES FAIBLEMENT SINGULI `ERES

On a :

(ϕx(y))^r=|f(x−y)|^p|g(y)|^q .

Puisque |f|^p et |g|^q sont dans L¹(Rⁿ), d’apr`es le raisonnement du 2) on voit que ϕ_x ∈ L^r pour presque toutx et que :

(2.1.1)

ZZ

ϕ_x(y)

rdxdy =kfk^p_Lpkgk^q_Lq .

Montrons queψx(·) est dans L^r0(Rⁿ), pour tout x∈Rⁿ. (r⁰ exposant conjugu´e de r : 1/r⁰ = 1−1/r). On a, en effet :

(ψx(y))^r0 =|f(x−y)|^pr0

“1 p−¹_r”

|g(y)|^qr0

“1 q−¹_r”

. Posons r⁰

1 p−1

r

= 1

s >0,r⁰ 1

q −¹_r

= ¹_t >0.

Remarquons alors que : 1 s +1

t =r⁰ 1

p +1 q −2

r

=r⁰

1−1 r

= 1 . On est donc dans la situation du 1) et on a :

Z

|ψ_x(y)|^r0dy≤ Z

|f(x−y)|^pdy

1/sZ

|g(y)|^qdy 1/t

, soit :

(2.1.2)

Z

|ψ_x(y)|^r0dy≤ kfk^p/s_Lpkgk^q/t_Lq .

D’apr`es (2.1.1),ϕx(·)∈L<sup>r</sup>(R<sup>n</sup>) pour presque toutx, donc avec (2.1.2),ϕx(·)ψ<sub>x</sub>(·), c’est-`a- dire|f(x−y)g(y)|, est int´egrable pour presque toutx. On a aussi :

|h(x)| ≤ Z

|ϕ_x(y)|^rdy

1/rZ

|ψ_x(y)|^r0dy 1/r⁰

,

et Z

|h(x)|^rdx≤ ZZ

|ϕ_x(y)|^rdykfk

pr sr0

L^pkgk

qr tr0

L^q , ou enfin :

khk_Lr ≤ kfk^p(¹r+_sr¹0)

L^p kgk^q(¹r+_tr¹0)

L^q .

On conclut en v´erifiant quep 1

r + 1 sr⁰

= 1 et queq 1

r + 1 tr⁰

= 1 !

2.2. Noyaux faiblement singuliers

Le th´eor`eme 2.1.1 admet la g´en´eralisation suivante :

Th´eor`eme 2.2.1. — Soient 1 < p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ et 1 ≤ r < ∞ tels que 1/p+ 1/q = 1 + 1/r. Soit g∈L^q(Rⁿ) et soit f mesurable telle que :

∀t >0 , λf(t)≤ C₁

t p

.

2.2. NOYAUX FAIBLEMENT SINGULIERS 15

Alors l’int´egrale h(x) = Z

f(x−y)g(y)dy converge pour presque tout x et on a :

∀t >0 , λ_h(t)≤

γC1kgk_Lq

t

r

,

o`uγ ne d´epend que dep, q, r etn. En outre, si 1< q <∞, alors h∈L^r(Rⁿ) et khk_Lr(Rⁿ)≤γ⁰C₁kgk_Lq(Rⁿ) ,

o`uγ⁰ ne d´epend que dep,q, r et n.

D´emonstration. — Rempla¸cant f par f /C1 et g par g/kgk_Lq on voit qu’on peut supposer que

C1 =kgk_Lq = 1 . Pourα >0 (`a choisir) fix´e on pose :

f₁(x) =

(f(x) si |f(x)|> α , 0 si |f(x)| ≤α , etf(x) =f1(x) +f2(x). On a :

λ_f1(t) =

( λ_f(α) pourt≤α , λ_f(t) pourt > α , et

λf2(t) =

λ_f(t)−λ_f(α) pour t≤α , 0 pour t > α . Par cons´equent :

kf₁k_L1 = Z ∞

0

λ_f1(t)dt=αλ_f(α) + Z ∞

α

λ_f(t)dt , et puisqueλf(t)≤t^−p etp >1, il vient :

(2.2.1) kf₁k_L1 ≤ p

p−1α^1−p .

Notantq⁰ l’exposant conjugu´e de q (1/q⁰= 1−1/q = 1/p−1/r), on a : q⁰ > pet kf₂k^q0

L^q0 =q⁰ Z ∞

0

t^q0−1λ_f2(t)dt≤q⁰ Z α

0

t^q0−p−1dt= q⁰

q⁰−pα^q0−p , d’o`u

(2.2.2) kf₂k_Lq0 ≤γα^1−p/q0 .

(Pour ´etablir (2.2.2) on a supos´e que q⁰ < ∞, mais si q⁰ = ∞ on voit imm´ediatement que (2.2.2) a encore lieu avec γ = 1).

Puisque f =f₁+f₂ on voit que h=h₁+h₂ avec : h_j(x) =

Z

f_j(x−y)g(y)dy ,

le sint´egrales convergeant (absolument) pour presque toutx; en outre on ah₁ ∈L^qeth₂ ∈L^∞ avec :

kh₁k_Lq ≤γ₁⁰ kf₁k_L1 ≤γ1α^1−p kh₂k_L∞ ≤γ₂⁰ kf₂k_Lq0 ≤γ2α^1−p/q0 .

16 CHAPITRE 2. INT ´EGRALES FAIBLEMENT SINGULI `ERES

D’apr`es le lemme 1.1.1, on a :

λ_h1(t)≤

γ₁α^1−p t

q

, et

λ_h2(t) = 0 sit > γ₂α^1−p/q0 .

Par ailleurs on a λh(t)≤λh1(t/2) +λh2(t/2) et choisissant t= 2γ2α^1−p/q0 on voit que λ_h(t)≤γ₃t

q0

q0−p(1−p)q−q

=γ₃t^−r , ce qui d´emontre la premi`ere partie du th´eor`eme.

D’apr`es ce qui pr´ec`ede on voit que l’application lin´eaire g 7→ h =f ∗g = T g est de type faible (1, p) et aussi de type faible (q₀, r₀) pour toutq₀ < p⁰ (1/p+ 1/p⁰= 1).

Par cons´equent, d’apr`es le th´eor`eme de Marcinkiewicz, elle est de type fort (q, r) pour 1 <

q < q₀ etq₀ < p⁰ ´etant arbitraire, elle est de type fort (q, r) d`es que 1< q < p⁰. (On notera que si 1/q = (1−θ) +θ/q0, alors 1/r= (1−θ)/p+θ/r0).

Corollaire 2.2.2. — Soitf(x) une fonction mesurable sur Rⁿ telle que :

|f(x)| ≤ C

|x|^n−α ,

pour un0< α < n. Alors pour tout q tel que 1< q < n/α et tout g∈L^q(Rⁿ), f∗g∈L^r(Rⁿ) avec1/r= 1/q−α/net

kf∗gk_Lr ≤γCkgk_Lq . Preuve. — Il suffit de remarquer que

λf(t)≤mes

x / C

|x|^n−α > t

= γ₃C

t _n−αⁿ

, et d’appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent avecp= n

n−α.

CHAPITRE 3

INT´ EGRALES SINGULI` ERES DE CALDERON–ZYGMUND (TH´ EORIE L

)

Il s’agit de d´efinir et d’´etudier l’op´erateur de convolution avec une fonctionf(x), homog`ene de degr´e −nsurRⁿ.

3.1. ´Enonc´e du th´eor`eme

On suppose dans tout ce chapitre que

Hypoth`ese 3.1.1. — f est une fonction homog`ene de degr´e−n sur Rⁿ\ {0}, i.e. : (3.1.1) f(λx) =λ⁻ⁿf(x) pourx∈Rⁿ, x6= 0 et pour λ >0 .

En outre f est de classe C¹ sur Rⁿ\0 et, en notant Σ la sph`ere unit´e, (3.1.2)

Z

Σ

f(σ)dσ= 0 .

Dans (3.1.2),dσd´esigne la mesure sur Σ correspondant `a la d´ecompositiondx=r<sup>n−1</sup>dr·dσ en coordonn´ees polairesx=rσ,r=|x|, σ=x/r∈Σ. Notons que l’on pourrait affaiblir cette hypoth`ese de r´egularit´e C¹. Un r´egularit´eC^α, avec α >0, suffirait (Exercice).

Pour pr´eparer le chapitre suivant et comprendre l’importance de (3.1.2), on note que (3.1.1) implique que que pour tous 0< r < R <∞ on a :

(3.1.3)

Z

r<|x|<R

f(x)dx= logR r

Z

Σ

f(σ)dσ ,

La condition (3.1.2) veut simplement dire que ces int´egrales sont born´ees.

Pour ε >0 on pose :

(3.1.4) f_ε(x) =

( f(x) si|x|> ε , 0 si|x| ≤ε.

La strat´egie g´en´erale est de commencer par ´etudier la convolution parfε puis de faire tendre εvers 0.

On note C₀¹(Rⁿ) l’espace des fonctions de classeC¹ `a support compact surRⁿ. Lemme 3.1.2. — Soit ϕ∈C₀¹(Rⁿ). Alors f_ε∗ϕ∈L^p pour tout p >1 et la limite lim

ε→0f_ε∗ϕ existe dans L^p pour tout p >1. On notera F ϕ= lim

ε→0f_ε∗ϕ.

18 CHAPITRE 3. INT ´EGRALES SINGULI `ERES DE CALDERON–ZYGMUND (TH ´EORIE L²)

Preuve. — On af_ε∗ϕ=f₁∗ϕ+ (f_ε−f₁)∗ϕ. Puisquef₁∈L^p pour toutp >1 et queϕ∈L¹, f1∗ϕ ∈ L^p pour tout p > 1. Par ailleurs fε−f1 est `a support compact dans la couronne ε≤ |x| ≤1, etϕ`a support compact (disons dans la boule{|x| ≤A}). Doncg_ε= (f_ε−f₁)∗ϕ est `a support dans la boule de rayon A+ 1. On a :

g_ε(x) = Z

ε<|y|<1

f(y)ϕ(x−y)dy , et `a cause des propri´et´es (3.1.3) et (3.1.2) on a aussi :

g_ε(x) = Z

ε<|y|<1

f(y) (ϕ(x−y)−ϕ(x))dy . Puisque ϕest de classeC¹ et `a support compact, il existe C >0 tel que :

∀x∈Rⁿ, ∀x∈Rⁿ, |ϕ(x−y)−ϕ(x)| ≤C|y|, et on obtient :

|g_ε(x)| ≤C Z

ε<|y|<1

|y| |f(y)|dy . Mais d’apr`es (3.1.1) on a :

(3.1.5) |f(y)| ≤ |y|⁻ⁿmax

σ∈Σ|f(σ)|,

et puisque |y|⁻ⁿ⁺¹ est int´egrable sur la boule unit´e, on voit que lesg_ε sont bonr´ees en norme L^∞. En outre on obtient de mˆeme

|g_ε(x)−gε⁰(x)| ≤C⁰ Z

ε⁰<|y|<ε

|y|⁻ⁿ⁺¹dy , ce qui montre quegε converge versg(x) =

Z

|y|≤1

f(y) (ϕ(x−y)−ϕ(x))dy dansL^∞.

Puisque g_ε et g sont `a support dans la boule {|x| ≤ A+ 1}, g_ε → g dans L^p pour tout p≥1.

Le r´esultat principal de ce chapitre est le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme 3.1.3. — Il existe une constante C telle que pour tout ϕ∈C₀¹(Rⁿ) on ait : kF ϕk_L2 ≤Ckϕk_L2 .

Par suite,F se prolonge en op´erateur born´e de L²(Rⁿ) dans lui-mˆeme.

3.2. Le Lemme de Cotlar-Stein

La d´emonstration du th´eor`eme??repose sur le

Lemme 3.2.1 (Cotlar–Stein). — SoientT0, T±1, . . . , T±N une famille d’op´erateurs born´es dansL²(Rⁿ) telle que

kT_k^∗T_jk ≤ω(k−j) , kT_jT_k^∗k ≤ω(j−k) ,

3.3. PREUVE DU TH ´EOR `EME ?? 19

o`uω est une application de Z dansR+. Alors

X

|j|≤N

Tj

≤X

j

pω(j) .

(les normes d´esignent les normes d’op`erateurs de L²(Rⁿ) dansL²(Rⁿ)).

Preuve. — On part de la relation suivante :

(3.2.1) kTk² =kT^∗Tk= lim

n→+∞k(T^∗T)ⁿk^1/n . On applique (3.2.1) `a T =T−N +. . .+TN; on a :

(T^∗T)ⁿ= X

−N≤k1≤N

−N≤j₁≤N

...

−N≤jn≤N

T_k^∗₁T_j1. . . T_k^∗_nT_jn

On majorekT_k^∗T_jk parω(k−j) et il vient :

(3.2.2)

T_k^∗₁Tj1. . . T_k^∗_nTjn

≤ω(k1−j1)ω(k2−j2). . . ω(kn−jn) . Notant A = X

j

pω(j), et majorant kT_k^∗

1k =kT_k^∗

1T_k1k^1/2 ≤ p

ω(0) ≤A, et kT_jnk ≤ A, on obtient aussi :

T_k^∗₁T_j1. . . T_k^∗_nT_jn

≤Aω(j₁−k₂)ω(j₂−k₃). . . ω(jn−1−k_n)A , et avec (3.2.2) il vient :

T_k^∗₁T_j1. . . T_k^∗_nT_jn

≤A(ω(k₁−j₁)ω(j₁−k₂). . . ω(k_n−j_n))^1/2 .

On somme ces in´egalit´es ; si l’on somme d’abord enj_n, on voit que dans le membre de droite on aA(ω(k₁−j₁)ω(j₁−k₂). . . ω(jn−1−k_n))^1/2 en facteur deP

(ω(k_n−j_n))^1/2, cette derni`ere somme valantA. On voit donc qu’en sommant successivement par rapport `ajn,kn,jn−1,. . . , j₁, on fait sortir `a chaque fois la somme de la s´erieA.

A la fin il reste `` a sommer par rapport `a k₁, (2N + 1) termes et on obtient l’estimation k(T^∗T)ⁿk ≤(2N + 1)A²ⁿ .

Prenant la racine 2n–i`eme et faisant tendren vers +∞ on obtient le lemme puisque (2N + 1)^1/2n→1.

3.3. Preuve du th´eor`eme 3.1.3

Revenons aux int´egrales singuli`eres. On suppose que f satisfait l’hypoth`ese 3.1.1 et pour j ∈Z on pose :

fj(x) =

( f(x) si 2^j <|x|<2^j+1 , 0 sinon,

et on d´efinit l’op´erateurT_j par

(3.3.1) T_jϕ=f_j∗ϕ .

20 CHAPITRE 3. INT ´EGRALES SINGULI `ERES DE CALDERON–ZYGMUND (TH ´EORIE L²)

Il est clair quef_j ∈L¹(Rⁿ) et T_j est born´e dansL²(Rⁿ). En outre on a : kT_jϕk_L2 =kf_j∗ϕk_L2 ≤ kf_jk_L1kϕk_L2 , et donc

(3.3.2) kT_jk ≤ kf_jk_L1(Rⁿ) ≤C Z

2^j≤|x|≤2^j+1

dx

|x|ⁿ ≤C⁰ . Lemme 3.3.1. — Il existe C >0 tel que pour tous j etk de Z on a : (3.3.3) kT_k^∗Tjk =kT_jT_k^∗k ≤C2^−|k−j| .

Preuve. — Supposons quej−k≥2 ; l’adjointT_k^∗ est l’op´erateur de convolution par ˇ f_k(x) = f_k(−x) ; par cons´equent T_k^∗T_j etT_jT_k^∗ sont ´egaux et repr´esentent l’op´erateur de convolution par :

f_j,k(x) =fj ∗fˇ_k= Z

Rⁿ

f_k(y)fj(x+y)dy . On a donc la majoration :

(3.3.4) kT_k^∗T_jk=kT_jT_k^∗k ≤ kf_j,kk_L1(Rn) .

Or f_j est `a support dans la couronne 2<sup>j</sup> ≤ |x| ≤ 2<sup>j+1</sup> et f<sub>k</sub> `a support dans la couronne 2^k≤ |x| ≤2^k+1. Par cons´equent fj,k est `a support dans la couronne

Γ =n

x /2^j −2^k+1 ≤ |x| ≤2^j+1+ 2^k+1o . Consid´erons alors la couronne :

Γ⁰ = n

x /2^j + 2^k+1 ≤ |x| ≤2^j+1−2^k+1 o

,

de sorte que pour tout x∈Γ⁰ et tout |y| ≤2^k+1 on ait 2^j ≤ |x+y| ≤2^j+1. Pour x∈Γ⁰ on a donc :

f_j,k(x) = Z

2^k≤|y|≤2^k+1

f_k(y)f_j(x+y)dy , et avec la propri´et´e de moyenne nulle,

f_j,k(x) = Z

2^k≤|y|≤2^k+1

f_k(y) (fj(x+y)−fj(x))dy .

Pour σ sur la sph`ere unit´e et pour |u| ≤1/2, on a|f(σ+u)−f(σ)| ≤C|u|puisque f est de classe C¹ sur la couronne 1/2≤ |x| ≤3/2. Par homog´en´eit´e on voit que :

(3.3.5) |f(x+y)−f(x)| ≤C₁ |y|

|x|ⁿ⁺¹ , pour |y| ≤ |x|/2.

Puisquek≤j+2, pourx∈Γ⁰et|y| ≤2^k+1on a bien|y| ≤ |x|/2 et en appliquant l’in´egalit´e (3.3.5) et la majoration (3.1.5) on trouve que :

|f_j,k(x)| ≤ Z

2^k≤|y|≤2^k+1

C₂

|y|ⁿ

|y|

|x|ⁿ⁺¹dy≤ C₃

|x|ⁿ⁺¹2^k . On a alors :

(3.3.6)

Z

Γ⁰

|f_j,k(x)|dx≤ Z

|x|≥2^j

C₃2^k dx

|x|ⁿ⁺¹ ≤C₄2^k−j .

3.3. PREUVE DU TH ´EOR `EME ?? 21

Par ailleurs on a |f_j(x+y)| ≤C2^−nj et donc puisque Z

2^k≤|y|≤2^k+1

dy

|y|ⁿ = Const., on a|f_j,k(x)| ≤C52^−nj. Par cons´equent,

kf_j,kk_L1(Γ\Γ⁰)≤C52^−njmes (Γ\Γ⁰) .

La mesure de la couronner <|x|< R ´etant Const.(Rⁿ−rⁿ), et Γ\Γ⁰ ´etant la r´eunion des deux couronnes

2^j−2^k+1 <|x|<2^j+ 2^k+1 , 2^j+1−2^k+1<|x|<2^j+1+ 2^k+1 , on voit que

kf_j,kk_L1(Γ\Γ0)≤C

1 + 2^k+1−jn

−

1−2^k+1−jn . Utilisant que pourt <1/2 on a : (1 +t)ⁿ−(1−t)ⁿ≤Const.t, on obtient

kf_j,kk_L1(Γ\Γ⁰) ≤C2^k−j ,

ce qui avec (3.3.6) montre l’in´egalit´e (3.3.3) lorsque j−k ≥ 2. Si k−j ≤ 2, il suffit de permuter le rˆole dej et k, et si |j−k| ≤1, il suffit d’appliquer (3.3.2). Le lemme est donc d´emontr´e.

D´emonstration du th´eor`eme. — D’apr`es le lemme de Cotlar–Stein, si l’on pose : gN(x) =











N

X

j=−N

fj(x) =f(x) si 2^−N <|x|<2^N+1 ,

0 sinon,

et si l’on note FN l’op´erateur de convolution avecgN, il existe C ind´ependant de N etϕ tel que :

(3.3.7) kF_Nϕk_L2 ≤ kϕk_L2 ,

pour tout ϕ∈L²(Rⁿ).

Mais pour ϕ ∈ C₀¹(Rⁿ) on sait d’apr`es le lemme 3.1.2 que FNϕ converge vers F ϕ dans L<sup>2</sup>(R<sup>n</sup>). Passant `a la limite dans (3.3.7) on obtient :

kF ϕk_L2 ≤ kϕk_L2 , avec la mˆeme constante C.

CHAPITRE 4

DISTRIBUTIONS DE TYPE 0

Le but de ce chapitre est de g´en´eraliser les r´esultats du chapitre pr´ec´edent au cas de la convolution par certaines fonctions non homog`enes, “les distributions de type 0”, (voir corollaire 4.4.3). On ´etudie aussi leur transform´ees de Fourier.

4.1. Parties finies

Soit f(x) une fonction mesurable surRⁿ qui v´erifie pour une constante C₀ convenable

(4.1.1) ∀x∈Rⁿ, |f(x)| ≤ C0

|x|ⁿ ·

fd´efinit une distribution surRⁿ\{0}, mais par surRⁿcar elle n’est pas (forc´ement) int´egrable au voisinage de 0. Cependant il existe des distributions T ∈ D⁰(Rⁿ) dont la restriction `a Rⁿ\ {0}est f : en effet, l’int´egrale

(4.1.2)

Z

Rⁿ

f(x)ϕ(x)dx

converge siϕ∈C₀^∞(Rⁿ) est telle que ϕ(0) = 0, car au voisinage de 0 on a alors |f(x)ϕ(x)|. 1/|x|ⁿ⁻¹ et 1/|x|ⁿ⁻¹ est int´egrable.

Mais la condition ϕ(0) = 0 d´efinit un hyperplan de C₀^∞(Rⁿ), notons-le E; choisissant θ∈C₀^∞(Rⁿ) tel queθ(0)6= 0 (θ6∈E), on a C₀^∞(Rⁿ) =E⊕Rθet pour d´efinir la distribution T, il suffit de d´efinir hT, ϕipar la formule (4.1.2) siϕ∈E, et de donner une valeur arbitraire

` ahT, θi.

On peut aussi proc´eder de la fa¸con suivante : soitθune fonction mesurable born´ee `a support compact (nulle pour|x|grand) qui vaut 1 sur tout un voisinage de l’origine. Alors :

Proposition 4.1.1. — Si f v´erifie (4.1.1), l’int´egrale

(4.1.3) hT_θ, ϕi=

Z

Rⁿ

f(x) (ϕ(x)−ϕ(0)θ(x))dx

converge pour tout ϕ∈C₀¹(Rⁿ) et d´efinit une distribution T_θ. Si θ et θ⁰ sont deux fonctions comme indiqu´ees ci-dessus, alors il existea∈Ctel que T_θ⁰ =T_θ+aδ, o`u δ d´esigne la masse de Dirac ´a l’origine.

24 CHAPITRE 4. DISTRIBUTIONS DE TYPE 0

Preuve. — Soient A et ε tels que θ(x) = 0 pour |x| > A, et θ(x) = 1 pour |x| < ε. Les int´egrales suivantes sont ´evidemment convergentes “

Z

|x|≥ε

f(x)ϕ(x)dx , etϕ(0) Z

ε≤|x|≤A

f(x)θ(x)dx . Pour|x|< ε, on a :

|ϕ(x)−ϕ(0)| ≤ |x|max

|x|≤ε|∇ϕ(x)|, et l’int´egrale

Z

|x|<ε

|f(x)| |ϕ(x)−ϕ(0)|dx. Z

|x|<ε

dx

|x|ⁿ⁻¹ <∞ converge. Par cons´equent l’int´egrale (4.1.3) converge et

|hT_θ, ϕi| ≤C

max|ϕ(x)|+ max

|x|≤ε|∇ϕ(x)|

,

avec C ind´ependante de ϕ si le support de ϕ reste contenu dans un compact fixe, ce qui montre queT_θ est une distribution.

Enfin, il est clair que :

hT_θ⁰−T_θ, ϕi=ϕ(0) Z

θ(x)−θ⁰(x)

f(x)dx ,

l’int´egrale ´etant bien convergente puisqueθ(x)−θ⁰(x) = 0 `a la fois pour|x|grand et pour|x|

petit.

D´efinition 4.1.2. — Dans la suite, on note T_θ= pf_θf. 4.2. Distributions de type 0

D´efinition 4.2.1. — Une distribution de type 0 sur Rⁿ est une distribution T ∈ D⁰(Rⁿ) telle que :

i) la restriction de T `a Rⁿ\ {0} est une fonction mesurable f, et il existe C0 tel que

(4.2.1) ∀x∈Rⁿ, |f(x)| ≤ C₀

|x|ⁿ ; ii) pour toute ϕ∈C₀^∞(Rⁿ), il existe C tel que

(4.2.2) ∀t >0, |hT, ϕ_ti| ≤C ,

o`u l’on noteϕ_t(x) =ϕ(x/t).

Proposition 4.2.2. — SoitT ∈ D⁰(Rⁿ)dont la restriction `aRⁿ\ {0}est une fonctionf qui v´erifie (4.2.1). Alors T est une distribution de type 0 si et seulement si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

i) il existe C1 >0 tel que :

(4.2.3) ∀t, ∀t⁰, 0< t < t⁰ <∞, Z

t<|x|<t⁰

f(x)dx

≤C1 ; ii) T est de la forme pf_θf +aδ.

4.2. DISTRIBUTIONS DE TYPE 0 25

Preuve. — a) Supposons quef v´erifie (4.2.3), et montrons queT = pf_θf est de type 0. Pour ϕ∈C₀^∞(Rⁿ) `a support dans la boule {|x| ≤R}et telle queϕ(0) = 0, on a|ϕ(x)| ≤C|x|et

|hT, ϕ_ti| ≤C C0

Z

|x| ≤Rt|x|

t dx

|x|ⁿ =C⁰ Z Rt

0

1

tdx=C⁰R .

Il suffit donc de montrer (4.2.2) pour une fonction ϕ ∈ C₀^∞(Rⁿ) telle que ϕ(0) = 1. On prendraϕ`a support dans la boule {|x| ≤2} valant 1 sur la boule {|x| ≤1}. Soient ε > 0 et R >0 tels queθ(x) = 0 pour|x| ≥R etθ(x) = 1 pour|x| ≤ε. Pour t < ε/2, on a alors

hT, ϕ_ti= Z

t≤|x|≤2t

f(x)ϕ x

t

dx− Z

2t≤|x|≤ε

f(x)ϕ(0)dx

−ϕ(0) Z

ε≤|x|≤R

f(x)θ(x)dx . La premi`ere int´egrale se majore en valeur absolue par :

(4.2.4) kϕk_L∞

Z

t≤|x|≤2t

C₀

|x|ⁿdx=C Z 2t

t

dr

r =Cln 2.

La seconde int´egrale est born´ee par hypoth`ese et la troisi`eme ne d´epend pas de t.

Pour t > R, on a hT, ϕ_ti=

Z

ε≤|x|≤t

f(x)dx+ Z

t≤|x|≤2t

f(x)ϕx t

dx− Z

ε≤|x|≤R

f(x)θ(x)dx .

La premi`ere int´egrale est born´ee par hypoth`ese, la seconde se majore par (4.2.4) et la troisi`eme ne d´epend pas de t.

Pour ε < t < R, on a :

|hT_θ, ϕi| ≤(max|ϕ|+ max|θ|) Z

ε≤2R

|f(x)|dx , ce qui ach`eve de montrer que (4.2.2) est satisfaite.

Par ailleurs on ahδ, ϕ_ti=ϕ(0) pour touttetδest une distribution de type 0. En conclusion on a montr´e que si f v´erifie (4.2.1) et (4.2.3), les distributions pf_θf +aδ sont de type 0.

b) Inversement, donnons-nous T de type 0. Fixons ϕ∈C₀^∞(Rⁿ) `a support dans la boule {|x| ≤2} et valant 1 pour|x| ≤1. Alorsϕ−ϕt est `a support compact dans Rⁿ\ {0}et

hT, ϕ−ϕti= Z

f(x)

ϕ(x)−ϕ x

t

dx . Pour t≤1/2, on a :

Z

2t<|x|<1

f(x)dx=hT, ϕ−ϕ_ti − Z

1≤|x|≤2

f(x)ϕ(x)dx

− Z

t≤|x|≤2t

f(x)

1−ϕ x

t

dx .

Dans cette somme le premier terme est born´e par hypoth`ese, le second ne d´epend pas detet le troisi`eme se majore comme en (4.2.4).

Pour t >2, on a : Z

1<|x|<t

f(x)dx=hT, ϕ−ϕ_ti − Z

t≤|x|≤2t

f(x)ϕx t

dx+

Z

1≤|x|≤2

f(x)ϕ(x)dx ,

26 CHAPITRE 4. DISTRIBUTIONS DE TYPE 0

et on voit donc que les int´egrales Z

1<|x|<t

f(x)dxsont born´ees uniform´ement pourt >2 ; elles le sont ´egalement pour 1 ≤ t ≤ 2, et on a donc d´emontr´e que la fonction f v´erifie (4.2.2).

Pour achever la d´emonstration, il nous faut v´erifier que T est de la forme pf_θf +aδ; mais la distribution S =T −pf_θf est nulle sur Rⁿ\ {0}, et de type 0 puisque T et pf_θf le sont.

Puisque le support deS est (au plus) l’origine,S est une combinaison lin´eaire de d´eriv´ees de la masse de Dirac :

S = X

|α|≤N

a_αδ^(α) .

Avec la mˆeme fonctionϕque plus haut (valant 1 pour |x| ≤1), on noteϕ^hαi(x) =x^αϕ(x), et alors :

hS, ϕ^hαi_t i= (−1)^|α|α!aαt^−|α| .

PuisqueS est de type 0, ceci doit ˆetre born´e lorsque t→0, ce qui implique queaα = 0 pour α6= 0, etS =a₀δ.

Remarque. — Si T est une distribution de type 0, pour ϕ∈C₀^∞(Rⁿ) tel que ϕ(0) = 0 on a hT, ϕi=

Z

f(x)ϕ(x)dx .

En effet, il suffit de dire que T est de la forme pf_θf+aδ et d’appliquer la d´efinition (4.1.3) de pf_θ.

4.3. Convolution et transformation de Fourier

Pour ´etudier la convolution par des distributions de type 0, on utilise la transformation de Fourier qui donne une caract´erisation simple des op´erateurs de convolution born´es sur L²(Rⁿ).

Rappelons que si T ∈ S⁰ et ϕ ∈ S, alors la convolution T ∗ϕ est d´efinie par la formule (T ∗ϕ)(x) = hT, ϕ(x− ·)i) et T ∗ϕ ∈ C^∞∩ S⁰. En outre, en notantb la transformation de Fourier, on a T[∗ϕ = Tbϕ, ce dernier terme ´b etant d´efini comme la multiplication d’une distributionTb par une fonctionC^∞,ϕ.b

Th´eor`eme 4.3.1. — SoitT ∈ S⁰. Pour qu’il existeC >0 tel que (4.3.1) ∀ϕ∈ S, T ∗ϕ∈L² et kT ∗ϕk_L2 ≤Ckϕk_L2 , il faut et il suffit que Tb ∈ L^∞. Dans ce cas, l’op´erateur u 7→ F⁻¹

T .bub

, born´e de L² dans L², prolonge `a L² l’op´erateur ϕ7→T∗ϕ.

Preuve. — Par transformation de Fourier, (4.3.1) est equivalent `a

(4.3.2) ∀ϕ∈ S, T ϕb ∈L² et

T ϕb

L²

≤Ckϕk_L2

ce qui est clair siTb∈L^∞.

Inversement, (4.3.2) implique que pour tout ϕ∈ S,

(4.3.3)

hT , ϕb ²i =

hT ϕ, ϕib

≤Ckϕk²_L2.