TS6 Interrogation 3A 5 octobre 2018 R´epondre aux questions sans d´emonstration.
Exercice 1 :
(1) Calculer lim
x→+∞cos
πx+ 3
x+ 5
Solution: Pour tout r´eelx6= 0, πx+ 3
x+ 5 = π+3x 1 +x5. Donc lim
x→+∞
π+3x
1 +5x =π et lim
x→πcos(x) =−1.
Par composition lim
x→+∞cos
πx+ 3
x+ 5
=−1
(2) Calculer lim x→2
x <2
x+ 2
−x+ 2
Exercice 2 :
Soit f d´efinie sur [−2; 3] par f(x) = 2x3−6x2+ 10 (1) D´eriver f.
Solution: f0(x) = 6x2−12x
(2) En d´eduire le tableau de signes et de variations
6x2−12x= 0 ssi 6x(x−2) = 0. Il y a deux solutions 0 et 2.
x f0
f
−2 0 2 2
+ − +
−30
−30
10 10
2 2
10 10
(3) Montrer quef(x) = 0 admet une unique solution sur [−2; 3].
Solution: f est une fonction continue sur [−2; 3],f est strictement croissante sur [−2; 0].f(−2) =
−30 et f(3) = 10, doncf(−2)<0< f(0).
Par le corollaire des valeurs interm´ediaires, f(x) = 0 admet une unique solution sur [−2; 0].
Sur [0; 3], le minimum def est 2, donc f(x) = 0 n’admet pas de solution sur cet intervalle.
(4) D´eterminer un encadrement `a 10−2 pr`es de la solutionα de l’´equation f(x) = 0 Solution: α∈[−1,11;−1,1] car f(−1,11)≈=−0,13 et f(−1,1)≈0,078.
